Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В конечном счете мы приходим к стандартной обшей теории относительности, хотя мотивация основана на иных эвристических принципах, более близких современному пониманию классических полевых теорий, нежели это было в работах Эйнштейна 1915 г. В заключение этого раздела упомянем еще одну возможность: изложенные соображения не исключают возможности приписать тензорному полю некоторую массу. В этом случае для двух точечных масс вместо закона Ньютона мы имели бы потенциал взаимодействия, экспоненциально убывающий на больших расстояниях.
Если выбрать соответствующий масштаб достаточно большим, например больше размера наблюдаемого участка Вселенной, то видимого противоречия с наблюдениями не возникнет. Однако нетривиальная особенность теории массивного поля симметричного тензора второго ранга в пространстве Минковского заключается в том, что в пределе исчезающе малой массы (бесконечно большого параметра экранирования) такая теория соответствует не «чнстой» безмассовой теории поля спина два, а теории, содержащей конечную (не малую) примесь скалярного поля. Оказывается, если выбрать параметры так, чтобы не возникало противоречия с законом Ньютона, то для отклонения луча в поле тяготения, создаваемом массивным телом, получим результат, противоречащий наблюдениям.
На этом основании массивное тензорное поле в качестве переносчика гравитационного взаимодействия обычно ие рассматривается. й 2. ЛИНЕЙИАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО БЕЗА1АССОВОГО ПОЛЯ СПИНА ДВА Из квантовой теории цоля известно, что свободная безмассовая частица обладает двумя состояниями поляризации незаЬнсимо от спина. Это означает, что из десяти компонент тензора й,„восемь являются нефизическими и подлежат исключению. Аналогичная ситуация встречалась в теории векторного. 117 поля в гл. 11. Из четырех компонент вектора А" физическим со.стоянием свободного поля отвечали две, причем искл1очение «лишних» компонент обеспечивалось благодаря инвариантности теории относительно калибровочных преобразований (2.1.22). Поле симметричного тензора второго ранга можно рассматривать как совокупность четырех векторных полей, поэтому, если потребовать выполнения четырех калибровочных условий, можно исключить восемь нефизических компонент. Для этого теория должна быть инвариантна относительно градиентных преобразований вида (4.2.1) йч~ -' йи~ — Ь, » Ь, я где ф„— векторное поле.
Инварнантность лагранжиана электродинамики относительно калибровочных преобразований обеспечивалась тем, что он зависел лишь от теизора электромагнитного поля„ представляющего собой калибровочно-инвариантную комбинацию первых производных 4-потенциала. В случае тензорного поля подобная комбинация содержала бы уже вторые производные 1 Р! балт = — (йчл,цт — йил, мт+й! ч чл — йль «л) (4 2 2) 2 но тогда уравнения поля содержали бы четвертые производные.
Подобные теории сейчас обсуждаются, и им присущи дополнительные трудности (хотя на квантовом уровне имеется и ряд преимуществ), поэтому мы не будем развивать эту возможность здесь. Если же пытаться построить теорию, в которой волновое уравнение оставалось бы уравнением второго порядка, придется отказаться от попыток сформулировать ее в терминах калибровочно-инвариантных величин, Более того, вообще не удается найти квадратичную форму от первых производных тензорного поля по координатам, которая была бы инвариантна относительно конечных преобразований (4.2.1). Самое большее, что можно сделать, это построить лагранжнан, который при инфиннтезимальных преобразованиях вида (4.2.1) (т.
е, с учетом, лишь линейных по ф„членов) изменялся бы на полную производную некоторого вектора. Такой лагранжиан имеет вид 2'л= — (й1„1йя" "— 2й„йя+2йий,„— й' „), (4.2,3) 4 1 тим=й! ~ — — Ъ~й, 2 (4.2.5) 418 где й„=й'„„и й=й„". Его варьирование приводит к уравнениям .й „, — й „,„— й, +йл „,+4)„„(й ',— й )=О, (4.2,4) в инвариантности которых относительно преобразований (4.2А) можно убедиться. Более простой вид эти уравнения приобрета.ют в терминах величин для которых из (4 2.4) получим ,л ,л ! ,л "~ич, л Фа, '— ф~ллл — 2 !1~ ф: л = О. (4.2.6)' Калибровочные преобразования (4.2.1) при этом принимают внд (4.2.7) ф! ч-"Ь~ — 8и, э — Ь, я+ пэ 5', л В силу второй теоремы Нетер они порождают следующие тождества Бианки, которые имеют место независимо от выполнения полевых уравнений; (4.2.8)- 1 7„~ фекл,ил.
ч р~л, Я т,~ф,л 2 (4.2. 9)-' Тождества Бианки указывашт, что мы имеем теорию со связями. Воспользовавшись симметрией относительно калибровочных преобразований, можно подчинить теорию дополнительным условиям Де Дондера — Фока (4.2,10) аналогичным условиям Лоренца в электродинамике. В этой калибровке полевые уравнения приобретают вид уравнений Даламбера ПфЯ~= О, (4.2.11) поэтому многие результаты, полученные в гл.
П для поля Максвелла, могут быть переформулированы для ф'". Исходя нз симметрии действия относительно пространственно-временных сдвигов, можно построить канонический теизор энергии-импульса дЯ' 1 !эч ф, я ~уи~у ф и (!раз, э 2фач, Р) д!),~ 2 аа ф,иф ч (ф„„лфаа, л 2лр лил, а !р лф, л), (4 2 12), Отсюда следует закон сохранения 4-импульса поля Ри= ) 14, 1(лг (4.2.14) который, как и в электродннамике, неснмметричен (последнее свойство связано с наличием спинового момента количества движения). Канонический тензор энергии-импульса удовлетво-- ряет условию консервативности дР' — =О.
(4.2.!3), дл" .где интегрирование ведется по всему бесконечному простран-' ству. Заметим„что для сходимости интеграла необходимо потребовать, чтобы компоненты поля убывали на пространственной бесконечности достаточно быстро. Подобное требование следует наложить и на поведение калибровочных функций 4„, Все изложенное находится в близкой аналогии с теорией ' векторного поля, обсуждавшейся в гл. П. Однако есть и суще-' ственное отличие. Чтобы построить теорию, не содержащую' высших производных, нам пришлось отказаться от попыток: сформулировать ее в терминах явно калибровочно-инвариантных величин (4.2.2). Теперь оказывается, что в отличие от мак.
свелловской теории, в которой тензор энергии-импульса инвариантен относительно калибровочных преобразований, в рассматриваемом случае тензор энергии-импульса при калибровочных преобразованиях (4.2.1) приобретает добавку '61соо=ор' "аз($о, аз т!оаокт, з т)+ т!ио(зрак хф, аз фаз,,Д" зх).
(4 2.15) С физической точки зрения это означает, что для тензорного поля локальная плотность энергии-импульса не определена. Даже ограничившись инфинитезимальными преобразованиями, не удается построить не зависящий от калибровки тензор энергии-импульса. Тем не менее если поле достаточно быстро спадает на пространственной бесконечности и если калибровочные преобразования не изменяют этого поведения, то 4-импульс поля оказывается определенным однозначно. Действительно, добавка к каноническому тензору энергии-импульса (4.2.16) в свою очередь удовлетворяет соотношению консервативности "'" =0, 6(м=( (4.2.16) дх и поэтому преобразованный тензор ~о' также порождает сохраняющийся 4-вектор импульса Р". Но тогда можно выбрать калибровку, в которой в начальный момент времени !! 4-импульс поля был равен Р" (1!), а в конечный момент !з равен )тз(!з).' Поскольку разность 61"" удовлетворяет уравнению (4.2.16), путем стандартных рассуждений можно показать, что Ро(!!) = =Р (1з).
Поскольку Р" и Р" сохраняются во времени, отсюда следует Р"=Р'. Итак, если поле достаточно быстро спадает на бесконечности, удается построить инвариантный относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований полный 4-импульс полевой конфигурации при условии, что допустимые калибровочные преобразования не изменяют асимптотического' поведения поля. Добавляя к каноническому тензору энергии-импульса пол:ную дивергенцию антисимметричного тензора )!зов — о)!азор о, е орсооор к о 1ахо атолучим симметричный тензор энергии-импульса 120 Гмо — (ко+)иое — — з~>ао, ио(з К о ораз, ифо 1! $аю офка В ! 2 1, ао + ф ' ззр"а, к — — ор' зо "— — 4 !с 1 х(зр о ьзр"з,~ — 2ф ~,~зр"х'з — — ор.сф '). (4.2.18) Ри = ~ йа ~ф*аз((с) фаэ (К) — — оР*(й) ф ((с)) сйс.
(4.2.21) 2 Покажем, что подынтегральное выражение является положительно определенным. Введем единичный вектор п=(с/!Ы и перепишем систему дополнительных условий (4.2.20) в явном виде: фоо((с) 1 я,„Рос()с) 0 фо! (1с) = и!зрс! (1с). ' ' (4.2.22) С помощью этих соотношений можно избавиться в выражении (4.2.21) от дважды временной ойоо((с) и смешанных оРо!((с) компонент что дает Р =~)эчр*,,(й) р„®Лохи где проекционный оператор имеет вид 1 Л = — ~и 6,+и Д! — 66 ), 2 Лм = бс; — аспь (4.2.23) (4.2.24) 12! Этот комплекс приводит к тому же самому выражению для 4-импульса поля, что и канонический. Предположим теперь, что необходимые асимптотические условия для орз' выполнены, и мы имеем 4-импульс (4.2.14), инвариантный относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований.
Фиксируем кдлибровку Де Дондера — Фока '(4.2.10), в которой полевые уравнения имеют простой вид (4.2.11). Тогда общее решение полевых уравнений можно представить в виде следующего разложения в интеграл Фурье: фзо (х) — (2зс) з!з (орко (1с) е — сох „'- фоо((с)о езох) (4 2 19) -з где й"=(~(с1, 1с) — изотропный волновой вектор, А'")1,=О, и амплитуды ср '((с) удовлетворяют' условию поперечности, вйтекающему из (4.2.10): й„ф (1с) = О. (4.2.20) Подставляя (4.2.19) в (4.2.14) и интегрируя по координатам, получим с учетом'поперечности поля и нзотропности волнового вектора следующее выражение для 4-импульса полевой конфигурации: где (4.2.36) (к) = фц (к) з ц (4.2.26 ' можно написать Лцы = ~~ е"це'еь (4.2.28 где введены трехмерные тензоры 'есе~ — ' 'и (/2 (4.2.37) (4.2.29 (4.2.30 Вводя пару ортов е, и е„ортогональных волновому вектору и: (пее) = е, [пе,Д = — ее (4.2.25, и учитывая полноту тройки векторов и, е„ е,: п,п;+ ееее~+ ее~ е„; = бц, Ьц= ~ емец.
(4.2.2 .-е, р Подставляя это выражение в (4.2.24), после преобразований будем иметь обладающие следующими свойствами: е'це'ц = О, ец'е = адье, пицце = О; 1 е'ц е';е = е'ц е'~д = — Ь~е. 2 Используя представление (4.2.28) проекционного оператора„ получаем выражение для полного 4-ямпульса полевой конфигурации в виде суммы по двум состояниям поляризации: Р = ~ й (1 ф (й) ~ +1ф'(к) 1') (с, (4,2,31> где введены проекции амплитуд на поперечные тензоры Ф' (к) = фц (к) е'ц (4.2.32) Положительная определенность подынтегрального выражения очевидна, причем вклад в энергию и импульс поля дают лишь две независимые проекции тензора фц, которые можно связать с двумя состояниями линейной яоляризации гравитационных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
