Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Разумеется, реализовать явно описанную итерационную процедуру построения нелинейной теории без привлечения дополнительных соображений было бы затруднительно уже в силу многообразия физически интересных материальных систем. Попытаемся поэтому найти путеводную нить построения, рассмотрев более детально следствия, к которым приводит введение лаграижиана взаимодействия (4.3.1). Варьирование полного лагранжиана (4.2.3), (4.3.1) по Ь„„ приводит к уравнениям поля с источником ,х,х х х ы Ькк. х Ькх.
к Ьк,ьк + Ьх. кк+Ь~ч (Ь ьт Ь. ь) = х~ Тик — — т)ктТ), Т: — Ткк (4.3.4) 2 Найдем гравитационное поле, создаваемое точечной массой, покоящейся в начале координат. В этом случае единственная отличная от нуля компонента тензора энергии-импульса равна Тдт Мбэ (г) (4.3.6) Решением уравнения (4.3.5), сводящегося к уравнени1о Пуасеоиа, является ньютоновский потенциал хМ 'тте = 4кг (все остальные компоненты тр„„равны нулю).
Чтобы понять влияние этого поля на движение других частиц, построим действие для пробной точечной чаетицы во внешнем гравитационном поле. Для .этого к действию свободной частицы массы пт, движущейся в пространстве Минковского вдоль мировой линии х" (з), которое здесь удобно выбрать в виде 'т д„к Я,— — ~ — хкхтт)„,(х х"ж— 32 1 — ~э~ добавим взаимодействие с тензорпым полем, полагая в (4.3.!) Тк =т) хкх'б4(х — х(з))4(з. (4.3.9) Результирующее полное действие приобретает вид 3 ~,(.
(з) ~(з, где лагранжиан равен Ь (з) = — — хкх" (тъ, + кЬ„). (4.3.11) Варьирование этого лагранжиана приводит к следующим уравнениям движения: д к — (х" (т1к„+ кЬ„„(х (з))О = — — ~ х"хь. (4.3.12) дт дхк Заметим, что из уравнений выпадает масса — в этом можно усмотреть следствие принципа эквивалентности равенства инертной и гравитационной масс. Но еще более неожиданной чертой уравнения движения частицы во внешнем тензорном поле оказывается то, что само положение частицы впространстве Минковского, т. е. координаты х"(з), зависит от выбора калиб* розки гравитационных потенциалов Ь„„. Действительно, при калибровочном преобразовании (4.2.1) уравнение (4.3.12) изменяется, если только одновременно не подвергнуть координаты частицы преобразованию вида хи — хк + к~к.
(4.3.13) В этом случае калибровочная инвариантность уравнений движения относительно бесконечно малых преобразований грави- 1— 1» = — йи»х». 2 (4.3.14) Тогда преобразованные потенциалы обратятся в нуль, одновременно «перенормируются» координаты в окрестности выбран'ной точки:. к— хя — х»а = хи+ —.Йи»х», 2 Записанная в терминах перенормированных координат функция Лагранжа (4.3.11) приобретает вид функции Лагранжа свободной частицы: 1. (з) = — — х»х» (т1„~+ хЬ„») = — — х»ах»в«1»~. (4.3,16) Далее, исходя из уравнения, (4.3.12), можно показать, что ве- личина 1= х (т1 +ил ) (4.3.17) является интегралом движения. Выберем параметр з так, чтобы 1 равнялось единице. Тогда, если предположить, что координать1 пространства'Минковского определяют физические расстояния и промежутки времени, то мы пришли бы к парадоксальному выводу, что скорость частицы не ограничена сверху.
Действительно, пусть для простоты й„„имеет диагональный вид. Рассматривая одномерное движение вдоль оси х, для квадрата скорости получаем неравенство ~<~~) ~,2(.) — ~ ~+ивою (х) ~ Величина «локальной скорости света» с(х), как видно из этой формулы, может быть как меньше, так и больше единицы (физической скорости света). Напротив, в терминах «перенормированных» координат инвариант 1 приобретает вид (4.3.19) 1 = хиах~вЧ»» характерный для пространства Минковского, и все становится на свои места.
~2В тационных потенциалов будет обеспечена, но мы приходим к неожиданному выводу, что координаты частицы в пространстве Минковского наблюдаемы! С помощью калибровочных преобразований можно обратить в нуль гравитационные потенциалы в окрестности любой выбранной 'точки в пространстве Минковского. Пусть Ж„„ — значения потенциалов в выбранной точке х'. Подвергнем потенциалы калибровочному преобразованию, выбирая в качестве $„ линейную функцию координат: Итак, рассмотрение движения пробной точечной частицы в гравитационном поле, описываемом тензором второго ранга,' показывает, что координаты пространства Минковского, перестают быть физическими координатами, связанными с физическими расстояниями и промежутками времени.
Выбрать физи-', ческие координаты удается лишь локально, в окрестности выбранной точки. Склеивание таких локальных карт приводит к концепции искривленного (риманова) пространства-времени, В искривленном пространстве-времени координаты уже ие задают непосредственно расстояния и промежутки времени, но лишь «нумеруют» события. Для нахождения физических расстояний и промежутков времени необходимо задать конкретную процедуру измерения, в рамках которой эти величины могут быть вычислены.
К аналогичным выводам приводит и рассмотрение взаимо-' действия тензорного поля с другими материальными системами. Например, в случае электромагнитного поля, подставляя выражение (2.5.6) для тензора энергии-импульса в (4.3.1), получаем следующий лагранжиавн взаимодействия: -'~'вз = — — 1фи»1'"~~их — — Ри»Р»'). (4 3 20) 2~ 12 Соответствующие полевые уравнения будут иметь вид + г»»+ и (ь»11'»„+ й»х1'и„)~ — 9 дГ~~ 2 ~ (4.3.2!) бич »+ 1»м и+ 1ьж»= 9 Эти уравнения также неинварианты относительно калибровочного преобразования гравитационных потенциалов. Однако калибровочную инвариантность можно восстановить, если потребовать одновременно с (4.2.1) преобразования 4-потеициала электромагнитного поля согласно соотношению А»-ч Аи — ха» .4' (4.3.22) Это соотношение есть не что иное, как преобразование вектора в искривленном пространстве-времени, порождаемое преобразованием координат (4.3.11). Итак, попытки ввести взаимодействие в линейную теорию тензорного поля приводят к следующим выводам.
1. Линейная теория не может служить основой самосоглаоованиой:картины взаимодействия гравитационного поля с материальными системами. 2. В присутствии гравитационного поля координаты пространства Минковского больше не определяют физические расстояния и промежутки времени. 3. Одновременно с калибровочными преобразованиями гравитационных потенциалов необходимо подвергнуть преобразованиям переменные, описывающие материальные системы. Эти преобразования можно интерпретировать как индуцируемые преобразованием координат, которые необходимо совершить в уравнениях движения пробных тел.
В заключение этого раздела вернемся к задаче движения пробной частицы в поле другой частицы (4.3.7) и найдем знаонстанты связи, сопоставляя с картиной движения в ..7 в 43.12 ньютоновской теории. Подстановка выражения (4.3. ) в ( .. ) приводит к уравнению (считаем скорость малой по сравнению со скоростью света) И~г х х~ М вЂ” = — — т "Ьо = — ч —. Ю 4 16 я г Сопоставляя с законом Ньютона, приходим к выводу, что константа связи я и гравитационная постоянная б связаны соотношением (4.3.24) х' = 16яСг й 4.
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ И МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ Решающий шаг состоит в изменении интерпретации калибровочных преобразований (4.2.1) самого тензора Ь„„. Как мы убедимся чуть позже, рассмотрев закон преобразования компотензоров в многообразии, эти преобразования также можйент те но понимать как следствие преобразования коорд инат (4.3.13).
Оставаясь пока на эвристическом уровне рассуждений, заметим, что в уравнение движения точечной частицы в гравитационном поле (4.3.12) тензор Ь„„'входит только как добавка к метрическому тензору Минковского бич = Чаю+ мяч Попытаемся теперь интерпретировать д„как метрику пространства-времени в присутствии гравитационного поля, т. е. будем считать, что квадрат интервала в пространстве событий определяется квадратичной формой гФ = Нич~(х" ~(х =(Чья+ яЬич) д~'~(» Тогда преобразования координат хв х'ь = ха+ я$в (х) (4.4.3) при сохранении квадрата интервала, а также самой записи метрики в форме (4.4.1) приводят к соотношению й~=(Чв~+яЬи~) дхадх~ = (Чвч+ яЬ эч) д» и д» т= = (Чвч+ хЬ'~в) Фхь+ Ф', ч (4»') (4»'+ х3', р АР).
(4 4.4) Отсюда, с точностью до членов линейных по $", находим что, очевидно, совпадает с постулированным в $2 калибровочным преобразованием (4.2.1). По существу, мы лишь дополнили интерпретацию преобразований переменных материальной системы как индуцнруемых преобразованием координат, распространив ее на само гравитационное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
