Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Обратите3внимание, что при любом t тангенциальное напряжение σ θ большерадиального σ ρ .Этимусловиямсоответствуетинтервал5π6ρРешения, лежащие левее максимума, не имеют физического смысла. Вэтом диапазоне при ρ = R , радиальное напряжение отлично от нуля, чтопротиворечит граничным условиям.Таким образом, для того, чтобы вся труба находилась в пластическомсостоянии при плоском напряженном состоянии, ни при каких t отношениевнешнего и внутреннего диаметра трубы не может быть больше 2.963.Физически это означает, что для R / r > 2.963 при плоском напряженномсостоянии не существует такого внутреннего давления, которое бы перевеловсю трубу в пластическое состояние.
Иными словами при плоскомнапряженном состоянии часть трубы для R / r > 2.963 будет деформироватьсяупруго.Для определения давления, необходимого для перевода всей трубы снаружным радиусом R и внутренним r в пластическое состояние требуетсяГрафик имеет максимумподставить ρ = r в формулуRR= 2.963 при t = −2ρ2⎛ π⎞− 3⎜ t + ⎟2⎝ 3 ⎠ и найти t . Затем=−sin t ⋅ e31⎛⎞sin t ⎟ . График измененияподставить его в формулу σ ρ = σ s ⎜ cos t +3⎝⎠166давления в долях от σ s при различных отношениях радиусов внешней ивнутренней поверхностей трубы приведен ниже.СдостаточнойточностьюRформулой: p = 1.06σ s lnrрешениеможетбытьаппроксимировано4.3.
Инженерный метод4.3.1 Общие положения инженерного методаМетод интегрирования уравнений равновесия совместно с условиемпластичности дает возможность получить решения только для узкого кругазадач, большинстве своем далеких от реальных технологических процессов.Поэтому предпринимались попытки упростить задачу, найти такиеприближенные методы решения, которые, с одной стороны, не находилисьбы в большом противоречии с физикой конкретного технологическогопроцесса, а с другой стороны облегчали бы вычисления и, желательно,приводили бы к аналитическим выражениям.К числу наиболее распространенных приближенных аналитическихметодов относится инженерный метод.Основная идея инженерного метода состоит в сознательном отказе отточного определения напряженно-деформированного состояния внутризаготовки в пользу получения достаточно простых аналитическихзависимостей, позволяющих определить деформирующую силу и работудеформирования.
Иными словами основной целью в данном методе являетсяопределение напряжений на контактных поверхностях заготовки сдеформирующим инструментом.Таким образом, достоинством метода является возможностьполучения аналитических зависимостей для определения важнейшихпараметров, необходимых для выбора технологического оборудования –величины максимальной технологической силы, необходимой длявыполнения операции и величины работы деформирования.167К недостаткам метода следует отнести то, что достовернуюинформацию о распределении напряжений и деформаций по всему объемудеформируемого материала получить с помощью этого метода нельзя.Инженерный метод в литературе носит несколько названий:«инженерный» метод,метод совместного решения приближенных уравнений равновесия иприближенного условия пластичности,метод течения тонкого слоя по жестким поверхностям,метод осредненных напряжений.Каждое из этих названий раскрывает одну из существенных сторонэтого метода.
Название «инженерный метод» подчеркивает, метод непретендует на большую точность и предназначен для использования винженерной практике, когда важно иметь достаточные простыеприближенные формулы, качественно правильно отражающие реальныйфизический процесс. Количественное совпадение может быть достигнутовведением поправочных коэффициентов.Математическая основа метода состоит в решении приближенныхдифференциальных уравнений равновесия совместно с приближеннымусловием пластичности без привлечения физических соотношений. Этоподчеркивается во втором названии метода.Показано, что решения, эквивалентные получаемым посредствоминженерного метода (особенно для задач объемного деформированиязаготовок) могут быть достигнуты, если представить заготовку в видесовокупности тонких слоев, которые деформируются по высоте и скользятдруг относительно друга (третье название).И, наконец, в четвертом названии подчеркивается физический смыслдопущений метода – осреднение напряженного состояния в очагепластической деформации.В наиболее общем виде основные положения этого метода изложил иэкспериментально обосновал Е.П.Унксов для задач объемной штамповки.Основные положения метода состоят в следующем:Механическую схему деформации приводят к плоской илиосесимметричной.
В осесимметричной задаче в обоснованных случаях(когда эти напряжения имеют один знак) два нормальных напряженияпредполагают равными между собой ( σ ρ = σ θ ).Определяют только нормальные напряжения на контактных поверхностях.Нормальные напряжения на контакте считают зависящими только откоординаты, ось которой направлена по касательной к контактнойповерхности. Касательные напряжения считают зависящими линейно откоординаты, ось которой совпадает с нормалью к контактнойповерхности.Используют приближенные условия состояния пластичности взависимости от величины удельных сил трения на контактнойповерхности.168Рассмотрим эти допущения подробнее.Приведение схемы напряженного состояния к плоской илиосесимметричной необходимо для сокращения числа неизвестныхкомпонент тензора напряжения, т.е.
к снижению размерности задачи.Число уравнений равновесия также в этом случае сокращается.∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ θ∂σ x ∂τ yx+= 0;+=0+∂z∂x∂y∂ρρДля ПДС и ПНС:Для ОС:∂τ ρz ∂σ z τ ρz∂σ y ∂τ xy+=0++= 0.∂y∂x∂ρ∂zρДля построения замкнутой системы уравнений в инженерном методеоказывается достаточным использовать только первое из уравненийравновесия. Второе уравнение равновесие обычно не используют.Равенство нормальных напряжений ( σ ρ = σ θ ) называют условием полнойпластичности.Для определения деформирующей силы и работы деформированиядостаточно определить напряжения на контактных поверхностях междуинструментом и заготовкой. Деформирующая сила может бытьопределена интегрированием эпюры нормальных напряжений по площадиконтактной поверхности. Например, для осесимметричных задач придвижении деформирующих инструментов вдоль оси z нормальныенапряжения на контактных поверхностях - σ z .
Тогда силадеформирования:P = ∫ σ z dF , где F – текущая площадь контактной поверхности.FМатематически это допущение можно выразить следующим образом:Для плоского деформированного состояния, если инструмент движетсявдоль оси y, а в направлении оси z отсутствует деформация:σ y = f ( x); τ yx = Ay .Для осесимметричного состояния: σ z = f ( ρ ); τ zρ = BzКак будет показано дальше, такие допущения приводят к сокращениючисла дифференциальных уравнений равновесия до одного. Этоуравнение будет содержать уже обыкновенные производные взаменчастных.Физически это допущение равнозначно осреднению нормальныхнапряжений в направлении одной из осей.Условие пластичности позволяет исключить одну переменную изуравнений равновесия.
Однако квадратичный вид условия пластичностиМизеса приводит к математическим трудностям. Упрощенный видусловия пластичности Мизеса: σ 11 − σ 33 = βσ s имеет линейный вид.Однако, при решении практических задач редко можно предугадатьнаправления главных осей и решать задачу в главных осях. Гораздо чащеприходится иметь дело с общим случаем декартовой или цилиндрической169системы координат. Поэтому следует упростить условие состоянияпластичности таким образом, чтобы в нем фигурировали не главныенапряжения, а компоненты тензора напряжений в произвольных осях.Е.П.Унксов предложил следующую линеаризацию условия состоянияпластичности:если удельные контактные силы трения малы 0 ≤ τ K ≤ 0.7k , то ввыражении для условия пластичности можно пренебречь касательныминапряжениями;если удельные контактные силы трения велики 0.7k < τ K ≤ k , то вусловии пластичности касательные напряжения следует принять равнымиσих максимально возможному значению k = s .3Ранее мы получили следующее выражение для условия пластичностиМизеса для плоского деформированного состояния39:242σ x − σ y 2 + 4τ xy= σ s2 = σ s* = 4k 23σx −σ yτ xyОбозначим ξ =;η=, тогда условие пластичности2kkпримет вид:()( )ξ 2 + η 2 = 1.Это – уравнение окружности радиусом единица в координатах η ,ξ .Линеаризация условия пластичности по Унксову означает замену единичнойокружности ступенчатой функцией вида:ξ = 1 → η ≤ 0.7ξ1ξ = 0 → η > 0.7ξ2+η2=1Тогда очевидно, что для малых удельных0 ≤ τ K ≤ 0.7kупрощенноеконтактных силусловие пластичности по Унксову будет иметьвид:0.7 1 ησ x − σ y = ±σ s* ,а для больших удельных контактных сил ( 0.7 k < τ K ≤ k ):σ x −σ y = 0Продифференцируем упрощенное условие пластичности Мизеса дляплоского деформированного состояния по x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
