Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. на бесконечности поле Хиггса не обращается в нуль. Пространство вакуумов в групповом пространстве образует сферу радиуса ~~р~=т9)ь. При этих значениях поля, т. е. на вакуумной сфере, потенциальная энергия имеет минимум (рнс. 3.1). Выбор конкретного вакуума г- оо, ~р(г)- и —, ~п(= 1 1/х ' (3.4.5) нарушает ос1(2) симметрию, так как он сводится к выбору конкретного направления и. Этот выбор снижает исходную симметрию лагранжиана О=о(1(2) до остаточной симметрии Н= =У(1), которой обладает решение, удовлетворяющее условию (3.4.5) с определенным значением и.
Остаточная симметрия состоит в неизменности вектора и при преобразованиях (1(1). Это явление носит название спонтанного нарушения симметрии. Покажем, что решение с условием (3.4.5) обладает группой симметрии вакуума (3.4.5) (У(1).
Рассмотрим. локальное пре- образование са(г)е е 'т ва, Т„= — о,. 1 2 Пусть Эа=((г)ьра, сьа=~ра/1~РЕ Тогда (3.4.6) ькраьь с = ~ра и если ~ра-апа при г-асс, то решение действьятельно обладает той же симметрией (1(1), что и вакуум. В дальнейшем будем рассматривать статические решения модели Хиггса (д1д1= О) при условии Ас=О. При этом ограни- г, Я~ у! =О. (3.4.3) Это есть определение вакуума в классической теории по аналогии с квантовой теорией, где решения с минимальной энергией называются вакуумными. При т')О получаем вакуумное решение чимся решениями специального вида, задаваемыми анзацем Ву н Янга: яф, = г,) (г)/г', дА«1 = з.ыг.
(1 — Ь (г))/гз. (3.4.7) Здесь индексы а=1, 2, 3 — групповой, 1=1, 2, 3 — пространст- венный, г= (г„гь гз) — радиус-вектор, г=1г1, 1(г) и п(г)— неизвестные функции. Принятие анзаца (3.4.7), очевидно, огра- ничивает класс решений з1елннейных уравнений полей ф, и А„'. ' Заметим, что в уравнения Янга — Миллса в отличие от урав- нений Максвелла явно входят потенциалы, и поэтому при их решении необходимо выбрать определенную калибровку. Осо- ' бую роль в теории полей Янга — Миллса играет так называе- мая унитарная, илн струнная, калибровка. Смысл этого назва- ния будет ясен из дальнейшего. Эта калибровка определяется ' тем, что третья ось группового пространства в каждой точке ориентируется вдоль радиуса-вектора г, ориентация которого ' задана сферическими углами О, ф.
Тогда оператор соответст- вующего поворота в групповом пространстве имеет вид — 'ве О, . О в = е з ~ = соз — + (оч з(п —, 2 ч 2' (3.4.8) яф„ = ба 1(г)/г, (ЗА.9) 'а потенциал А,' подвержен повороту и градиентному преобра- зованию А, — А'; = а (А~ + — д~~ а '. Ы (3.4.10) -Глобальный поворот, т. е.вА;в ', дает 1-Л 1 — Л аЛ 1=ею»г —, з м —. г~ Г Отсюда получаем следующие отличные от нуля компоненты в сферических координатах с ортами е, и е,: 1 — Л аАа-' = — (е о, — езоч), 2г (3.4,1 1) где о =о~ соз ф+оз з1п ф, о,= — о~ зш ф+оз соз ф.
Учитывая, что угловая часть оператора Д'Аламбера равна д 1 д Чз,«= — ез — +е,— дО гз!пО дч где е,— орт сферической системы координат, о,=ое„вторая .часть равенства доказывается разложением экспоненты в ряд,' с использованием свойств матриц Паули (3.2.24). Очевидно, что вектор ф, испытывает чистый поворот, и мы получаем после . преобразования (3.4.8) найдем или по компонентам в групповом пространстве л л йА, = — — (е„соз ф+ еа з1п ф) 6, — — (еч з!и ф — ез с ж 1р) б,— г г 0 (о еба 2 Ф з (3.4.14) Как было показано выше, группа преобразований с — — а»гю - ф в=е з, ф=— 1ф1 являетея группой симметрии 17(1) решений ф'(г). Тогда можно ввести «абелевы» потенциал и тензор ноля А1= ф«А'ь Га = ф Р'а для абелевой подгруппы (7(1): А'~ = А~ — — д4~ Ра = Р' л = 1пч.
(3,4.16) Ы В унитарной калибровке (3.4.9) результат (ЗА.14) дает для абелевых потенциалов 1 О А;= — — 18 — (е )ь 2 Полученный потенциал определяет радиальное магнитное поле кулоновского вида В = го( А = — е,. лг« (3.4.17) Такое поле создает магнитный заряд величины й =1/о (монополь Дирака). Как видно, соответствующий потенциал сингулярен вдоль линии О=я. К подобным особенностям потенциалов в электродинамике приводят решения уравнений с источниками типа магнитных зарядов — монополей. Заметим, что эта сингулярность в унитарной калибровке появилась в результате проведения сингулярного калибровочного преобразования исходных потенциалов (3.4.7). — вга '= — о„ез — (ог+о,18 — )е .
(3.4.12) я 2ег 2ег ~ 2,) Складывая (3.4.11) с (3.4.12), получим потенциал в унитарной калибровке йА = — — ( — езо +е ог) — е о 1й — (3.4.13) л 1 0 2г $ а. ИОнОпОльные Решения УРАВНЕНИИ ЯНГА — МИЛЛСА а) Самодуальный монополь. Рассмотрим векторное поде, описываемое лагранжианом у = — — Р'„,Р,а' — — И (~ +А'„!1. (35.1) Этот лагранжиан не обладает калибровочной симметрией, однако в пределе т'- О, И, -О, т9/Й.с. симметрия лагранжиана восстанавливается. Вакуум определяется условием г — оо, А'з — — т'/И, Будем теперь искать решения для этих моделей в рамках принятого анзаца Ву и Янга, причем ограничимся вначале самодуальными (антисамодуальными) решениями Е1, = ~!В!,.
(3.5.4) Это условие имеет смысл лишь для последней модели (3.5.1), в модели же Хиггса оно соответствует условию — !131ф, = ~ !'Вт,. (3.5.5) Вычисляя компоненты хромомагнитного и хромоэлектрического полей И' ггВа! = — — 61, + г1г, (1+ г/!' — /1е) —, г щЕа! = — 61 +г1г,(г/' — / — /3) —, а 1 га г~ (3.5.6) получим, что условие (3.5.4), т, е. Е!.= — !В! будет удовлетворено, если 1 — Ьа = г/' — /, — й' = /И/г.
Это и есть уравнения, которые необходимо решить, подчинив их следующим условиям, обеспечивающим спонтанное нарушение симметрии: г- со, й — О, ЕА' — 1И"6 /~3 = = Е), (3,5.7) ' поэтому в указанном выше пределе решение остается несимметричным, демонстрируя тем самым спонтанное нарушение симметрии, аналогично хиггсовской модели. Обе модели, т. е. модель Хиггса и модель (3.5.1), как легко заметить, математически эквивалентны, если установить соответствие А,— !ф и рассматривать статические решения, д/д!=О.
Тогда Р'1= — !О!ф' 0ф =О. (3.5.3) где и' г'/г, и,кроме топо, необходимо удовлетнорить условиям конечности полей при г- О. Соответствующие решения, как нетрудно проверить, таковы: /(г) = — 1+ () сй ()г, й()=В/5(). Асимптотнческие условия при г- (3.5.7) выполняются, так как / (г) -~- 11г, /! (г) -~ 5ге а~, при этом ( т ) дАаа -~ фиа (3.5,Щ «А ! — е,1„г„/га, Согласно (3.5.6) и (3.4.17) найдем компоненты напряженностей электрического и магнитного полей: "=-~ -( — ")1-' дВ! =[1 — ~,~' )1 — ",'.
В асимптотическом режиме, г -, имеем дВ! и;/г', что соответствует магнитному полю монополя с зарядом и =1/д. В модели Хиггса электрическое поле отсутствует, а хиггсовское поле имеет асимптотику, нарушающую симметрию: фа~ (т/ГХ)иа Перейдем теперь к унитарной калибровке: ЕА е=!6,— — !6.Ф (ф.— 6.ет!1/~~), /(г) г А '- /1(г)- О, (3.5.10) ЕА — — 1Š— „ В в 2 Как видно, поперечные компоненты поля обращаются в нуль, а продольная представляет собой потенциал монополя в злек- тродинамике с магнитным зарядом д =1/и.
Найдем энергию монополя Е = ГД хт — ~Г г(ех (! Р Р! + (П$ф ) + (г(ф) !. 1,4 2 Здесь учтено, что (Раз!-~-Т1!фа и Ваф =О. Пусть т-а0 Х-~О, 1 0(т/г) (, тогда (Г(ф)- 0 и энергию запишем в виде 1 Е = — !(ех((Рап — е!1„О„фа)'+2Ра!!е!!асаф 1. (3.5.11) Последнее слагаемое под знаком интеграла представляет собой дивергенцию д Е пецати,Ф' = — (Е'меип%) а первое обращается в нуль в силу условия самодуальности. Итак, для энергии самодуальиого монополя находим Е ~ д (В ~~Р ) Г(пт = ~ (Б»В«АР д да„ (3.5.12) ЖВ т =4лОlд'=4лй4/й, ~Х где д =1/я для самодуального решения.
Условие самодуаль ности Р п=еппРп~ра обеспечивает минимум интеграла (3.5.11) т. е. самодуальный монополь из всех возможных полевых кон фигураций вида (3.4.7) обладает наименьшей энергией. б) Монополь Тоофта — Полякова. Рассмотрим тот же аизац ечр =га / (а) 1 — Ь (г) дА 1= е«1„г„ гп (3.5.13) и ищем решения уравнений Янга — Миллса при произвольных Х~О, т~О. Подставляя (3.5.13) в (3.2.20), где в правой части добавляется ток, определяемый хиггсовым полем, получим уравнения г»Ь« =Ь(Ь* — 1+/), г»/' = 2~Ь« — т»г»/+— ей (3.5.14) Потребуем, чтобы при г выполнялось асимптотическое условие па т ! (3 5,15) /(г) = 5г+ йз) (г).
Подставляя в уравнение, находим асимптотическое поведение /(г) = рг+ Се — 1 ™, йР ~ 11) ар' ) па га!г т. е. /(г) рг, Тогда согласно уравнениям (3.5.14) Ь О, будучи решением уравнения Ь =Ь())» — 1/г) =ЬВ», а именно Ь-е е'- 0 (г- ). Найдем отклонение /(г) от линейного закона 1)г: еде С вЂ” некоторая константа. Итак, иа пространственной бесконечности решение уравнеа1ий (3.5.14) при условии (3.5.15) имеет вид е епРас ~агап+С а ла г (3.5:16) Здесь первое слагаемое описывает постоянное вакуумное решение (так называемый «конденсат»), а второе слагаемое— отклонения от него (так называемые «возбуждения»).
Удобнее рассмотреть полученные асимптотики в унитарной (струнной) калибровке. Тогда отличная от нуля компонента а=3 возбуж.дения, которую мы обозначим ~р(г), ведет себя как а — $2 па ~р(г) сп» С г (3.5.1 7) .а поперечные компоненты поля Янга — Миллса (а=1, 2) убывают как дА,оо — (а=-1, 2). (3.5.18) З то же время продольная компонента 1 О яА» = — — 1я — е, 2 (3.5.19) где х равно соответственно ~2т и 5. Это уравнение является статическим пределом (д/д!=0) уравнения Клейна — Гордона, причем х представляет собой массу соответствующих частиц. Таким образом, возбуждения хиггсовского поля, используя квантовую терминологию, отвечают частицам с массой т„= = 12т„а поперечные компоненты калибровочного поля — векторным частицам с массой М=р=дт/)1е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
