Учебное пособие по курсу лекций (1164067), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Поэтомуплоскости, перпендикулярные оси цилиндра иногда называют девиаторнымиплоскостями.Если деформация сопровождается упрочнением, то напряжениетекучести увеличивается, и, следовательно, поверхность пластичностирасширяется.3.11. Физический смысл условия пластичности Губера-МизесаПолная удельная28 потенциальная энергия упругой деформации равнаполовине скалярного произведения тензора напряжений на тензордеформаций и для главных осей имеет вид:11AΠ = Tσ Tε = (σ 1ε1 + σ 2ε 2 + σ 3ε 3 )2228Удельная энергия – энергия отнесенная к единице объема111Для того чтобы понять физический смысл этой записи рассмотримпотенциальную энергию упругой деформации гладкого цилиндрическогообразца при одноосном растяжении. Потенциальная энергия растянутогостержня равна половине произведения силы на абсолютную деформациюстержня:1AΠ = Pλ2l − l0P = σ F;l 0 = ε l0λ = l − l0 =l0A111AΠ = σ F l0 ε = σ Vε ⇒AΠ = Π = σ ε22V2Удельную потенциальную энергию можно представить как суммуудельной энергии изменения объема и удельной энергии изменения формы.Действительно тензоры напряжений и деформаций можно представить ввиде суммы шаровых тензоров и девиаторов:11AΠ = Tσ Tε = Tσ0 + Dσ Tε0 + Dε =22⎛⎞1⎜ 0 0⎟00= ⎜ Tσ Tε + Tσ Dε + Dσ Tε + Dσ Dε ⎟ =2⎜⎟=0=0⎝⎠11= Tσ0Tε0 + Dσ Dε = AΟ + AΦ22()()(ε x − ε cp ) + σ cp (ε y − ε cp ) + σ cp (ε z − ε cp ) =(ε x + ε y + ε z − 3ε cp ) = 0Dσ Tε0 = (σ x − σ cp )ε cp + (σ y − σ cp )ε cp + (σ z − σ cp )ε cp == (σ x + σ y + σ z − 3σ cp )ε cp = 0Tσ0 Dε = σ cp= σ cpКак мы помним, шаровые тензоры описывают изменение объема, адевиаторы – изменение формы тела.
Преобразуем выражение дляпотенциальной энергии изменения формы.1AФ = Dε Dσ2В упругой области зависимость между напряжениями и деформациямиописывается обобщенным законом Гука:sijeij =, i , j = x, y , z2GС учетом полученных соотношений удельная энергия измененияформы в упругой области примет следующий вид в главных координатах:112()])111+ µ 222AΦ = Dσ Dε = (s11e11 + s22 e22 + s33e33 ) =s11 + s22+ s33=222E1+ µ=σ 1 − σ cp 2 + σ 2 − σ cp 2 + σ 3 − σ cp 22EДальнейшие преобразования дают⎤⎡1+ µ ⎢ 2⎥222()σσσσσσσσ32AΦ =+++−++123123cpcp⎥=2E ⎢⎢⎣⎥⎦3σ cp[([[([[) () (]1+ µ 22σ 1 + σ 22 + σ 32 − 3σ cp=2E1+ µ3 σ 12 + σ 22 + σ 32 − (σ 1 + σ 2 + σ 3 )2 ==6E1+ µ2σ 12 + 2σ 22 + 2σ 32 − 2(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) ==6E1+ µ(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2=6EВ случае одноосного растяжения σ 1 ≠ 0; σ 2 = σ 3 = 0 .
Момент переходав пластическое состояние определяется равенством σ 1 = σ S . Поэтомуудельная энергия изменения формы для одноосного состояния имеет вид:1+ µ 2 1+ µ 2AΦ =σ1 =σS3E3EПредположим, что удельная потенциальная энергия упругогоизменения формы не зависит от схемы напряженного состояния и к моментуперехода в пластическое состояние должна накопить некоторое предельноезначение.Тогда приравняв полученное выражение энергии формы, накопленнойв момент перехода в первое предельное состояние для одноосногорастяжения и значение энергии изменения формы для общего случаяполучим выражение для условия пластичности, аналогичное приведенномуранее выражению для цилиндра пластичности Губера-Мизеса.=)]]](σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 2σ S2Таким образом, условие пластичности Губера – Мизеса – Генки можетбыть следующим образом:Пластическое состояние наступает и поддерживается тогда, когдаудельная потенциальная энергия упругого изменения формы достигаетпредельного значения, характеризующего переход в пластическое состояниепри одноосном растяжении-сжатии.113Исходя из физического смысла условия пластичности Губера – Мизеса– Генки это условие иногда называют энергетическим29.Энергетическое условие можно привести к несколько другому виду.Вспомним выражение для интенсивности напряжений:1(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 =σi =2122=σ x − σ y 2 + σ y − σ z 2 + (σ z − σ x )2 + 6 τ xy+ τ 2yz + τ zx2Сравнив это выражение с энергетическим условием можносформулировать следующее условие пластичности:σi =σ SОтсюда следует еще одна формулировка условия пластичности Губера– Мизеса - Генки:Пластическое состояние в произвольной точке деформируемого теланаступает и поддерживается тогда, когда интенсивность напряженийстановится равной напряжению текучести для одноосного напряженногосостояния.Можно привести еще одну форму записи энергетического условияпластичности.
Вспомним, что интенсивность касательных напряжений Tсвязана с интенсивностью напряжений σ i выражением:(T=) ()()σiσ, откуда T = S33σk = S называют постоянной пластичности. Поэтому3условие пластичности можно также записать в виде:T =kПластическое состояние в произвольной точке деформируемого теланаступает и поддерживается тогда, когда интенсивность касательныхнапряжений становится равной постоянной пластичности.Можно также вспомнить, что интенсивность напряжений являетсяфункцией второго инварианта девиатора напряжений.
Таким образом,энергетическое условие пластичности утверждает, что переход впластическое состояние для изотропного тела зависит только от второгоинварианта девиатора напряжений.1σ i = 3 I 2 ( Dσ ) , но I 2 ( Dσ ) = − sij sij2Величину29Следует сказать, что в 1956 году опубликована статья,свидетельствующая, что еще в 1856 году Максвелл в письме к Кельвинусформулировал условие пластичности, которое в современных обозначенияхимело бы вид:(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = const114Отсюда получим выражение для условия пластичности Мизеса втензорной форме:2sij sij = σ S2 , i, j = x, y, z , или − 3I 2 (Dσ ) = σ s23Здесь sij - компоненты девиатора напряжений.На современном этапе развития теории пластичности считают и этоподтверждено экспериментальными исследованиями, что энергетическоеусловие пластичности более точно отражает условие перехода в первоепредельное состояние.3.12.
Влияние среднего главного напряжения на переход впластическое состояние.Сравнив условия пластичности Треска – Сен-Венана и Губера –Мизеса, можно заметить, что второе учитывает все три главных напряжения,то первое – только два (максимальное и минимальное). Тем не менее,практика показывает, что как первое, так и второе условия пластичностидают хорошее приближение к экспериментальным данным. Возникаетвопрос, насколько эти формулировки отличаются друг от друга и,следовательно, как влияет величина среднего главного напряжения30.Вернемся к геометрической интерпретации условия пластичности.
Впространстве главных напряжений энергетическое условие пластичностипредставляет собой круглый цилиндр, ось которого проходит через началокоординат и наклонена к главным осям под одинаковыми углами.Рассмотрим сечение поверхности пластичности плоскостью σ 2 = 0 .Сечение поверхности пластичности Мизеса будет представлять собойэллипс, а поверхности Треска – Сен-Венана – шестиугольник, вписанный вэллипс. Очевидно, что малая полуось эллипса равна радиусу цилиндраCC2пластичности Мизеса 1 2 = R = σ S23Геометрическое место точек, для которых σ 2 = 0 , представляет собойплоское напряженное состояние.
Фигуры, полученные сечениемповерхностей пластичности плоскостью σ 2 = 0 , называются контурамипластичности Σ. Эти контуры определяют предельное положение точек,характеризующих плоское напряженное состояние. Точки, лежащие наконтуре пластичности, характеризуют такое сочетание главных напряжений,при котором материал в находится в пластическом состоянии.Следует обратить внимание, что при рассмотрении контурапластичности, как и при рассмотрении поверхностей пластичности, мы неПод средним главным напряжением будем понимать напряжение σ22=σСГ.Следует различать среднее главное напряжение и среднее нормальноенапряжение σСР, равное одной трети первого инварианта тензоранапряжений.30115упорядочиваем главные напряжения по величине. Иными словами условиеσ 1 > σ 2 > σ 3 в данном случае не используется.σ3ΣТреска-СенВенанаΣГубера-МизесаD2A2B1σSC2D1σSA3−σSA1D3σ1C1−σSB2A4D4Из рисунка видно, что условия пластичности Треска и Мизесасовпадают в двух частных случаях:Для одноосного напряженного состояния (точки А1…А4, в которыхдва главных напряжения равны нулю, а третье по абсолютной величинеравно напряжению текучести).
Например, для точки А1 справедливоσ 1 = σ s = σ max ,σ 2 = 0 = σ 3 = σ minДля двухосного равномерного растяжения или сжатия (точки B1, B2,характерные тем, что два главных напряжения равны между собой помодулю и равны напряжению текучести). Например, для точки B1справедливо:σ 1 = σ s = σ max = σ 2 ,σ 3 = 0 = σ minМожно сделать вывод, что условия пластичности Треска и Мизесасовпадают, когда среднее главное напряжение становится равнымодному из крайних главных напряжений (максимальному илиминимальному).Максимальное отличие между различными формулировками условийтекучести будет в точках D1…D4, соответствующих одновременно какплоскому напряженному, так и плоскому деформированному состоянию.Напомним, что для плоского деформированного состояния одно из главныхнапряжений равно полусумме двух других. Действительно, для точки D1:σ +σ221σ1 = σ S ;σ 2 = 0;σ3 = σ S⇒σ3 = 1233116В этом случаеσ+ σ minσ 1 = σ max , σ 2 = σ min , σ 3 = σ сг = max2Т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
