Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это не только упрощает всю картину, но и открывает путь к построению теории, инвариантиой относительно конечных калибровочных преобразований. Действительно, для этого теперь достаточно от преобразования координат (4А.З) с бесконечно малыми $„ перейти к преобразованиям общего вида: хв хи'(хь). (4.4.6) В этом случае разбиение метрики (4.4.1) уже теряет смысл, и мы приходим к выводу, что гравитационное поле следует рассматривать как метрику рнманова пространства событий.
Разумеется, прн этом мы должны отказаться от представления о выделенности инерциальных систем отсчета. Сказанное означает, что при учете гравитационного взаимодействия это представление вообще теряет физический смысл глобально. Однако пространство Минковского по-прежнему играет важную роль„ но теперь лишь как локальное понятие. Поясним это подробнее, Пусть физическое пространство событий является римановым пространством, т.
е. дифференцируемым многообразием, наделенным метрикой д„„(х), компоненты которой зависят от координат. Ясно, что не все произвольные наборы десяти функций я„. являются физически допустимыми. Из предыдущего рассмотрения можно было сделать вывод, что в окрестности любой выбранной точки в пространстве событий (фактическн и вдоль некоторой линии) гравитационные потенциалы можно обратить в,нуль. В терминах соответствующих координат метрика пространства-времени в этой точке должна совпадать с метрикой Минковского.
Это значит, что если в некоторой точке квадратичная форма "$'=И„~Их г(х" (4.4.7) приведена к диагональному виду, то одна из компонент (обозначим ее ди) должна быть положительна, а три других — отрицательны, причем существуют координаты, в которых локально мы будем иметь компоненты (1, — 1, — 1, — 1). Полезно напомнить, что интервал пространства событий в форме (4.4.7) мы получим и вне связи с гравитацией, например просто вводя в пространстве Минковского криволинейные пространственные координаты.
Так, интервал вида ~(з' = ~(Г' — цгэ — г' 646'+ Нп' 6 г(~р') (4.4.8) уже имеет форму (4.4.7). Однако в этом случае преобразованием координат 131 мы получим интервал пространства Минковского всюду, т. е. физическое содержание теории остается прежним. Однако полезно иметь возможность записи уравнений в терминах криво'- линейных координат общего вида, причем таких, что преобразования от координат пространства Минковского затрагивают не только сектор пространственных координат.
В этом случае преобразования будут описывать переход к неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим, например, семейство наблюдателей, движушихся с постоянным ускорением а в собственной лоренцевой системе отсчета и находящихся при 1=0 в точках х= =а-'е" оси х, где — (э( — параметр, «нумерующий» наблюдателей.
Интегрируя систему уравнений (2.3.12) (при еЕ(т=а) с этими начальными данными, будем иметь х = а-ге'1 сЬ аг), 1=а 'е'г з)1аг), (4.4.10) где собственное время обозначено через г1. Для каждого из таких наблюдателей временная координата есть «Б если теперь рассматривать параметр $ как пространственную координату '(для краткости мы опускаем координаты у и г, не претерпевающие изменений) и перейти в двумерном пространстве х, 1 к 'координатам $, еь то получим интервал в виде (Зг ег«1 (11Ч« Цг) (4.4.11) Интересно отметить, что интервал (4.4.11) отличается от интервала пространства Минковского только общим множителем; такое пространство называют конформно-плоским.
Итак, допуская возможвость использования неинерциальных систем отсчета, мы также приходим к необходимости записи теории в терминах риманова пространства-времени. Присутствие «истинного» гравитационного поля будет означать лишь невозможность глобального введения во всем пространстве событий таких координат, чтобы метрика имела вид метрики Минковского. Таким образом, было бы неверно ассоциировать гравитационное поле с самим метрическим тензором пространства-времени. Допуская произвольные преобразования координат вида (4.4.6), мы вводим в теорию 4 произвольные функции, которые из десяти компонент метрического тензора д„„оставляют шесть независимых функций для описания «истинного» гравитационного поля.
Итак, для того чтобы описать поведение материальной системы в заданном гравитационном поле, вообще не нужно никаких изменений в соответствующих уравнениях, достаточно переписать их в виде, пригодном в произвольной криволинейной системе координат в пространстве событий. Разумеется, это утверждение само представляет некоторый постулат, с которым связывают понятие о принципе эквивалентности. Существуют различные формулировки этого принципа, в которых пытаются 'уточнить, к каким явлениям это утверждение действительно 132 применимо, а к каким — нет.
Предполагается, что это заведомо аерно для движения точечной частицы, законов электродинамики, но, возможно, неверно для поведения скалярного поля. Как мы )видим ниже, непротиворечивая формулировка уравнений .физйческих систем в гравитационном поле допускает введение 'некоторых ассоциируемых с гравитацией дополнительных структур, которые исчезают в отсутствие «истинного» гравитационного поля. Это, однако, не изменяет общих принципов дальнейшего построения, и мы не будем здесь рассматривать подобные усложнения. Запись уравнений в произвольных координатах, или, как говорят, общековариантная формулировка той или иной теории, будет обеспечена, если мы.построим лагранжиан, являющийся скалярам относительно общих преобразований координат, а при варьировании будем учитывать зависимость метрики от координат.
Прежде чем переходить к уточнению смысла основных геометрических понятий рнмановой геометрии, проиллюстрирем сказа~нное на примере уравнений движения точечной частир ру цы. Будем варьировать действие (1.4.7), понижая под дз интервал (4.4,7) рнманова пространства событий. Тогда из уравнений Эйлера — Лагранжа будем иметь Дгхг Ехг Ехх 1 Ехг Ехх аг,—,,г +ачг. х,~, — — я«х, « — „, — =0~ (4 4.12) где, в 'отличие от результата гл. 1, появились члены, пропорциональные производным от метрического тензора. Введем обратный теизор (нонтравариантный метрический тензор) д"", такой, йилй,„~ бь (4.4.13) Умножая уравнение (4.4.12) на д"' и суммируя по т, находим «гх» «х«их« —,— Ге И (4,4.14) Входящие в эту формулу трехиндексные величины, называемые символами Кристоффеля: Гх гь й" (й'ъ х+йх~ Ы х ) (4.4.15) симметричны по нижним индексам и образуют в четырехмерном пространстве систему сорока функций координат.
С физической точки зрения правая часть уравнения (4.4.14) может рассматриваться как обобщенная 4-сила, возникновение о а- ктр вызвано неинерциальностью системы отсчета либо, если имеется «истинное» гравитационное поле, силами тяготения. Уравнение (4.4.14) является общековариантным в том смысле, что при преобразовании координат (4.4.6) мы получим новую метрику (предполагая сохранение интервала (4.4.7)), вычислим ассоциируемые с ней символы Кристоффеля, и эти сим- 133 волы Кристоффеля следует подставить в уравнение того хгФ, вида (4.4.14), записанное в терминах новых координат. Непо". ередственная проверка этого оказывается довольно громозд-' кой, но в этом и нет необходимости, если разобраться в геомет ' ричеоком происхождении величин, входящих в уравнение.
. По этому, прежде чем двигаться дальше, уточним смысл понятий векторов и тензоров в римановом пространстве, а также введе ' понятие ковариантного дифференцирования. Исходным понятием, которое мы используем, является по пятне днфференцируемого многообразия. Напомним смысл по нятий вектора, ковектора и тензора. Поскольку понятие направ ления в многообразии может быть введено лишь локально определения этих объектов связаны с понятиями производно по направлению либо бесконечно малого смещения.
Векторо ' (коварнантным) называется оператор дифференцирования ска', лярной функции координат вдоль некоторого направления, э оператор представим в виде линейной комбинации частных про, изводных по координатам, коэффициенты которой (зависяш от точки) называются компонентами вектора (числовые фун цнн) У=Р' —, (4.4.1 дх" В ом определении вектор есть инвариантный объект, не завн эт сящий от выбора координат. Компоненты вектора, напр при преобразовании координат (4.4.6) претерпевают изменени поскольку У=)ч' — = Р'— (4.4.1 дх" дх" дх~ Отсюда следует закон преобразования компонент вектора Р' = $~"— (4.4.18 дхх В физической литературе под вектором в римановом прох стран тве анстве обычно понимают совокупность его компонент, и в качестве определения используют закон преобразовани (4.4.18).
В дальнейшем мы также будем пользоваться этой тер минологией, которая естественна, так как е теории поля при-', ходится иметь дело именно с числовыми полями. Ковектором (1-формой) называют линейный функционал на, множестве векторов; его компоненты (числовые функции точ; ки) преобразуются по закону, вытекающему нз разложения по базису дифференциалов координат ы = гав Ых~ . (4.4.19 Переходя к штрихованным координатам, будем иметь ыа —— 㻄—. (4.4.2 дхх 134 В многообразии определенаоперация свертывания поиндексам вектора и ковектора, в результате которой получается окаляр (значение 1-формы на векторе). Свертывание тензорного произведения двух векторов или двух ковекторов лишено смысла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
