Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 13
Текст из файла (страница 13)
При пластической деформациипринимают гипотезу несжимаемости материала, поэтомуξ x + ξ y + ξ z = ξ1 + ξ 2 + ξ 3 = 0(2.54)Это равенство выполняется точно, в отличие от условиянесжимаемости, записанного для деформаций.Большую роль в теории пластичности играет второй инвариантдевиатора скорости деформации. С помощью второго инварианта можноопределить интенсивность скоростей деформации сдвига и интенсивностьскоростей деформаций.73( )Η = 2 I 2 Dξ =232=3=2=3(ξ x − ξ y ) + (ξ y − ξ z )22(ξ xx − ξ yy ) + (ξ yy − ξ zz )22+ (ξ z − ξ x ) +2()3 222η xy + η yz+ η zx=22()222+ (ξ zz − ε xx ) + 6 ξ xy+ ξ yz+ ξ zx=(2.55)(ξ1 − ξ2 )2 + (ξ2 − ξ3 )2 + (ξ3 − ξ1 )2( )Η2I 2 Dξ =(2.56)33Следует различать скорость деформации и скорость деформирования.Первая – определяет скорости относительных удлинений и сдвигов и имеетразмерность 1/с.
Вторая – скорость материальных точек, обычной под нейпонимают скорость движения инструмента. Размерность скоростидеформирования – м/с.Оценим, как соотносятся скорость деформации и скоростьдеформирования.Предположим,чтомыпроизводимосадкуцилиндрического образца без трения с постоянной скоростью движенияинструмента v . Скорость деформирования элементарных объемов подверхней плитой в этом случае равна скорости движения инструмента.
Внекоторый промежуточный момент высота образца рана h . По высотеобразца скорости материальных точек будут изменяться по линейномузакону:zvz = vhСкорость деформирования в направлении оси образца:∂vvξz = z =∂z hТаким образом, при одинаковой скорости деформирования скоростьдеформации будет тем больше, чем меньше линейные размерыдеформируемого тела в рассматриваемом направлении.ξi =2.10.
Схемы напряженного и деформированного состояний.Механическая схема деформацииПод схемами напряженного и деформированного состояний понимаютусловно-графические изображения компонент тензоров напряжений идеформаций, действующих в главных площадках.Иногда термин схема напряженного и схема деформированногосостояния трактуют расширительно и под ним понимают условнографическое изображение компонент тензоров в конкретной системекоординат.
То есть говорят о схемах напряженного и деформированногосостояния в главной системе координат и в произвольной системе координат.74По числу ненулевых главных напряжений различают линейное (1ненулевое главное напряжение), плоское (2 ненулевых главных напряжения)и объемное (три ненулевых главных напряжения) напряженное состояние.По сочетанию направлений действия главных напряжений различаютодноименные (все ненулевые главные напряжения направлены в однусторону, т.е. все растягивающие или все сжимающие) и разноименные.одноименныеодноименныеразноименныерастяжениясжатиялинейные(одноосные)(испытанияматериалов) одноосное сжатие одноосное растяжениеплоские(двухосные)(листоваяштамповка) двухосное сжатие двухосное растяжениеобъемные(трехосные)(объемнаяштамповка)всестороннеевсестороннеесжатиерастяжение(равномерное и(равномерное инеравномерное)неравномерное)Всего существует девять схем напряженного состояния:Две линейные – линейное напряженное состояние, три плоские –плоское напряженное состояние и четыре объемные – объемное напряженноесостояние.Плоские и объемные схемы могут быть также одноименными иразноименными.Важно отметить, что при пластической деформации не можетсуществовать объемное одноименное напряженное состояние, при которомвсе компоненты равны между собой, т.е.
состояние всестороннегоравномерного расширения или всестороннего равномерного сжатия.Самый простой вид напряженного состояния – линейный,характеризуют одноосные схемы. В обработке давлением они встречаютсядовольно редко, например, при испытании на растяжение гладкихцилиндрических образцов или сжатие без трения, а также в стенках привытяжке и обжиме.Схемы, характерные для плоского напряженного состояния проще дляанализа по сравнению с объемными. В обработке металлов давлением онивстречаются, в основном, в операциях листовой штамповки.
В таких75операциях напряжения, нормальные поверхности листа, обычно малы и имиможно пренебречь.Объемные схемы напряженного состояния характеризуют наиболееобщий вид напряженного состояния. Объемное напряженное состояниехарактерно практически для всех процессов обработки металлов давлением,однако анализ процессов с объемными схемами, наиболее сложен. Частоплоские схемы применяют в качестве допущения, для облегчения получениярешения.Плоское деформированное и осесимметричное напряженное состояниеявляются частными случаями объемного напряженного состояния.Поскольку для каждой точки деформируемого тела существует толькоодна совокупность главных осей, то и схема напряженного состояниясправедлива только для одной системы координат.
Стоит повернутьплощадку даже для одноосных схем, то в ней появляются также икасательные напряжения.Рис. 2.5. Напряжения в различных площадках при одноосном растяженииОт схемы напряженного состояния зависит пластичность материала(свойство подвергаться пластическим деформациям без нарушениясплошности). Экспериментальные данные многочисленных исследователей(прежде всего надо назвать американского ученого Бриджмена и немецкогоученого Кармана) свидетельствуют, что чем больше гидростатическоедавление21, т.е.
чем больше в схеме напряженного состояния выраженысжимающие напряжения, тем большие пластические свойства проявляетматериал в данном технологическом процессе.Так Карман помещал в сосуд с высоким давлением белый мрамор идеформировал его. В обычных условиях белый мрамор разрушается хрупко.При сжатии между плитами при высоком внешнем давлении мрамор можноподвергать пластическим деформациям.21p = −σ cp = − 1 I1(Tσ ) = − 1 (σ1 + σ 2 + σ 3 )3376В настоящее время ученые объясняют это явление следующимобразом. Согласно гипотезе чл.корр.
РАН Колмогорова В.Л. процесспластической деформации рассматривают как процесс зарождения инакопления микротрещин. Когда микротрещины развиваются до макроразмеров (т.е. видимы невооруженным глазом), то происходит разрушениематериала. Процесс развития микротрещин всегда сопровождаетсяпроцессом их залечивания. Интенсивность залечивания микротрещинвозрастает с увеличением температуры тела (поэтому при повышенныхтемпературах увеличивается пластичность материала) и с увеличениемгидростатического давления.
Поэтому чем больше уровень сжимающихнапряжений в схеме напряженного состояния, тем больше пластичность уматериала в данных условиях.Существует несколько показателей, количественно оценивающихуровень сжимающих напряжений в схеме напряженного состояния.Наибольшее распространение получили:коэффициент жесткости напряженного состояния, впервыевведеный Бабичковым и использованный Г.А.Смирновым-Аляевымσ cpσ + σ2 + σ3pΠ= 1=3= −3(2.57)σiσiσiσ i - интенсивность напряжений, p – гидростатическое давление. Дляодноосного растяжения П=1, для одноосного сжатия П=-1.показатель напряженного состояния В.Л.Колмогороваk=σ cp(2.58)ΤЗдесь Τ - интенсивность касательных напряжений.Поскольку интенсивности напряжений линейно зависимы σ i = 3Τ , тои показатели Бабичкова и Колмогорова качественно эквивалентны, аколичественно отличаются друг от друга величиной постоянногокоэффициента:Π = 3k(2.59)Влияние схемы напряженного состояния на пластичность обычноотображают в виде диаграммы пластичности.
Диаграммы пластичности –это зависимость между показателем напряженного состояния и накопленнойпластической деформацией в момент разрушения (Рис. 2.6). Диаграммыпластичности строятся в координатах e p = e(Π ) или Λ p = Λ(k ) . ep –накопленная пластическая деформация в момент разрушения, Λp –накопленная деформация сдвига в момент разрушения.
Оба вида диаграммравнозначны и могут быть пересчитаны одна в другую.По диаграмме пластичности хорошо видно, что при сжатии материалобладает большей пластичностью, чем при растяжении.Таким образом, схему напряженного состояния следует выбирать сучетом того, какие максимальные деформации возникают в материалы вконкретном технологическом процессе.77В отличие от схем напряженного состояния, при пластическойдеформации допустимо всего три схемы деформированного состояния.
Этообъясняется условием постоянства объема.ε1 + ε 2 + ε 3 = I1 (Tε ) = 0 ,из которого следует, что максимальная по абсолютной величинедеформация противоположна по знаку двум другим, а по абсолютнойвеличине равна их сумме.ep, ΛpΠ = −1,k = −1/√3Π = 1,Π, kk = 1/√3Рис. 2.6. Диаграмма пластичностиТаким образом, линейных схем деформированного состояния припластической деформации быть не может, а схем плоской деформации можетбыть только одна – плоская разноименная. Эта схема характерна дляплоского деформированного состояния.Для плоского деформированного состояния ε 2 = 0 , поэтому ε1 = −ε 3 :Из закона постоянства объема также следует, что для объемногодеформированного состояния возможны только две схемы:ε1 = −ε 2 − ε 3ε1 + ε 2 = −ε 3Объемное растяжениеОбъемное сжатие(одна деформация положительна, (одна деформация отрицательна,две других – отрицательны)две других – положительны)78Мы уже показали, что пластические свойства материала, егопредельное деформированное состояние зависят от свойств напряженногосостояния.Академиком С.И.Губкиным был введен термин механическая схемадеформации.
Механическая схема деформации – это сочетание схемнапряженного и деформированного состояний.Рассмотрим механические схемы деформаций для частных случаев:НСДСσz=0εzПНСплоскоеσz=0главноеσz-объемноеεz - главноеεz=0ПДСобъемноеσz - главноеплоскоеεz=0главное-ОСобъемноеσθ - главноеσθобъемноеεθ - главноеεθНа рисунках Рис. 2.7…Рис.
2.10 представлены механические схемыдеформаций для простейших операций обработки давлением: осадки безтрения, осадки с трением, выдавливания и волочения.εσσεσРис. 2.7. Осадка без тренияσРис. 2.8. Осадка с трениемσεεОчаг деформацииОчаг деформацииРис. 2.9. ВыдавливаниеРис. 2.10. Волочение2.11. Зависимости между напряжениями и деформациями вупругой области. Обобщенный закон ГукаВнешние силы, действующие на тело, вызывают перемещения еготочек. Таким образом, напряженное и деформированное состояние телавзаимосвязано.79Уравнения связи между компонентами тензора напряжений и тензорадеформаций носят название физических уравнений связи напряженного идеформированного состояний (иногда их называют определяющимисоотношениями).Физические уравнения до настоящего времени являются не законами, агипотезами, в большей или меньшей степени подтвержденнымиэкспериментом. Иными словами эти уравнения – феноменологические.Наиболее простым примером таких уравнений является связь междунапряжениями и деформациями при упругом деформировании изотропногоматериала.
Эти уравнения носят названия обобщенного закона Гука.Первоначально закон Гука был сформулирован для одноосногорастяжения в виде прямо пропорциональной зависимости междунапряжениями и деформациями. Коэффициент пропорциональности назвалимодулем упругости.(2.60)σ 1 = Eε 1 ,где σ 1 , ε1 - напряжения и деформации в направлении оси образца.Было также замечено, что упругие деформации в одном направлениивызывают деформации в двух других направлениях, составляющих с первымпрямоугольную систему координат.ε 2 = ε 3 = − µε1 , где µ – коэффициент Пуассона.В общем виде для произвольных площадок в координатной форме1⎫εx = σ x − µ σ y +σ z ;⎪E⎪1ε y = σ y − µ (σ x + σ z ) ;⎪⎪E(2.61)⎬1εz = σ z − µ σ x +σ y ;⎪E⎪τ xyτ yzτ zx ⎪γ xy =; γ yz =; γ zx =;GGG ⎪⎭Изменение объема подчиняется объемному закону Гука:[[[ε cp =(()]])]σ cp,(2.62)3K111ε cp = (ε1 + ε 2 + ε 3 ) = ε ii = I1 (Tε ) ,333111σ cp = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = σ ii = I (Tσ )333Объемный закон Гука может быть получен из координатной формысложением первых трех уравнений:1ε x + ε y + ε z = σ x + σ y + σ z − 2µ (σ x + σ y + σ z )(2.63)E[]80Связь между физическими константами E – модуль упругости 1-города, µ – коэффициент Пуассона, G – модуль упругости 2-го рода (модульсдвига), K – объемный модуль упругостиEE(2.64)3K =;2G =1 − 2µ1+ µВыполним еще одно преобразование:11 − 2µσ cp =ε x − ε cp = (σ x − µ (σ y + σ z )) −EE1= (σ x − σ cp − µ (σ y + σ z ) + 2 µσ cp ) =E(2.65)1= (σ x − σ cp − µ (σ y + σ z − 2σ cp )) =E11+ µ(σ x − σ cp )= (σ x − σ cp − µ (σ cp − σ x )) =EEε x − ε cp = exx ,σ x − σ cp = s xxЗдесь exx, sxx – компоненты девиатора деформаций и девиаторанапряжений соответственно.В общем виде в девиаторной форме – в виде зависимости междудевиаторами деформаций и напряжений обобщенный закон Гука принимаетвид:sijeij =, i, j = x, y, z или(2.66)2Gsijε ij =+ δ ij ε cp ,(2.67)2GСимвол Кронекера δ ij = 1 при i=j, δ ij = 0 при i≠jДля плоского напряженного состояния:σ z = 0,τ zx = τ zy = τ xz = τ yz = 0Откуда:[[]]1σ x − µ (σ y ) ;E1ε y = σ y − µ (σ x ) ;E⎫⎪⎪⎪⎪⎬µ1(ε x + ε y );⎪ε z = − µ (σ x + σ y ) = −1− µE⎪τ xy⎪γ xy =;⎪⎭Gилиεx =[](2.68)81σx =E1− µE⎫(ε x + µε y );⎪2⎪σy =ε + µε x ;⎪⎬(2.69)2 y1− µ⎪⎪⎪τ xy = Gγ xy ;⎭Обратим внимание, что для металлов в упругом состоянии µ = 0.3…0.33 ,тогдаµ(ε x + ε y ) ≈ − 1 (ε x + ε y )εz = −1− µ2()2.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
