Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Т.е. диаграммаМора для деформаций оказывается масштабированной и сдвинутой по осиабсцисс по отношению к диаграмме Мора для напряжений.129обобщенный закон Гука теория пластического течения являетсяфеноменологической. В ее основу положены следующие гипотезы:Тело изотропноПолные приращения компонент тензора деформаций dε ijскладываются из приращений упругихdε ije(e - elastic) ипластических деформаций dε ijp (p - plastic)dε ij = dε ije + dε ijpДля одноосного напряженного состояния этот постулат можнопредставить в графическом виде следующим образом:σC'CdεpσS0dεeSdεεOПриращения упругих деформаций подчиняются обобщенномузакону Гука.sijeije =2GОбъемные деформации (изменение объема тела) являются толькоупругими деформациями.ε cp =σ cp3KДевиатор приращения пластической деформации пропорционалендевиатору напряженийDd ε p = d λ ⋅ DσЗдесь dλ положительная величина, которая может изменяться сизменением деформации.Преобразуем обобщенный закон Гука.Девиатор упругих деформаций:dsijeije = ε ije − δ ij ε cp , тогда в приращениях deije = dε ije − δ ij dε cp =2G130Девиатор пластических деформаций совпадает с тензоромпластических деформаций, поскольку постулировано, что все объемныедеформации являются упругими.ε ijp = eijpВ сокращенной тензорной записи пропорциональность девиаторовприращений пластических деформаций и девиатора напряжений:deijp = dλ ⋅ sij = dε ijpОткудаd ε ij = d ε ije + d ε ijp = deije + δ ij d ε cp + deijpИлиdeij = deije + deijp =dsij+ d λ ⋅ sij2GОпределим величину dλ.

В теории пластического теченияпостулируется взаимосвязь между девиаторами напряжений и приращенийпластических деформаций. Естественно предположить, существуетвзаимосвязь и между интенсивностью приращений пластическихдеформаций и интенсивностью напряжений, поскольку эти величины зависятот инвариантов соответствующих девиаторов.Интенсивности напряжений и приращений деформаций в тензорнойформе:3σ i2 = sij sij222pp pdε i= deij deij3Тогда:2 p22d ε ip =deij × deijp =( d λ )2 sij sij = σ i d λ333( )(sij d λ)sij d λ2 2σi3откудаp3 dεdλ = ⋅ i2 σiВ результате получим несколько иную форму уравнений теориипластического течения:dsij 3 d ε ip+deij =sij2G 2 σ iЭти уравнения носят названия уравнений Прандтля – Рёйсса.Получим уравнения Прандтля - Рёйсса в координатной форме.Например, для приращения dε x можно выполнить следующую цепочкупреобразований:131pdσ x − dσ cp 3 d ε ipds x 3 d ε i++dex =s x или d ε x − d ε cp =σ x − σ cp2G 2 σ i2G2 σi(p)dσ x1 ⎞ 3 dεi⎛ 1σ x − σ cpdε x =+ dσ cp ⎜−⎟+σ2G322KG⎝⎠i111 1 − 2µ 1 + µ3µ−=−=−, σ cp = σ x + σ y + σ zЗдесьEEE33K 2Gpσy +σz ⎞1 + µ 3µ ⎛ d σ x + d σ y + d σ z ⎞ 3 d ε i ⎛ 2−d ε x = dσ x⎜⎟+⎜ σx −⎟33EE ⎝⎠ 2 σi ⎝ 3⎠Окончательноd ε ip ⎡1⎡1⎤⎤− σ y + σ z ⎥;dε x =dσ x − µ dσ y + dσ z +σx⎢⎦ σ ⎣2E⎣⎦iПо аналогии получим выражения для всех составляющих тензораприращений деформаций:d ε ip ⎡1⎡1⎤⎤−+dε x =dσ x − µ dσ y + dσ z +σσσxyz⎥⎦ ;⎦ σ ⎢⎣2E⎣i()()()()()()d ε ip1⎡⎤d ε y = ⎣ dσ y − µ ( dσ x + dσ z ) ⎦ +σiE1⎡⎤⎢⎣σ y − 2 (σ x + σ z ) ⎥⎦ ;d ε ip1⎡dε z =dσ z − µ dσ x + dσ y ⎤ +⎦ σE⎣i1⎡⎤−σσ y + σ x ⎥;z⎢⎣2⎦(d ε xyd ε yz)dτ xypdτ yzp()3 dεi=+τ xy ;2G2 σi3 dεiτ yz ;=+2G2 σipdτ3 dεiτ zx ;d ε zx = zx +2G 2 σ iВ том случае, если упругими деформациями можно пренебречь, топридем к уравнениям Сен-Венана – Леви – Мизеса.

В этом случаепластические деформации равны полным d ε ijp = d ε ij , а девиатор приращениядеформаций равен тензору приращения деформаций deij = dε ij . Тогда3 dεisij2 σiСледует заметить, что уравнения Сен-Венана – Леви – Мизеса былиполучены ранее уравнений Прандля – Рёйсса. Они были получены исходя изгипотезы пропорциональности девиаторов напряжений и девиаторов полныхd ε ij =132приращений деформаций: dε ij = sij × dλ . В современной теории уравненияСен-Венана – Леви – Мизеса рассматриваются как частный случай уравненийПрандля – Рёйсса при пренебрежении упругими деформациями.Если принять в качестве гипотезы пропорциональность девиаторовнапряжений и девиаторов скоростей деформаций ξ ij = ε ij = sij × dλ , а неприращений пластических деформаций, то придем к уравнениям Сен-Венана– Леви – Мизеса в для скоростей деформаций или уравнениям течения3 εi3ξsij или ξ ij = i sij2 σi2 σiЭти уравнения иногда называют уравнениями пластического течения.Они нашли широкое распространение при расчетах операций обработкиметаллов давлением, особенно в методе конечных элементов.В координатной форме уравнения Леви – Мизеса имеют вид:dε ⎡3 dεi13 dεi⎤σ x − σ cp = i ⎢σ x − σ y + σ z ⎥ ; d ε xy =τ xy ;dε x =2 σi22 σiσi ⎣⎦dε ⎡3 dεi13 dεi⎤σ y − σ cp = i ⎢σ y − (σ x + σ z ) ⎥ ; d ε yz =τ yz ;dε y =σi ⎣2 σi22 σi⎦ε ij =dε z =()()()dε ⎡3 dεi13 dεi⎤σ y − σ cp = i ⎢σ z − σ x + σ y ⎥ ; d ε zx =τ zx ;2 σi22 σiσi ⎣⎦()(а уравнения течения:ε3εε x = i σ x − σ cp = iσi2 σi)⎫⎪⎪⎪ε ⎡3ε1⎤ε y = i σ y − σ cp = i ⎢σ y − (σ x + σ z ) ⎥ ; ⎪σi ⎣2 σi2⎦⎪⎬εi ⎡3 εi1⎤εz =σ y − σ cp = ⎢σ z − σ x + σ y ⎥ ; ⎪⎪σi ⎣2 σi2⎦⎪3 εi3 εi3 εiε xy =τ xy ;ε yz =τ yz ;ε zx =τ zx ;⎪⎪2 σi2 σi2 σi⎭Еще раз вернемся к гипотезе о пропорциональности девиаторовскоростей деформаций и девиаторов напряжений и определим егофизический смысл.Запишем условие пропорциональности девиаторов в главных осях(учтем, что ε cp = 0 для пластической деформации):()()()1⎡⎤−+σσσxyz⎢⎣⎥⎦ ;2()()ε3ε1ε2=== dλσ1 − σ cp σ 2 − σ cp σ 3 − σ cp133Следовательно:ε1 = σ 1 − σ cp dλ ; ε 2 = σ 2 − σ cp dλ ; ε 3 = σ 3 − σ cp dλ ;Почленное вычитание полученных выражений приводит к:()()()ε1 − ε 2 ε 2 − ε 3 ε 3 − ε1= dλ==σ1 − σ 2 σ 2 − σ 3 σ 3 − σ1В свою очередь это выражение равносильно утверждению, что главныеокружности Мора для напряжений и скоростей деформаций подобны, а это всвою очередь означает:Направления главных осей скоростей деформаций и главных осейнапряжений совпадают, следовательно равны и соответствующиенаправляющие косинусы:niσ = niεПоказатели Лоде-Надаи для напряжений и скоростей деформаций равнымежду собой.µσ = µεПри экспериментальной проверке теории течения обычно проверялиравенство показателей Лоде-Надаи для напряжений и приращенийдеформаций.

Опыты, проведенные отечественными и зарубежными учеными,показали набольшие, но систематические отклонения от условий подобия.Эти отклонения свидетельствуют о незначительных нарушениях линейногоуравнения связи девиаторов напряжений и приращений деформаций.Как показал Г.А.Смирнов – Аляев для монотонной деформациискорости деформации в уравнениях теории течения можно заменитьглавными логарифмическими деформациями. Если пренебречь упругимидеформациями:3 δiδ ii =sii2 σiЗдесь δ i - интенсивность логарифмических деформаций.3.17. Теория малых упруго-пластических деформаций(деформационная теория пластичности).Теория пластического течения довольно сложна для использования ваналитических решениях.

Анализ существенно упрощается, если быфизические уравнения имели бы вид конечных соотношений (а недифференциальных как в теории течения) между напряжениями идеформациями.Такие соотношения предлагаются в деформационной теориипластичности. Фактически теория малых упруго-пластических деформацийявляется распространением обобщенного закона Гука на областьпластических деформаций. Эта теория в качестве гипотез используетследующие положения:Тело изотропно134Полные деформации могут быть представлены как сумма упругих ипластических деформацийε ij = ε ije + ε ijpДля одноосного напряженного состояния этот постулат можнопредставить в графическом виде следующим образом (в отличие оттеории течения в рассмотрение берется не приращение деформации ався деформация):CσσS0εpOεeεεУпругие деформации подчиняются обобщенному закону Гука иполностью определяют объемные деформации (изменение объема тела)sijeije =2GДевиатор пластической деформации пропорционален девиаторунапряженийDε p = ϕ DσПеременный коэффициент ϕ - положительная величина, котораяможет изменяться с изменением деформации, носит названияпараметра Генки.Девиатор упругих деформаций:eije = ε ije − δ ij ε cp ,Поскольку вследствие условия постоянства объема девиаторпластической деформации совпадает с тензором пластической деформации(средняя пластическая деформация равна нулю), тоε ijp = eijp = ϕ sijТогда компоненты девиатора полных деформаций равны суммекомпонент девиаторов пластических и упругих деформаций.1eij = eije + eijp =sij + ϕ sij2G135Использовавсоотношенияε ip =2 p p3eij eij ; σ i =sij sij ; eijp = ϕ sij32получим:p3εϕ= i2 σiС учетом этогоp⎛ 13 ε i ⎞⎟⎜eij =+s = ψ sij⎜ 2G 2 σ i ⎟ ij⎝⎠Полученные уравнения носят названия уравнений Генки.Аналогично теории течения можно показать, что пропорциональностьдевиаторов напряжений и пластических деформаций равносильнаутверждению о подобии диаграмм Мора для напряжений и пластическихдеформаций, а также коллинеарности главных осей напряжений и главныхосей деформаций и равенстве показателей Лоде – Надаи для напряжений ипластических деформаций.Если пренебречь упругими деформациями, то уравнения Генкиприводятся к виду, предложенным А.А.Ильюшиным:3 εisij2 σiВ координатной форме:ε3 εiεx =σ x − σ cp = i2 σiσiε3 εiεy =σ y − σ cp = i2σiσiε3 εiεz =σ y − σ cp = i2 σiσiε ij =()()()()()⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪εεεγ xy = 3 i τ xy ;γ yz = 3 i τ yz ;γ zx = 3 i τ zx ;⎪σiσiσi⎭Сравнив полученные уравнения с обобщенным законом Гука можнозаключить, что они очень похожи.

По аналогии с модулем упругости Eвводят понятия модуля пластичности первого рода E′1⎡⎤−+σσσxyz⎢⎣⎥⎦;21⎡(σ x + σ z )⎤⎥;−σy⎢⎣2⎦1⎡⎤⎢⎣σ z − 2 σ x + σ y ⎥⎦;σE' = iεi136σιCσιEE'εiεiOМодуль пластичности первого рода в отличие от модуля упругостипервого рода переменен и равен тангенсу угла наклона линии, соединяющейначало отсчета с текущей точкой на диаграмме истинных напряженийпервого рода.Кроме того, приняв коэффициент Пуассона при пластическихдеформациях µ = 0.5 , можно ввести также понятия модуля пластичностивторого рода G′:E'E'G' ==2(1 + µ ) 3Уравнения деформационной теории намного проще, чем уравнениятеории течения, поэтому важно знать границы их применимости.Исследованием этого вопроса занимался А.А.Ильюшин.Он показал, что уравнения деформационной теории в полной мереописывают пластическую деформацию при т.н. простом нагружении.

Характеристики

Список файлов книги