Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Условие непрерывноститребует, чтобы разрывы претерпевали только касательные составляющиескорости вдоль поверхности разрыва. Нормальные составляющие скорости кповерхности разрыва должны быть непрерывны.nnvτ+ττ∆svτ+vτ−vτ−ffПоверхность разрыва представляет собой предельное положениетонкого слоя ∆s с непрерывным, но резким изменением скорости потолщине слоя. Причем резкое изменение претерпевает только составляющаяскорости vτ . Относительная скорость разрыва ∆v = vτ+ − vτ− .Обозначим через ∆vl скачокв тангенциальных составляющихскоростей на границе разрыва скоростей f l .

Пусть на этой границе действуеткасательное напряжение τ l . Тогда мощность, которую развиваютнапряжения на границах разрыва можно найти как:∫ τ l ∆vl dffl145Эту мощность необходимо учесть при определении мощностивнутренних сил. Тогда основное энергетическое уравнение преобразуется квиду:∫ pivi dF = ∫ σ ijε ij dV + ∫ τ l ∆vl dfFVflСилы трения на контактных поверхностях можно рассматривать каквнешние силы. Мощность сил тренияWτ = ∫τ k ∆vτ df = µ sσ s ∫ ∆vτ dffτfτОкончательно уравнениеследующим образомW p + Wτ = Wσ + WkметодабалансамощностейвыглядитИлиW p = Wσ + Wk − WτЗдесь: W p - мощность внешних сил, Wσ - мощность пластическойдеформации, Wτ - мощность трения на контакте с инструментом, Wk мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.Следует обратить внимание, что в приведенной формуле удельныесилы трения τ k и скорости скольжения ∆vτ необходимо брать со своимзнаком.

Таким образом, если силы трения направлены в сторонупротивоположную скорости относительного скольжения, то величинамощности сил трения будет отрицательна. Если учесть этот факт и приопределении сил трения брать абсолютные значения, то уравнение балансамощностей преобразуется к видуW p = Wσ + Wk + Wτ3.21. Действительные и возможные поля скоростей инапряжений.При рассмотрении основного энергетического уравнения мы исходилииз действительных полей скоростей и напряжений. Действительные поляскоростей и напряжений должны одновременно удовлетворять следующимуравнениям:Уравнениям равновесия σ ij , j = 0Физическим уравнениям связи напряженного и деформированногосостояний.

Для упрочняющегося жестко-пластического тела этоуравнения Сен-Венана – Леви – Мизеса: ε ij =3 εisij2 σiУравнениям неразрывности: ε ii = 0 .Кроме того, действительные поля должны удовлетворять граничнымусловиям. Существует два типа граничных условий – силовые и146кинематические. В соответствии с этим разобьем границу тела F на двечасти.F = F p + FvНа части внешней поверхности F p заданы поверхностные удельныевнешние силы p.F p → piУдельные внешние силы должны быть равны удельным внутреннимсилам (напряжениям).

Внешнюю границу можно рассматривать какнаклонную площадку, поэтому проекции удельных внешних сил накоординатные оси определяются как напряжения в наклонных площадках:pi = σ ji n jНа другой части поверхности Fv заданы скорости течения.Fv → vi 0Части поверхности F p и Fv не пересекаются. Это означает, чтоодновременно в одной и той же точке внешней границы не могут бытьзаданы и поверхностные внешние силы и скорости течения в направлениидействия поверхностных сил. Конечно, на части поверхности, на которойзаданы скорости, возникают удельные силы, и, наоборот, на поверхностях,где заданы силы, есть скорости течения, но они заранее не заданы. Вбольшинстве задач обработки давлением как раз и необходимо определитьвнешние силы на части границы, где заданы скорости движения.Например, для осадки можно считать заданным скорость перемещениябойков, а определить требуется удельную силу, действующую на бойкинормально их поверхности.

Поверхностью Fv будет контактная поверхность,соприкасающаяся с поверхностями бойков. Поверхностью F p будетсвободная поверхность (внешние удельные силы на этой поверхности равнынулю).vFvFvp=0FpНаряду с действительными полями напряжений и скоростей можнорассмотреть возможные поля скоростей vi** и напряжений σ ij* , которые147удовлетворяют не всей совокупности уравнений и условий, а только ихчасти34.Статическивозможноеполенапряженийσ ij*удовлетворяетуравнениям равновесия. В силу соотношений Коши этому полю напряженийсоответствует поверхностная нагрузкаpi* = σ ij* n j ,которая на части поверхности тела F p должна удовлетворять граничнымусловиям по нагрузкам.Кинематически возможное поле скоростей должно удовлетворятьусловиям неразрывности и граничным условиям на части внешнейповерхности Fv .

Полю скоростей vi** в соответствии с уравнениями связисоответствуют скорости деформаций ε ij** . Согласно уравнениям Сен-Венана– Леви – Мизеса тензору скоростей деформации ε ij** соответствует девиаторнапряжений sij** , который с точностью до гидростатического давлениясоответствует тензору напряжений σ ij** . Последний, строго говоря, может неудовлетворять уравнениям равновесия. Согласно уравнениям Коши тензорунапряжений соответствует некоторая поверхностная нагрузка pi**3.22. Статическая теорема теории пластичности (теорема онижней оценке)Рассмотрим статически возможное поле напряжений σ ij* в жесткопластическом теле. Основное требование к статически возможным полямнапряжений – удовлетворение уравнениям равновесия и граничнымусловиям на части поверхности F p . Таких полей в деформированном телеможно предложить бесконечное множество вариантов.В силу соотношений Коши этому полю напряжений σ ij* соответствуетповерхностная нагрузкаpi* = σ ij* n j ,которая на части поверхности тела F p должна удовлетворять граничнымусловиям по нагрузкам.34Различные верхние индексы для возможных полей скоростей иперемещений использованы потому, что возможное поле скоростей несоответствует возможному полю перемещений, если они оба не являютсядействительными.148Поскольку статически возможное поле напряжений удовлетворяетуравнениям равновесия, то для него можно записать основноеэнергетическое уравнение35:**∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dV , где vi - действительное поле скоростей.FVВ то же время для действительного поля напряжений:∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dVFVВоспользовавшись тем, что на части поверхности F p выполняютсяграничные условия, т.е.

F p : pi* = pi , а на части поверхности Fv заданыскорости так, Fv :vi = v0i и при этом F = Fv + F p преобразуем левые частиуравнений:∫ pi vi dF = ∫ pi vi dF = ∫Fv + F pF*∫ pi vi dF = ∫Fpi vi dF +Fppi* vi dF +F p pi∫Fv∫Fvpi* vi dF =∫pi vi dF =v0ipi vi dF +Fppi vi dF +Fpv0i∫∫ pi v0i dFFv*∫ pi v0i dFFvВычтем эти два уравнения почленно. Тогда в левой части уравненийинтегралы по поверхности F p сократятся, в результате чего получим:**∫ pi vi dF − ∫ pi vi dF = ∫ σ ij ε ij dV − ∫ σ ij ε ij dVFvFvVVРассмотрим произведения тензоров напряжений и скоростейдеформаций. В шестимерном пространстве тензоры представляют собой двавектора, а произведение тензоров – скалярное произведение векторов.

Поопределению скалярного произведенияa × b = a b cosαОдним из следствий теории пластического течения является то, чтоглавные оси напряжений и скоростей деформаций совпадают понаправлению. Следовательно, для действительного поля скоростей вектораσ ij и ε ij коллинеарны и угол между ними равен нулю. Поле σ ij* - статическивозможное, следовательно, направление вектора σ ij* в общем случае несовпадает с направлением вектораε ij . Из определения скалярногопроизведения тогда следует:σ ij ε ij ≥ σ ij* ε ijТогда окончательно:35При выводе основного энергетического уравнения мы пользовалисьуравнениями равновесия149*∫ pi vi dF ≥ ∫ pi vi dFFvFvМожно сформулировать, что мощность поверхностных сил,соответствующих любому статически возможному полю напряжений назаданных скоростях всегда меньше мощности действительныхповерхностных сил.

Это положение носит название статической теоремы илитеоремы о нижней оценке.3.23. Кинематическая теорема теории пластичности (теорема оверхней оценке)Рассмотрим кинематически возможное поле скоростей vi** . Основнымусловием построения такого поля является удовлетворение условиямнепрерывности и граничным условиям на части поверхности Fv :Fv → vi** = v0iТакже как и статически возможных полей напряжений, кинематическивозможных полей скоростей в деформируемом теле можно предложитьбесконечно много.Полюскоростейvi**всоответствиисуравнениямисвязисоответствуют скорости деформаций ε ij** .()1 **vi, j + v*j*,i2Согласно уравнениям Сен-Венана – Леви – Мизеса тензору скоростейε ij** =ε ij** деформации соответствует девиатор напряжений sij**2 σ i **sij** =ε ij ,3 εiкоторый с точностью до гидростатического давления соответствует тензорунапряжений. Таким образом, по полю возможных скоростей можнопостроить поле напряжений, которое, строго говоря, может не удовлетворятьуравнениям равновесия.В то же время на границе F p полученное поле напряжений должноудовлетворять граничным условиям:F p → pi** = pi , где pi** = σ ij**n jОсновное энергетическое уравнение применимо по отношению кдействительному полю напряжений и кинематически возможному полюскоростей:**∫ pi viFdF = ∫ σ ij ε ij**dVV150Поскольку на части поверхности Fv кинематически возможное полескоростей удовлетворяет граничным условиям Fv → vi** = v0i левую частьравенства преобразуем к следующему виду:**∫ pi viF**∫ pi vidF =∫dF =Fv + F ppi vi**dF +Fp∫ pi v0i dFFvПравую часть равенства преобразуем к виду (вычтем и прибавим однуи туже величину):⎛⎞**⎜ σ ε **dV − σ **ε **dV ⎟ + σ **ε **dVσεdV=∫ ij ij∫ ij ij ⎟ ∫ ij ij⎜ ∫ ij ijVV⎝V⎠ V≤0Разность в круглых скобках меньше нуля, поскольку вектора σ ij** и ε ij**параллельны между собой.

Тогда∫pi vi**dF +Fp** **∫ pi v0i dF − ∫ σ ij ε ij dV ≤ 0FvVС учетом этого неравенства основное энергетическое уравнение можнопреобразовать к виду:** **∫ pi v0i dF ≤ ∫ σ ij ξ ijFvdV −V**∫ pi vidFFpПравая часть неравенства представляет собой интеграл по поверхностиFv некоторой поверхностной нагрузки pi** , которая соответствует полюнапряжений σ ij** .

Используя ее можно найти неизвестные поверхностныесилы pi** на поверхности Fv , соответствующие кинематически возможномусостоянию.**** ****∫ pi v0i dF = ∫ σ ij ξ ij dV − ∫ pi vi dFFvVFpТогда окончательно:**∫ pi v0i dF ≤ ∫ pi v0i dFFvFvЭто неравенство представляет собой кинематическую теорему теориипластичности, или теорему о верхней оценке.Таким образом, мощность поверхностной нагрузки, соответствующейкинематически возможному полю скоростей на заданных скоростях всегдабольше мощности действительной поверхностной нагрузки.Это положение носит название кинематической теоремы или теоремы оверхней оценке.Теоремы о верхней и нижней оценке дают возможность определитьинтервал мощности действительных поверхностных сил на заданныхскоростях:151**∫ piFvv0i dF ≥*∫ pi v0i dF ≥ ∫ pi v0i dFFvFvВ случае действия сосредоточенной внешней силы можно утверждать,что:P** ≥ P ≥ P*Инымисловамиреальнаядеформирующаясилабольшедеформирующей силы, определенной для статически возможного полянапряжений и меньше силы, определенной для кинематически возможногополя скоростей.3.24.

Характеристики

Список файлов книги