Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Под этим понимается совпадение тензоров Вейля двух римановых пространств, метрики которых связаны конформным соотношением ямй (х) = ш (х) пм„ (4.5.19У (ш(х) — некоторая скалярная функция). Тензор кривизны, а также тензор Риччи этим свойством не обладают. Читателю предлагается в качестве упражнения получить соответствующие законы преобразования. Свертывание по индексам тождества Бианки (4.5.15) для тензора кривизны позволяет получить тождества Бианки для тензора Риччи, которые можно записать в виде 6м",, = О. (4.5.20) Здесь введен симметричный тензор второго ранга 9 й=)~мй ймйР, (4.5.21) 2 называемый тензором Эйнштейна, который играет основную роль в формулировке динамики гравитационного поля.
Выясним, что является его аналогом в лииеаризованной теорпи. Подставляя метрический тензор в виде (4.4.1) в выражение (4.4.15) для символов Кристоффеля, в линейном порядке находим й Гм, = — (Ь, +Ам,,— А (4.5.22) Подставляя это выражение в (4.5.8) и далее вычисляя тензор Риччи и тензор Эйнштейна, можно убедиться в том, что линейная по А„„часть 6"' совпадает (с точностью до и) с левой частью уравнений тензорного поля (4.2.6) в пространстве Минковского, а тождества Бианки (4.5.20) в линейном порядке по А„, переходят в тождества Бианки (4.2.9) линеаризованной теории.
Это открывает очевидный путь обобщения линеаризоваиных уравнений гравитации, с тем чтобы подучить калибровочно-инвариантное (т. е. в терминах тензоров риманова пространства-времени) описание полной нелинейной динамики гравитационного поля. й В, УРАВНЕНИЯ ЭИНШТЕИНА Встав на путь геометрического описания гравитационного поля, мы пришли к выводу, что для формулировки точных общековариантных уравнений теории, ранее известной в линейном приближении в пространстве Минковского, достаточно отыскать такие объекты тензорной природы, которые в локально лоренцевой системе переходили бы в соответствующие 144 4)бъекты'линеаризованной теории. Теперь в нашем распоряжейии есть все необходимое, чтобы сформулировать точные уравнения гравитационного поля, которые обобщили бы уравнения (4.3.4) линеаризованиой теории.
Можно утверждать, что таковыми являются следующие уравнения: 1, Кмй=8п6(Тм~ —,— 'пмйТ). '(4 6 1) .,'' 2 Прежде всего обратимся' к правой части (4.6.1). При сопоставлении с линеаризованиой теорией следует иметь в виду, чГо в последней в выражении для источника тензорного поля гравитацией нужно было пренебречь. С учетом этого очевидно, что правая часть (4.6.1) с точностью до коэффициента переходит 'в правую часть уравнения '(4.3.4).
' Далее непосредственным вычислением можно убедиться в том, что левая часть (4.6.1) при Подстановке 'в качестве метрики разложения (4.4.1) в линейном приближении переходит в левую часть (4.3.4) с точностью до коэффициента. Далее, принимая во внимание значение константы лниеаризава~иной теории, следующее из (4.3.24), находим, что указанное соответствие уравнений (4.6.1) я (4.3.4) является точным. Точно так же можно убедиться в том, что в локально лоренцевой системе отсчета (4.6.1) в точности переходит в (4.3.4): Наконец, тензорилый характер (в смысле риманова пространства событий) уравнения (4:6,1) говорит о том, что сделанное утверждение правильно.
Перепииэем. уравнения (4.6.1) в виде 6м' = 8л6Тм', (4.6.2) более удобном для дальнейшего анализа. Эти уравнения, называемые уравнениями Эйнштейна, как нетрудно видеть, свободны от противоречия, от которого страдали уравнения (4.3.4) линеаризованной теории — как правая; так и левая часть теперь имеют равную нулю ковариантную дивергенцию: левая часть в силу тождества. Бианки (4.5.20), а правая — в силу ковариантного условия консервативности тензора энергии- импульса„полной материальной системы в присутствии гравитационного поля: (4.6.3)' Т4", = О. Тем самым нам удалось избавиться от основного противоречия, неизбежно возникающего при попытке сформулировать теорию в пространстве Минковского, когда изменения правой части уравнений с целью удовлетворить условию консерва-, тивности с учетом гравитационного взаимодействия приводила к изменению левой части и т.
д. По существу, уравнения Эйнштейна и представляют собой компактную запись получаемого таким образом итерационного ряда. Далее нам удалось преодолеть и трудность, связанную с 1 приближенным характером калибровочной ' симметрии. По- 145 стронв уравнения в общековариантной форме, мы тем самым, сделали калибровочную инвариантность точным свойством теории. Нетривиальной особенностью уравнений Эйнштейна является то, что они содержат внутри себя и уравнения материальной системы, порождающей самосогласованное гравитационное поле. Эти уравнения содержатся в ковариантном законе сохранения (4.6.3). Проиллюстрвруем это на примере точечной частицы. Тензор энергии-импульса можно ааписать в виде .Уж» = — х 'дл ~ — д (др»Глр~ — йр'лГ»„р).
(4.6.7'у После преобразований находим у + у 6!» — — — Х-2г':ал, (4.6.8) где )г — скалярная кривизна. Этот лагранжиаи калибровочноинварнантев, и данный выбор может показаться удовлетворительным, однако скалярная кривизна содержит вторые производные от метрики и при варьировании следует учитывать более точно граничные условия. Если многообразие имеет гра- 14б Тр" = т ~ и~и" 8! (х — х Я)— (4,6.4). )::а' Вычисление ковариантной дивергенции этого выражения дает «л ~ ( — +Гр,лйил) 8'(х — х(з))=0. (4.6.5~ Рандир 1 д» ,)(, д ' )-)~— Нетрудно видеть, что стоящее под знаком интеграла выражение тождественно абсолютной производной вектора 4-скорости, и потому условие консерватп!вности приводит к воспроизведению уравнения геодезических.
Обсудим теперь вопрос о выборе лагранжиана для уравнений Эйнштейна. Прежде всего заметим, что из сопоставления лииеаризованного выражения для символов Кристоффеля (4.5.22) и лагранжиана линеаризованной теории (4.2.3) можно сделать вывод, что последний представим,в форме 2' = — я 'у' — ядР» (ГРрлГ",р — Гл,ГРлр). (4.6.6) Оказываетея, что варьирование этого лагранжиана как точного по метрике д„, действительно приводит к уравнениям Эйнштейна.
Недостатком этого лаграижиана является то, что символы Кристоффеля калибровочпо-неииварнантные величина, Неудивительно, что и в линеаризованной теории удалось добиться калибровочной ииварнантности лишь относительно бесконечно малых преобразований. Можно, однако, добавить к «гамма-гамма» лагранжиану (4.6.6) полную днвергенцию ницу, причем нормальные вариации на границе не обращаютсн в нуль, то для полученйя уравнений Эйнштейна к этому лагранжиану нужно добавить еще поверхностный член вида 2 ) К ~ Ь Я' !1»х+ сопл(, (4.6.9) где К вЂ” след второй фундаментальной формы поверхности, Л вЂ” определитель метрики, индуцируемой на поверхности. Правая часть уравнений Эйнштейна естественным образом возникает при варьировании действия материальной системы по метрике. Такой тензор энергии-и!мпульса,:называемый .метрическим, симметричен, ковариантно сохраняется Т 2 д ( ау ) (4.6.10) д Р« Левая часть уравнений Эйнштейна (4.6.2) представляет собой нелинейное выражение от компонент метрики и ее первых производных по координатам х".
Пусть одна из компонент х« выбрана в качестве времени, и мы хотим проследить за эволюцией решения, заданного на начальной гиперповерхностн. Оказывается, что не все десять уравнений (4.6.2) являются динамическими, т. е. содержат вторые производные от метрики по времени. Действительно, из тождеств Бианки (4.5.20) вытекает ((=х') дп"! био дп» Гр»лб»л Г« „брл д! д»! (4.6.11) Правая часть содержит производные от метрики по координатам не выше второго порядка, следовательно, компоненты твнзора б"' не могут содержать производные по времени выше первого порядка.
Таким образом, уравнения б»! 8пбТР! (4.6.12) являются не динамическими уравнениями относительно метрики, а связями. Связи возникают вследствие ковариантности уравнений Эйнштейна относительно группы диффеоморфнзмов (4.4.6). Для устранения произвола в выборе координат метрический тензор можно подчинить четырем независимым условиям калибровки. Наиболее близким к калибровке (4.2.10) линеаризованной теории является выбор гармонических координат посредством наложения условий ()! — ~'а ");,=0 (4.6.13) нли, что то же самое, (4.6.14) 147 (преобразование х"-»х", обращающее в нуль Г", осуществляется Функциями х" (х), каждая из которых удовлетворяет «гармоническому» уравнению !р,"л=б). Условие гармоничности можно рл представить в форме недостающих динамических у равнений для компонент метрики (у е ~,кю) д' (у'~, ~ш) д~к Ждк' (4.6.15~ 146 взамен уравнений связей (4.6.12), которые следует рассматривать как уравнения, определяющие согласованный набор начальных значений метрики и ее первых производных.
Итак, решение уравнений Эйнштейна определяет метрику лишь с точностью до произвольного выбора четырех калибровочных функций, что физически отвечает свободе выбора координатных систем. Более того, тензор кривизны, описывающий «истинное» гравитационное поле, также не определяется полностью источником Т"" в правой части уравнений Эйнштейна. Действительно, из (4.6.2) однозначно определяется тензор Риччи (4.5.16), который в свою очередь определяет теизор кривизны (4.5.18) с точностью до задания тензора Вейля С„„„. Фактически, однако, дивергенция тензора Вейля связана с тензором Риччи в силу тождеств Бианки (4.5.15), записанных с учетом разложения (4.5.18): Си~ьк ~ ахи» ахи» 1- — (ук»я'и — ркиб'»)~. (4.6.16) 2 ( . 6 С точностью до этого соотношения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
