Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Инымисловами для простого нагружения деформационная теория и теория течениясовпадают. Под простым нагружением понимают такое нагружение, прикотором компоненты девиатора напряжений возрастают пропорциональнонекоторому параметру. Такими параметром может быть, в том числе, время.В пространстве напряжений путь деформирования при простомнагружении представляет собой прямую линию.
В качестве примерарассмотрим процесс деформации тонкостенной трубы подвергаемойодновременно кручению и растяжению.τσPMτσPM137Напряжения, возникающие на срединной поверхности:MPτ=;σ=2πRδ2πR 2δЕсли и момент и сила будут увеличиваться пропорционально одномупараметру (например, времени)P = at ; M = bt ,то нормальное и касательное напряжения будут увеличиваться такжепропорционально этому параметру. Поэтому путь нагружения впространстве напряжения отображается прямой.τПростоенагружениеСложноенагружениеσМожно представить себе и другой путь нагружения, когда сначалатрубу растягивают, а потом подвергают кручению.
В этом случае путьнагружения представляет собой ломаную линию, а нагружение являетсясложным.А.А.Ильюшин доказал, что для того, чтобы во всех точкахнесжимаемого тела, нагруженного внешними силами, пропорциональныминекоторому параметру, нагружение было простым, достаточно, чтобызависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций быластепенной функцией вида:σ i = Aε im1383.18. Постулат Друкера. Ассоциированный закон течения.S'dσσHCSDσoijCdεpHnσijOpσ0σDD’dεdσijεРассмотрим на примере одноосного растяжения следующий циклнагружения: материал, предварительно нагруженый до точки С, разгружаетсядо напряжения σ 0 , а затем снова нагружается, но уже до величинынапряжения σ + dσ .
Материал при этом получает пластическуюдеформациюdε p .Дляреальныхматериаловдиаграммыистинныхнапряжений такие, что dσ > 0, dε p > 0 . Отсюда следует:(σ − σ 0 )dε p > 0,dσdε p > 0Постулат Друкера обобщает это положение на общий случайдеформации упрочняемых тел. Пусть S – поверхность пластичности впространстве напряжений.
Точка C – отображение текущего напряженногосостояния. Точка H – точка на новом положении поверхности пластичности,полученном в результате дополнительного нагружения на величину dσ ij .Рассмотрим по аналогии с одноосным растяжением следующий цикл:разгрузка до точки D, последующая нагрузка до точки H через точку C, азатем вновь разгрузка до точки D. Постулат Друкера утверждает следующиесоотношения для приведенного цикла:dσ ij dε ijp > 0 .(σ ij − σ ij0 )dε ijp > 0Последнее выражение можно записать и для скоростей деформации(σ ij − σ ij0 )ε ijp > 0Физически постулат Друкера означает:Продолжение пластической деформации упрочняющихся тел возможнотолько при приложении дополнительных удельных сил.Поверхность пластичности является выпуклой139Вектор приращения пластической деформации dε pнаправлен понормали к поверхности пластичности.
Это означает, что поверхностьпластичности в процессе пластической деформации с упрочнениемрасширяется.Последнее утверждение можно доказать, используя неравенствоdσ ij dε ijp > 0 .В пространстве напряжений представляет собойпроизведение двух векторов в пространстве напряжений:скалярноеdσ ij dε ijp = dσ ij dε ijp cos αПоложительность скалярного произведения означает, что угол междувекторами всегда острый. Поскольку направление dσ ij произвольно, то прилюбом направлении dε ijp отличном от нормали всегда найдется такоеположение dσ ij , при котором угол между векторами будет тупым.Следовательно, направление dε ijp совпадает с нормалью к поверхностипластичности.dσdεpnαdσИз аналитической геометрии известно, что проекции нормали накоординатные оси (направляющие косинусы) пропорциональны частнымпроизводными уравнения поверхности по координатам.
Пусть f (σ ij ) = 0 уравнение поверхности пластичности. Поскольку вектор приращенияпластической деформации dε p совпадает с направлением нормали, то егопроекции dε ijp пропорциональны производным уравнения поверхностипластичности по координатам. Координатными осями уравненияпластичности являются составляющие тензора напряжений.Считая коэффициент пропорциональности равным dλ ' , получим:∂fdε ijp = dλ '∂σ ij140Это выражение носит название ассоциированного закона течения,поскольку в нем приращения пластических деформаций связывается(ассоциируется) с условием пластичности.
Если в полученном выражении вкачестве уравнения поверхности пластичности использовать условиепластичности Мизеса, то мы придем к уравнениям теории течения(уравнениям Прандля-Рёйсса).3f σ ij ,σ s = sij sij − σ s2 = 02∂f∂ ⎛32⎞=⎜ sij sij − σ s ⎟ = 3sij∂σ ij ∂σ ij ⎝ 2⎠Тогда∂fdε ijp = dλ '= 3dλ ' sij = dλ ⋅ sij ,∂σ ij()Что эквивалентно одному из постулатов теории пластического течения.Ассоциированный закон течения позволяет вводить обобщенияуравнений пластичности путем рассмотрения поверхностей пластичностиболее сложного вида.3.19.
Основное энергетическое уравнение.Рассмотрим деформацию тела, занимающего объем V и ограниченноговнешней поверхностью F. Температурным эффектом деформациипренебрегаем, нагрузки стационарныПоле напряжений внутри тела удовлетворяет уравнениям равновесия:⎛ ∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz⎞⎜⎟++=σ ij , j = 00…⎜ ∂x⎟∂∂yz⎝⎠Fp0Vv0Одновременно в теле существует некоторое поле скоростей течения vi .Этому полю скоростей течения соответствует поле скоростей деформацииε ij∂v ⎞⎛⎞⎛⎜ ε xx = ∂v x ; ε xy = 1 ⎜ ∂v x + y ⎟, …⎟⎜⎟∂x∂x ⎟⎠2 ⎜⎝ ∂y⎝⎠На границе поля напряжений и скоростей должны удовлетворятьграничным условиям.ε ij =(1vi, j + v j ,i2)141Разобьем границу тела F на две части.F = F p + FvНа части внешней поверхности F p заданы поверхностные удельныевнешние силы p.pi F = F = p0ipУдельные внешние силы должны быть равны удельным внутреннимсилам (напряжениям).На другой части поверхности Fv заданы скорости течения.vi F = F = v0ipЧасти поверхности F p и Fv не пересекаются.
Это означает, чтоодновременно в одной и той же точке внешней границы не могут бытьзаданы и поверхностные внешние силы и скорости течения в направлениидействия поверхностных сил.Основное энергетическое уравнение утверждает, что мощность(работа) внешних сил равна мощности (работе) внутренних сил.Wвнш = Wвнр или Aвнш = AвнрРассмотрим это уравнение на примере одноосного сжатия. Дляодноосного сжатия (например, вдоль оси Z) при постоянной скоростидвижения бойков пресса мощность внешних сил:Wвнш = Pz v z = p z Fv z ,где Pz - сила деформирования, v z - скорость движения бойков, F - площадьконтактной поверхности, p z - удельная поверхностная сила, направлениекоторой совпадает с направлением скорости движения бойков.В условиях однородной деформации напряжение σ z в любой точкеPдеформируемого тела равно σ z = z .
Скорости материальных точек приFоднородной деформации изменяются пропорционально координате z :∂v v zz= .v = v z . В этом случае скорость деформации постоянна ε z =∂z hhВ этом случае произведение Wвнш = Pz v z можно преобразовать кследующему виду:Pz v z = σ z Fε z h = σ z ε zV ,здесь V - объем тела.Полученное выражение представляет собой мощность внутренних сил,которая равна мощности деформацииWвнр = σ z ε zVВ общем случае мощность внешних сил определяют интегрированиемскалярного произведения векторов удельных поверхностных и скоростейперемещения точек внешней границы деформируемого тела:142Wвнш = ∫ pi vi dF =F∫ ( p x v x + p y v y + p z v z )dFFМощность внутренних сил определяют интегрированием по объемупроизведения тензора напряжений на тензор скоростей деформации:Wвнр = ∫ σ ij ε ij dVVТаким образом, в общем случае основное энергетическое уравнениеимеет вид∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dVFVДокажем это утверждение.
Поскольку pi = σ ji n j , то∫ pi vi dF = ∫ σ ji n j vi dFFFМеняя последовательность произведениятранспонировать матрицу∫ pi vi dF = ∫ σ ji n j vi dF = ∫ σ ij vi n j dFFFвекторовнеобходимоFв координатном виде последнее выражение имеет вид:∫∫ [(σ xx v x + τ yx v y + τ zx v z )n x + (τ xy v x + σ yy v y + τ zy v z )n y +F) ](+ τ xz v x + τ yz v y + σ zz v z n z dFПрименим к нему формулу Гаусса-Остроградского для преобразованияповерхностного интеграла в объемный⎛ ∂Qx ∂Q y ∂Qz ⎞()()()++=QxyznQxyznQxyzndF,,,,,,xyyzz∫∫ x∫∫∫⎜⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟dV⎝⎠[]FVВ сокращенной записи:∫ Q j n j dF = ∫ Q j, j dVFVВ этом выражении Q = Q( x, y, z ) есть некоторая функция, определеннаяв объем V , ограниченном поверхностью F .Продолжая преобразования, получим⎡⎛⎛⎞⎞⎜⎟⎟⎢⎜⎜+++++vvvnvvvστττστ⎜⎟∫∫ ⎢⎜ xx x yx y zx z ⎟ x ⎜ xy x yy y zy z ⎟⎟n z +F ⎢⎜⎟QxQy⎠⎝⎠⎣⎝⎛⎞ ⎤⎜⎟ ⎥+ ⎜τ xz v x + τ yz v y + σ zz v z ⎟n z ⎥ dF =⎜⎟ ⎥Qz⎝⎠ ⎦143⎛⎜⎜∂τ yx∂v y ∂τ zx∂σ∂v∂v= ∫∫∫ ⎜ xx v x + σ xx x ++v y + τ yxv z + τ zx z +⎜ ∂x∂x∂x∂x∂x∂xV ⎜∂Q x⎜∂x⎝∂τ xy∂σ yy∂v y ∂τ zy∂v∂v++v x + τ xy x +v y + σ yyv z + τ zy z +∂y∂y∂y∂y∂y∂x∂Q y∂y⎞⎟⎟∂v y ∂σ zz∂v x ∂τ yz∂τ xz∂v z ⎟+++v y + τ yzv z + σ zzdV =v x + τ xz∂z∂z∂z∂z∂z ⎟∂z⎟∂Q z⎟∂z⎠⎡⎢⎛ ∂σ∂σ yy ∂τ yz ⎞∂τ xy ∂τ xz ⎞⎛ ∂τ⎟v y +⎟v x + ⎜ yx ++= ∫∫∫ ⎢⎜⎜ xx ++⎟⎜ ∂x∂∂yz∂z ⎟⎠∂y⎢⎝ ∂x⎝⎠V⎢=0=0⎣∂τ zy ∂σ zz ⎞∂v⎛ ∂τ∂v∂v⎟v z + σ xx x + σ yy y + σ zz z ++ ⎜⎜ zx ++∂y∂z ⎟⎠∂x∂y∂z⎝ ∂x=0⎤⎥⎛ ∂v x ∂v y ⎞⎛ ∂v y ∂v y ⎞∂v x ∂v z ⎞⎥⎛⎟ + τ yz ⎜⎟+ τ xy ⎜⎜+⎟⎜ ∂z + ∂z ⎟ + τ xz ⎜⎝ ∂z + ∂x ⎟⎠⎥ dV =∂∂yx⎝⎠⎝⎠⎥=γ xz = 2ξ xz ⎥=γ xy = 2ξ xy=γ yz = 2ξ yz⎦⎛⎞⎜⎟= ∫∫∫ ⎜ σ xxε x + σ yy ε y + σ zz ε z + τ xyγ xy+ τ yzγ yz + τ xzγ xz ⎟dV =⎜⎟⎟V ⎜=τξ+τξxy xyyx yx⎝⎠= ∫ σ ij ε ij dVVили в сокращенной записи∫ σ ij vi n j dF = ∫ (σ ij vi ), j dV = ∫ vi σ ij , j dV + ∫ σ ij vi, j dV = ∫ σ ij ε ij dVFVV=0Vε ijV144Для идеально пластического тела мощность внутренних сил естьмощность пластической деформации.
ТогдаWP = WD .Интегрируя мощность по времени, получим работу, следовательно:AP = AD3.20. Обобщение основного энергетического уравнения наслучай разрывных полей и внешнего трения.В теории пластичности это уравнение обобщается на случай, когдатело имеет как жесткие (недеформируемые) области, так и пластическиеобласти, а также на случай разрывных полей напряжений и скоростей.Наличие разрывов в напряжениях и наличие недеформируемыхобластей не изменяет формы основного энергетического уравнения.Наличие разрывов в скоростях предполагает, что имеется некотороечисло областей, ограниченных поверхностями f l , (l = 1 ,2 ,3 …) внутрикоторых поле скоростей непрерывно, а на границах f l - претерпеваетразрывы.Пусть поле скоростей таково, что в нем допускаются разрывыскоростей ∆v вдоль некоторой поверхности f .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
