Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда касательная к кривой упрочнения отсекает на осиординат отрезок de = σ SШ (1 − δ Ш ) = σ s 0 .На этом свойстве касательной построен один из вариантов линейнойаппроксимации кривых упрочнения 3-го рода:σ s = σ s 0 + Πδ = de + δ tan α = σ SШ (1 + δ − δ Ш )Обратившись к рисунку, заметим cb = σ sШ , tan α =σЗаметим, что σ s 0 = σ sШ (1 − δ Ш ) < σ B = sШeδ ШВ области больших деформаций линейная аппроксимация, построеннаяна основании касательной, дает значительные погрешности.
Поэтому частопользуются аппроксимацией, предложенной Шехтером, или уравнениемсекущей, проходящей через две точки: δ = 0, σ = σ B ; δ = δ Ш , σ = σ SШ .Тогда:σ −σBσ S = σ B + SШ⋅δδШ106Степенную аппроксимацию кривой упрочнения 3-го рода предложилХолломон.σ s = Aδ nПоскольку при δ = δ Ш , σ s = σ sШ , тоn⎛ δ ⎞⎟⎟σ s = σ sШ ⎜⎜δ⎝ Ш⎠dσ sσ= SШ n ⋅ n ⋅ δ n−1dδ(δ Ш )Ранее показаноdσ sdσ sШ== σ sШ ,dδ δ =δ Ш dδ Ш( )nnn −1⎛ δ ⎞ ⎞⎟⎛ 1 ⎞dσ sШd ⎛⎜⎟⎟⎜⎜σσnδ==ноsШ ⎜sШ ⎜Шdδ Шdδ ⎜δ Ш ⎟⎠ ⎟δ Ш ⎟⎠⎝⎝⎝⎠тогда σ SШ =σ SШn −1()⋅n⋅δ, откуда n = δ ШШ(δ Ш )nОкончательноδШ⎛ δ ⎞⎟⎟σ s = σ sШ ⎜⎜⎝δШ ⎠Уравнение Холломона, как и уравнение Губкина для кривыхупрочнения 2-го рода значительно занижает напряжение текучести в областималых деформаций.3.10. Переход тела в пластическое состояние.
Условиясостояния пластичности Треска и Мизеса.Упругое состояние тела полностью определяется тензоромнапряжений, поскольку тензор деформаций однозначно связан с тензоромнапряжений обобщенным законом Гука. В уравнение обобщенного законаГука входят также свойства материала (модуль Юнга и коэффициентПуассона).Упругое состояние переходит в пластическое. Момент перехода –является предельным моментом упругого состояния. Отсюда можно сделатьвывод, что момент перехода из упругого состояния в пластическоеопределяется тензором напряжений.Поскольку математическое описание момента перехода в пластическоесостояние не может зависеть от выбора системы координат, то переход тела впластическое состояние должен зависеть от инвариант тензора напряжений.С другой стороны, образцы, изготовленные из различных материалов,переходят в пластическое состояние при различных значениях напряжений.107Следовательно, момент перехода в пластическое состояние должен зависетьи от свойств материала.Можно предположить, что существует некоторая функция тензоранапряжений и свойств материала, которая определяет переход и поддержаниетела в пластическом состоянии27:f (σ ij ,σ s ) = 0Здесь σ ij - компоненты тензора напряжений, σ s- напряжениетекучести, отражающее свойства материала.Ранее мы показали, что при одноосном растяжении переход иподдержание тела в пластическом состоянии определяется условием:σ1 = σ Sили σ 1 − σ S = 0 .При таком напряженном состоянии все компоненты тензоранапряжений σ ij равны нулю за исключением растягивающего напряжения,направленного вдоль оси образца.
Таким образом, при одноосномнапряженном состоянии действительно существует функция компоненттензора напряжений и напряжения текучести, которая определяет переходтела в пластическое состояние.Функцияf (σ ij ,σ S ) = 0 ,связывающаякомпонентытензоранапряжений и напряжение текучести и определяющая переход тела впластическое состояние называется условием состояния пластичности, или(сокращенно) условием пластичности.Выше была приведена такая эта функция для одноосногонапряженного состояния. Все известные до сих пор условия состоянияпластичности для общего случая напряженного состояния являютсяфеноменологическими, т.е. основываются на некоторых гипотезах, имеющихопределенное экспериментальное или теоретическое обоснование.
В теориипластичности получили распространение два условия состоянияпластичности: условие Треска - Сен-Венана и условие Губера – Мизеса –Генки.Условие Треска - Сен-Венана основано на гипотезе существованиясвязи между величиной максимальных касательных напряжений и моментомперехода в пластическое состояние.Известно, что пластическая деформация монокристаллов происходит, восновном, путем скольжения и, следовательно, связана с касательныминапряжениями. Естественно предположить, что и для поликристаллическихтел момент перехода в пластическое состояние определяется касательныминапряжениями. Впервые такое предположение высказал французскийинженер Г.Треска в 1864 г.27На переход тела в пластическое состояние также влияет скоростьдеформации, температура и др. факторы.
Однако все они зависят от видаматериала. Поэтому в общем виде можно сказать, что переход в пластическоесостояние зависит от тензора напряжений и свойств материала.108На основе обработки опытов по выдавливанию различных материаловчерез матрицы круглой и прямоугольной формы он показал, что переход впервое предельное состояние - состояние пластичности происходит тогда,когда максимальное касательное напряжение достигает определеннойвеличины, однозначно связанной с пределом текучести при испытаниях нарастяжение.Максимальное касательное напряжение (главное касательноенапряжение) возникает в площадках, расположенных под 45° к главным осями равно их полуразности:σ − σ 33τ max = τ 13 = 112Для одноосного растяжения σ 11 > 0, σ 22 = σ 33 = 0 .
Следовательноусловие Треска – Сен-Венана для одноосного растяжения имеет вид:στ max_ o = 11 .2На основании опытных данных известно, что переход тела впластическое состояние при одноосном растяжении определяетсяследующим условием:σ 11 = σ s .Отсюда для одноосного растяжения:στ max_ o = S2Приравнивая значение максимального касательного напряжения τmaxдля общего случая значению максимального касательного напряжения дляодноосного напряженного состояния τmax_o, получим математическуюформулировку условия Треска, впервые предложенную Сен-Венаном в 1871году:σ 11 − σ 33 = σ SВ общем случае при расчетах сложно заранее предсказать, какое изглавных напряжений будет максимальным, а какое минимальным.
Поэтомуусловие Треска – Сен-Венана часто записывают следующим образом:max(σ1−σ2,σ2−σ3,σ3−σ1)=σSВ этом выражении главные напряжения σ 1,σ 2 ,σ 3 не упорядочены повеличине.Тогда условие пластичности Треска – Сен-Венана может бытьсформулировано также следующим образом:Пластическое состояние наступает и поддерживается тогда, когдаодно из максимальных касательных напряжений достигает по абсолютнойвеличине величины половины напряжения текучести.В частности, при отсутствии упрочнения:σ s = const = σ s 0Таким образом, для деформируемых материалов, упрочнениемкоторых можно пренебречь в пластическом состоянии максимальные109(главные) касательные напряжения остаются постоянными по величине иравными половине предела текучести. Поэтому условие пластичности Треска– Сен-Венана иногда называют условием постоянства максимальныхкасательных напряжений.3ОσS1σSσS2ОУсловие пластичности Треска – Сен-Венана в пространстве главныхкоординатных осей представляет собой правильную шестигранную призму,ось ОО которой проходит через начало координат и равно наклонена ккоординатным осям.
Ребра призмы отсекают на координатных осях отрезки,равные ± σ S . Поверхность, описываемая этой призмой, называетсяповерхностью пластичности Треска – Сен-Венана. Условимся поверхностипластичности обозначать буквой S.Напряженное состояние каждой точки тела отображается некоторойточкой M с координатами σ 1M ,σ 2 M ,σ 3M в главных координатных осях.Если эта точка лежит внутри поверхности пластичности – то тело в этойточке находится в упругом состоянии, если на поверхности – то впластическом.
Напряженные состояния, в которых точка M находится внеповерхности пластичности, неосуществимы.В 1913 году немецкий ученый Р.Мизес предложил призмупластичности Треска – Сен-Венана заменить описанным вокруг неецилиндром. Сделано это было для упрощения формы условия пластичности,и Мизес считал это условие приближенным. Радиус цилиндрическойповерхности в этом случае будет равным2R = σS,3110а уравнение цилиндрической поверхности:(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 2σ S2312Условие пластичности в этом виде впервые предложил польскийученый М.Губер в 1904 году, опубликовав статью в одном из польскихжурналов. Однако в то время она не была замечена. Позднее, в 1924 году,немецкий ученый Г.Генки показал физический смысл условия пластичностиМизеса.Окружности на поверхности цилиндра, полученные пересечением егоплоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра представляют собойнапряженные состояния с одинаковыми шаровыми тензорами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
