Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При обобщении интегральных соотношений необходимо пользоваться инвариантными элементами объема (4.4.29). Символ Леви — Чивита следует заменить выражением (4.4.30). (Обоснование этих правил по существу содержится в определении соответствующих объектов и операций, апеллирующих к локально лоренцевой системе отсчета.) Сформулируем законы электродинамики в искривленном пространстве событий. Электромагнитное поле будем описывать, вводя 1-форму А„ и определяя тензор поля как Р;.,=А„! „— А„!, (4.4.39) Заметим, что символы Кристоффеля при вычислении разности коварнантных производных сокращаются, и фактически справедливо прежнее определение (4.4.40) (Математически это следует нз того, что бивектор Р„, есть внешняя производная 1-формы А„.) Уравнения Максвелла с источником принимают в соответствии со сказанным выше внд Р!' = — 4яР', (4 4.41у (4.4.
44). где Р»» Е»»х! Р л 2 — дуальный тензор поля. Закон сохранения плотности 4-тока принимает вид (4.4.45)! (4.4.46), 139 где 4-ток системы точечных зарядов определяется выражением (4.4.42) а ! (появление 11 — я в знаменателе обусловлено использованием неинварнантной четырехмерной б-функции, 1 б(х) Ух=1 являющейся скалярной плотностью веса единица). Уравнения Максвелла без источников могут быть представлены в двух альтернативных формах записи: Р„,, ь+ Р»м „-1- Р~»! „—— 0 = Р„,, ь-!!- Р ы „+ Р1, (4.4.43У (здесь также происходит сокращение членов с символами Кристоффеля), либо (вытекает из (4.4.41) ). Воспользовавшись формулой Г»~» — — (1п Т/ — д)», .
° (4.4.47) можем переписать ковариантную дивергенцию вектора также в форме (~,à — — 'и 1»), „=О. (4.4.48) Уравнение движения заряда в электромагнитном поле в исжривлеином»оостранстве событий будет иметь вид О»» е — = — г»'и . — » (4.4.51) Мы предоставляем читателю в качестве упражнения сформулировать уравнения Янга — Миллса и уравнения Вонга в римаиовом пространстве-времени, а также проверить, что рассмотренные в предыду1цем параграфе законы преобразования вектора А„и тензора л„„согласуются с преобразованием соответствующих тензоров в многообразии при инфинитезимальных преобразованиях координат. й 3.
КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И КРИВИЗНА В линеаризованной теории гравитации из вторых производных поля л„, можно было построить калибровочно-инвариантную комбинацию (4.2.2). Теперь гравитационное поле «спрятано» в метрике пространства-времени, и возникает вопрос: какому объекту соответствует эта комбинация на геометрическом языке искривленного пространства событий? Нетрудно понять, что калибровочная инвариантность искомого объекта означает, что этот объект должен иметь тензорный закон преобразования в многообразии, т.
е. быть тензором или тензорной плотностью, составленной из производных метрического тензора (в противном случае выбором системы координат его можно было бы 140 В аналогичной форме переписывается и ковариантная дивергенция аитисимметричного тензора, поэтому вместо (4.4.41) и (4.4.44) можно записать 1 Т' — а (г»» у~ — д). « = — 4п)», — (Р" У' — д),, =О.
У вЂ” а Наконец, калибровочное условие Лоренца можно также представить в эквивалентных формах А» „= ' (А»~ д)»=0, (4.4.50) У:а (4.5.1) + Г»„у'и'. О»» д~х» ~1в д» д» (4.5.2) Учитывая симметрию символов Кристоффеля, а также комму- тативность частных производных, получим соотношение (4.5.3) Воспользовавшись им, для искомой величины относительного ускорения находим 0 д4»» / „дт~Р, д»»1 — = — +Г, йио+Г" 1и" д + д )+ -1- Г»,„( — "+ Г'„зи"за) и". ч 1д» Далее, в силу уравнения геодезических д» вЂ” 1 — + Г»»ьи'и'~ = О, д» д» (4.5.5) 141 обратить в нуль в наперед заданной точке). Такой тензор должен исчезуть в отсутствие «истинного» гравитационного поля, когда риманов характер пространства еобытий обусловлен выбором неинерциальных систем отсчета.
С другой стороны, необходимо построить такой тензор, который нельзя было бы обратить в нуль в присутствии гравитационного поля никаким преобразованием координат. Поскольку выбором системы отсчета можно локально уничтожить гравитационную «силу» (т.е. символы Кристоффеля), ясно, что для построения объекта с требуемыми свойствами следует рассмотреть движение не одной, а двух близких частиц, Выбирая систему отсчета таким образом, чтобы сила, действующая на одну из них обратилаоь бы в нуль, будем следить за движением второй частицы.
Относительное движение,. или, как говорят, отклонение геодезических, может служить критерием присутствия гравитационного поля. Итак, рассмотрим семейство геодезических х"(и, з), «помечаемых» параметром и, выбирая в качестве параметра вдоль каждой из них интервал риманова пространства событий з. Тогда вектор и»=дх"/дз будет касательным к геодезическим, .а вектор и'=дх"1до будет мерой относительного смещения геодезических. Вычислим соответствующее «ускорение» В'и"/с(з». В силу уравнения геодезических (4.4.14) абсолютная производная вектора и' по з равна нулю при всех а. Образуем теперь абсолютные производные О»» д~х» ' = — + Г»,. и»пх дч = д» д» »х Подставляя (4.5.6) в (4.5.4), приходим к выражению ртчр ячрьэт (4.5.7) где символом Я"„„обозначена следующая комбинация из символов Кристоффеля и их производных: )7чьт Г., ь — Гчм т+ ГаьГчт — ГатГчь.
р р р р а р а Согласно построению левая часть (4.5.7) есть вектор, векторами являются та>кже й и э' в правой части. Отсюда следует, что четырехиндексный объект Я"аа представляет собой теизор. Это есть тензор кривизны Римана — Кристоффеля искривленного пространства событий. Рассмотрим теперь локально лоренцеву систему координат в окрестности некоторой точки У", в которой символы Кристоффеля обрашаются в нуль. Опустив первый индекс у тензора кривизны, в этой системе координат будем иметь 1 )7рчхт = — (йрт, чх — Др;„чт+Ячь. рт — йчт, рь) (4 5 9) 2 (4.5.8) Сравнивая с выражением (4.2.2) с учетом (4.4.!), находим, что в локально лоренцевой системе Йр х,=я.7р,хт (4.5.10) Поскольку Я„м, есть тензор, ясно, что именно он и представляет собой искомое обобщение калибровочно-инвариантной комбинации (4.4.2).
Альтернативная интерпретация тензора Римана — Кристоффеля основана на рассмотрении параллельного переноса вектора вдоль замкнутого пути. Математически это сводится (в случае бесконечно малого обхода) к вычислению разности вторых ковариантных производных переносимого вектора. Повторение вычислений, аналогичных проделанным выше, приводит к ре- зультату (4.5.11) Ач;Х;т — Ач;т; Х=Ж~ХтА» Таким образом, ковариантные производные от вектора коммутируют тогда и только тогда, когда кривизна равна нулю.
Предоставляем читателю убедиться в том, что разность вторых ковариантных производных от скаляра равна нулю, а также вычислить соответствующую разность при действии на ковектор и тензоры высших рангов. Из формулы (4.5.9) можно вывести 142 откуда находим дтрР дич / ди — = — Грчь,,ичи'от — 2Грч1 — и" — Гр т ( — + Г" гл иа) аь. ч д ч ( ! а (4.5.6) следуюшие свойства симметрии теязора Римана — Кристоффеля: ярчьт — — )тч~р3д — ЙрЬтч )тхтрч~ (4.5.12) т. е. ои симметричен относительно перестановки первой и второй пар индексов и антисимметричен относительно перестановки индексов внутри каждой из пар.
Поскольку антисимметричный двухиндексный тензор в четырехмерном пространстве имеет .шесть независимых компонент, тензор кривизны имеет столько же независимых компонент, что и симметричный тензор второго ранга в шестимерном пространстве. Это число равно 21. Однако фактически не все они независимы: более внимательное рассмотрение показывает, что существует еще одно соотношение (циклическое тождество) (4.5.13) уменьшающее число независимых компонент тензора Римана до 20. Можно показать, что в общем случае пространства У измерений это число есть №(№ — 1)/12. Вычислим ковариантную производную тензора кривизны, воспользовавшись локально лоренцевой системой координат: Йрчьт; а = Яра (Г"чт. ьт Г"чх.
тч). (4.5.14) Проведя антисимметризацию по трем последним индексам, получаем тождество Бианки (4.5.15) В силу соотношений симметрии (4.5.!2) ряд тождеств Бианки выполняется тривиально. Подсчет показывает, что число нетривиальных дифференциальных соотношений в системе уравнений (4.5.15) равно 20, Свертка теизора Римана — Кристоффеля по первым индексам каждой из пар дает симметричный тензор второго ранга — тензор Риччи )трч = Р'рх„ (4.5.16) который, очевидно, имеет десять независимых компонент. Свертывание тензора Риччи дает скалярную кривизну И = Й ар.
(4.5.17) Тензор Римана — Кристоффеля можно теперь представить в виде разложения на «бесследовую» часть С„„., называемую тензором Вейля, и члены, пропорциональные тензору Риччи и скалярной кривизне: Йрчьт =Срчхт+ (атрФчт+атчт)7~й атташат — йрт)тчю 1 2 — Е (зрэЫчт Юртйче). (4.5.18) 143 11о построению тензор Вейля обладает всеми свойствами симметрии тензора Римана — Кристоффеля. Он также имеет важное свойство конформной инвариантности в форме с одним контравариантным и тремя коза риантными индексами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
