Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тензоры более высокой валентности (контравариантные, ковариантные и смешанные) определяются как соответствующие полилинейные отображения. Их компоненты (числовые функции) при преобразовании координат претерпевают переобразование вида дхх дха дхх дхх' т' -„а =т дх дха дхя дхх (4.4.21) (4 4.25) Риманово пространство представляет собой дифференцируемое многообразие, в котором, задано поле дважды ковариантного симметричного невырожденного тензора а„Пространство- время имеет метрический тензор лоренцевой сигнатуры, который, будучи приведен в любой выбранной точке к диагональному виду, имеет одну положительную и три отрицательные компоненты. Допускается обращение в нуль определителя я метрического тензора лишь в отдельных особых точках многоюбразня (обращение его в нуль в некоторой области свидетельствовало бы о том, что фактически пространство-время имеет меньшую .размерность) .
Введение метрики дает возможность сопоставить каждому вектору некоторый ковектор с помощью сворачивания по одному индексу с метрическим тензором 1'„= Р'"д~,. (4.4.22) Эта операция называется опусканием индекса, для обозначения результирующего ковектора обычно используется тот же символ с нижним индексой. Аналогично каждому ковектору можно сопоставить вектор, используя свертывание по индексу с контравариантным метрическим тензором (поднятие индекса): ыа аЬ йха (4.4.23 Наряду с векторами, ковекторамн н тензорами в римановом пространстве естественно возникают многонндексные величины не имеющие смысла тензоров.
Так, дифференцирование некотоой скалярной функции по координатам порождает ковектор ,„. Дифференцирование по координатам тензоров ненулевого ранга приводит к объектам, имеющим дополнительный индекс: т~~х т (4.4.24) которые, однако, уже не образуют тензора (т. е. не преобразуются по правилу (4.4.21)). Чтобы убедиться в этом, достаточно вывести закон преобразования, например дхи дх" дхадхх дх~ Важным объектом нетензорной природы в римановом пространстве является связность (символы Кристоффеля). Соответствующий закон преобразования нетрудно получить, вос-.
пользовавш~нсь определением (4.4.15): 1 ~ дх дх д» д д д (4 4 26) дх» дх» дхх дх дхх дх» дхх В противоположность тензору нетензорный объект можно об-' ратить в нуль в любой точке (возможно, и на мнбгообразии большей размерности) с помощью некоторого преобразования координат. Для этого достаточно подобрать должным образом неоднородные члены в законе преобразования. Так, можно обратить в нуль символы Кристоффеля, в результате чего уравнение движения частицы будет совпадать с уравнением движения в пространстве Минковского. Соответствующая система координат (при условии, что метрика в выбранной точке совпадает с метрикой Минковского) называется локально лоренцевой.
В локально лоренцевой системе координат метрический тензор в окрестности выбранной точки х1л имеет разложение, начинающееся с квадратичных по отклонению членов й», = »1», + К»,л, (хл — хл) (х' — х')+.... (4.4:27) Другой важный класс объектов в римановом пространстве представляют тензорные плотности. Заметим, что определитель метрического тензора д при преобразовании координатумножадх ется на квадрат якабнана преобразования ~ †, ~; дх' д'=бе1(я», .)=бе1 д»,— — 1=й~ — . (4.4.28) Отсюда следует, что корень .квадратный из абсолютной величины задает инвариантный элемент объема в пространстве-событий (4.4.29) Величина 11 — д является скалярной плотностью веса единица.
Аналогично, если некоторый тензор помимо обычного тензорного закона преобразования умножается на якобиан преобразования в степени п, говорят, что мы имеем дело с тенэорной плотностью веса и. Нетрудно показать, что полностью антисимметричный единичный символ Леви — Чивита е""'* в римановом пространстве становится контравариантной тензорной плотностью веса минус единица, либо ковариантной тензорной плотностью веса единица.
Действительно, пусть в римановом пространстве этот объект задан условием совпадения с обычным символом Леви — Чивита е"""' в локально лоренцевой системе 136 координат в окрестности некоторой точки. Тогда при переходе к произвольным координатам дх» дх» д»Л дх » х ~ дх ~ х»»л Е»»м — е»чдл'х' э»»лх ' ~ — (4 4 3Оу дх1' дх»' дх"' дх»' дх' -~/ — я' откуда и следует сделанное утверждение. Заметим, что формулы для тензорного произведения Е'""Е„„. и его сверток по одному, двум, трем и четырем индексам совпадают с аналогичными формулами в пространстве Минковского. Обратимся теперь к понятию ковариантного дифференцирования. Поскольку частная производная чензора в римановом пространстве не являетея тензором, целееообразно построить такую производную тензора, которая в локально лоренцевой системе координат совпадала бы с частной производной, а в произвольной системе координат превращала бы тензор в дру гой тензор, имеющий на один ковариантный индекс больше.
Такая производная называется ковариантной. Для ее обозначения. используется точка с запятой перед индексом. Из нашего определения сразу следует, что я»лхл=О, Е»'л';»=О, (4.4.31) поскольку в локально лоренцевой системе частные производные от метрики равны нулю (см. (4.4.27)).
Ковариантная производная от скаляра совпадает с обычной производной. Из определения также непосредственно вытекает правило Лейбница (А»В») л = А"; лВ'+ А "В', л. (4,4.327 Явное выражение для ковариантной производной можно получить, сравнивая закон преобразования частной производной вектора (4.4.25) с законом преобразования (4.4.26) символов Кристоффеля. Требуемая компенсация неоднородных членов будет достигнута, если положить А», „= А» + Г~»»Ал.
(4.4.33) Поскольку и локально лоренцевой системе координат символы Кристоффеля (в выбранной точке) исчезают, наложенные требования оказываются выполненными. Аналогично можно показать, что ковариантная производная ковектора равна (можно воспользоваться правилом Лейбница при дифференцировании свертки вектора и ковектора) А»; » = А», ч — Г'»»Ал. (4.4.34) В более общем случае смешанного тензора будем иметь Т»" »,; » = 7»'"»„, »+ Г»л»7 л'"а„, + ° ° ° Тл»»7'»"' л, ...(4.4 35) Заметим, что, хотя ковариантная производная в силу определения добавляет один ковариантный индекс, благодаря правилу, Лейбница и равенству нулю ковариантной производной метри- 137 ки можно использовать также контравариантный индекс после точки с запятой в следующем смысле: А"=й-~А»,, (4.4.3б) С помощью ковариантной производной можно построить ковариантный (абсолютный) дифференциал вектора (ковектора, тензора), например 0А»= — А!;.
дх'=г(А»+Г» ьА" г(хь. (4.4.37) Зто !понятие позволяет ввести параллельный перенос вектора я римановом пространстве, при котором по определению ОА»=0. (4.4.38) Как мы увидим в следующем разделе, результат параллельного переноса вектора на конечное расстояние зависит от формы пути, в частности перенос по замкнутому контуру может не возвращать вектор в исходное положение. Это свойство можно использовать в качестве критерия присутствия «истинного» гравитационного поля, ибо в случае, когда искривление пространства-времени обусловлено лишь выбором неинерцнальной системы отсчета, существует преобразование координат, возвращающее метрику к виду метрики Минковского всюду.
В последнем случае параллельный перенос вектора по замкнутому контуру, очевидно, дает нуль, и в силу тензорного характера ковариантной производной это свойство будет сохранено и в произвольной системе координат. Вернемся теперь к полученному выше закону движения пробной частицы в искривленном пространстве-времени (4.4.14).
Сравнивая с формулами (4.4.37), (4.4.38), нетрудно заметить, что согласно уравнению движения вектор 4-скорости и»=Их"/г(з частицы параллельно переносится вдоль мировой линии. Такая кривая называется геодезической. В римановом пространстве эта кривая одновременно является кривой экстремальной длины. Наше определение коварнантной производной также позволяет непосредственно получить уравнение движения (4.4.14) из соответствующего уравнения в пространстве Минковского. Для этого достаточно частный дифференциал вектора скорости заменить на ковариантный, поскольку уравнение движения в пространстве Минковского есть ди'=О.
Таким образом, можно сформулировать правило, позволяющее записать уравнения физической системы в произвольной системе отсчета, а также в присутствии гравитационного поля, если известны соответствующие уравнения в пространстве Минковского. Все тензорные величины следует понимать как тензоры в многообразии с соответствующими законами преобразования и совпадающими с исходными тензорами в пространстве Минковского в локально лоренцевой системе отсчета. Далее все дифференциалы тензоров следует заменить на ковариантные дифференциалы, а частные производные — на ковари- 133 аятные производные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
