Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Как видно, спонтанное нарушение симметрии в решении привело к появлению массы у двух компонент калибровочного поля, которые в симметричном случае (5=0) оставались бы безмассовыми. Рассмотрим поведение полей в начале координат. Пусть Ь=!+а(г). Тогда а" = 2и/г', и при г 0 имеем а=аг', где а — некоторая константа.
Следовательно, А;" 0 (г -0). Прн этом также и /(г)- О. Характер убывания следует из того, что при малых г- 0 г*/" = 2/, «как уже отмечалось выше, описывает дираковский монополь. 'Обе асимптотики (3.5.17) и (3.5.18) являются решениями уравнения вида (Ч»+ х') и (г) = О, (3.5.20) 101 т. е. 1=Ьг~ (Ь вЂ” некоторая 4гонстанта).
Поэтому 4р"-»О (г-»0)' Связь асимптотик при г- 0 и г- определяется уравнениями полей, однако точного решения в явном аналитическом вид найти не удается. Окончательно представим характер решения Тоофта — Полякова в разных областях переменной г. При г имеем ч~"- О, т. е.
поле Хиггса отсутствует, однако имеется постоянное магнитное поле В=сопя(, так как в этой области А; -г. При г-1/т возникает поле Хиггса, выходящее затем при г~1/и на постоянную асимптотику: йчс =р~ /г (г)) 1/т). Оно имеет характерную радиальную направленность н постоянное, не за~висящее от углов значение, за что и получило образное название «ежа» Полякова. В области г~Гф поперечные компоненты калибровочного поля убывают экспоненциально и поглощаются хиггсовским полем А|д-е '- О, а дальнодействующая продольная компонента Аз проникает через конденсат и описывает с точки зрения бесконечно удаленного наблюдателя монополь Дирака д =1/д, помещенный в начале координат. Рассмотрим теперь энергию монопольного решения, определяемую формулой (3.5.11) . 1 г Е = — о»х [(Е'ц — ец„0"~р«)»+ 28„.1„], 4 ) (3,5.21 У„=е»цГ цф где Ясно, что Е)Е,„=1 1д„у Дзх=т 1 йж (35хх При этом можно показать, что энергия решения Тоофта — Полякова конечна, так как интеграл (3.5.21) сходится.
На бесконечно удаленной сфере, как только что было продемонстрировано, остаются только чистый дираковскнй монополь и хиггсовский конденсат. Поэтому (3.5.23), Вспомним, что р=М вЂ” масса векторного поля, и тогда Е) Е ы =4пМlд'. (3.5.24)' Для того чтобы оценить величину минимальной энергии монополя (3.5.24), необходимо придать численные значения входящим в нее величинам, выбрав определенную систему единиц. Напомним, что выше в гл, 1 мы интерпретировали плосковолновые решения уравнения поля как волны Дебройля, соответствующие частицам — квантам этого поля.
Подобная интерпретация последовательно может быть проведена лишыв квантово 102 для эне теории, и поэтому последовательная интерпрет ргии монополя (3.5.24) также возможна р ация формулы товой тео ии. Тем н жна лишь в кванри . ем не менее в рамках подхода, примененного в гл. 1, мы можем принять эне гию мо (3.5.22) — (3.5.24) а ргию монопольного решения тицы-монополя. — .. 4) за энергию соответствующей квантовой часКак было показано, , абелева теория поля — электродинами- ка — получается в рассматриваемой нами симметричной моде- оУ(2 У )- (1).
При это ) ). р м мы можем отождествить константу взаимодействия мо ели с д ° д электрическим зарядом электрона е. та модель в целом не соответствует действительности, так ных части . как не отражает всех особенностей взаимод й е ствия элементарых частиц. В настоящее время принята так называемая стан- дартная модель, в основу которой, согласи В " б С- лам, оло о айн ергу и СаУ1. у, положена более широкая группа симмет: ЕУ(2) Х ( ). Эта модель объединяет два взаимодействия: б ответственное за аспа~ ы действия: слабое, б " р"п'д" элементарных частиц (например .
ета-распад нейт она1, р ), и электромагнитное. После спонтанного нарушения указанной симметрии эти взаимодействия вникают два сорта векторных частиц: так павия разделя- эываемые векторные бозоны и фотоны. Векторные бозоны об- разуют расщепленный триплет группы 5У(2), причем на шер р ется в различии их массы. Заряженные ние симмет ии п оявля , причем нарушеозоны Я7+ и %' имеют массу порядка Ме=80 ГэВ=80.104 эВ, ти частицы яв- а нейтральный с-бозон — массу Мх=91 ГэВ. Э ляются переносчиками слабых взаимодействий меж тарными части ам .
Ф ежду элеменц и. Фотон же после нарушения симметрии остается безмассовым. В рассматриваемой нами модели заря- женные векторные бозоны составляются из поперечных компо- нент А„' и А„з (в унитарной ~калибровке): ))г» = — (А' +. А' ) 1 » — — и» и после нарушения симметрии приобретают массу М= Она но =дт1ТЛ. Продольная компонента А ' остается б й. твечает нейтральному векторному полю фотонов — элек- тромагнитному (максвелловскому) полю. С этой точки зрения можно оценить мас у ( р ) поля, определяемую формулой (3.5.24).
Действительно, масса сс энергию) моно- частицы это есть ее энергия покоя в единицах с=1. Восстанавливая в формуле (3.5,24) обычные единицы, в которых для скорости света с и постоянной Планка Д следует принять их изве- стные значения (см. гл. 1), получим Е )~ Е»ы = 4пМс' —. (3.5. 25) ез * Безразмерная комбинация а=(ез14пйс) мировых констант и, .с н е, входящая в последнюю формулу, называется постоянной 1оз Таким образом, Е » )137Мс». (3.5.27) Если для М принять значение массы Я7-бозона Мс'=Мыс'= =80 ГэВ, то из последней формулы можно судить о возможном масштабе массы монополя.
Следует отметить, что до настоящего времени экспериментально частицы-монополи ие обнаружены. Остановимся еще на вопросе о различии монопольного решения со спонтанным нарушением 5У(2) симметрии и монополя Дирака в электродинамике. Потенциал монополя в электро- динамике вида А = — — 1я — е„ д„В г 2 (3.5.28) создает магнитное поле кулоновского типа В = е„д„,lг'. Потенциал (3.5.26) сингулярен вдоль линии О=л, т. е.
вдоль отрицательной полуоси г(0. Физически эта своеобразная нить сингулярности может рассматриваться как предел бесконечно длинного и тонкого соленоида, тянущегося из начала координат в бесконечность. Окружая такой магнитный заряд сферой, мы получим особенность на южном полюсе этой сферы. Потенциал регулярен на всей поверхности сферы, за исключением точки О=я.
Таким образом, поверхность становится неодиосвязной, и эта топологическая особенность находит свое проявление в том, что интеграл ~АМ с. по замкнутому контуру С, проведенному вокруг точки сингулярности, отличен от нуля. По теореме Стокса ~Ап1) го(АЖ, с зо где 5» — поверхность сфер)а без малого участка этой сферы А5„ ограниченного контуром С и содержащего точку сингулярности, Дополняя эту поверхность до полной сферы 5=5»+85 и принимая во внимание, что магнитное поле В=го! А на участке А5 не имеет сннгулярности, получим Ф А Л - ~ го( А ~Б = 4ппе. 'с й тонкой структуры (терминология взята из атомной физики) н ' имеет следующее экспериментальное значение; (3.5.2б) 4лйс 137,036 Стягивая контур в точку, тем не менее получим конечное значение интеграла за счет еингулярности потенциала в этой точке.
Таким образом, в электродинамике монопольные рен1ения получаются ценой введения сингулярных вдоль нити (нли «струны») потенциалов. В модели со спонтанно нарушенной симметрией в исходном анзаце (3.4.7) монопольные решения несингулярны. Лишь в результате калибровочного преобразования, которое само является сингулярным, в унитарной, яли струнной, калибровке потенциал приобретает ту самую сингулярность, которая свойственна дираковским монополям. Дирак показал, что магнитный заряд монополя может при.— нимать лишь дискретные значения: л ат— 2« ' где и=О, ~-1, +2, ....
Как видно, рассмотренное нами решение отвечает дираковскому монополю нри и=2. Сделаем еще замечания относительно полученного решения Тоофта — Полякова с точки зрения топологии. Основное требование, положенное в основу решения, — это нарушение симметрии вследствие асимптотическоэо условия ~~» (г) = сопз1 и'. Это условие представляет собой отображение сферы бесконечного радиуса г- на сферическую поверхность единичного радиуса группового пространства, т. е. 52 5» (3.5.30): Как видно, одному обходу поверхности исходной сферы соответствует также один обход, т. е. покрытие единичной сферы. Вообще говоря, возможно любое число покрытий при подобных отображениях.
Кратность покрытия носит название топологического заряда и=О, 1, 2, .... Если отображение происходит не на всю сферу, а только на часть ее, хотя бы отличающуюся от всей сферы наличием одной выколотой точки, то в этом случае и=О. Действительно, такая поверхность может быть непрерывным образом деформирована в точку. Таким образом, с этой точки зрения все возможные решения могут быть разбиты на классы, так называемые классы экви. валентности.
Внутри данного класса все решения топологически эквивалентны, так как могут быть путем деформаций непрерывным образом преобразованы одно в другое. Каждый класс эквивалентности имеет свой топологический заряд и. Так, для рассмотренного нами монополя Тоофта — Полякова и=!.
Переход от одного класса эквивалентности к другому сопровождается изменением топологического числа и, связанным с изменением топологии и сопровождаемым скачкообразным изменением энергии. Заметим, что переход к унитарной калибровке, ~р -бз', меняет характер отображения, поскольку сфера 103 теперь отображается в точку, находящуюся на полюое. Поэтому в этой калибровке решение обладает топологнческим зарядом нуль, п=0. Это изменение топологии решения связано с тем, что калибровочное преобразование является само по себе разрывным и приводит к потенциалам, имеющим нить сингулярностей. Тем ~не менее энергия решения при этом ие меняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
