Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Конечный вклад в силу самодействня (второе слагаемое в (2.13.16)) определяется функцией 6 (он обусловлен взаимодействием частицы с собственным полем излучения) и представляет собой силу радиационного трения. Чтобы избавиться от имеющейся в (2.13.16) расходимости, воспользуемся способом, аналогичным процедуре перенормировки массы в квантовой теории поля. Прежде всего заметим, что при получении выражения (2.13.16) учет взаимодействия частицы с собственным электромагнитным полем осуществлялся методом последовательных приближений.
При этом мы исходили из уравнения (2.13.1), полученного в предположении, что такое взаимодействие отсутствует. Это означает, что входящий в это уравнение параметр т, на самом деле является тем, что в квантовой теории принято называть голой массой (массой частицы, не взаимодействующей с собственным полем). Поскольку голая масса принципиально не наблюдаема, она йожет быть любой, в том числе и расходящейся, величиной. Наблюдаема только сумма голой и полевой массы, которая конечна и должна быть взята из эксперимента: т=тв+ (2.! 3.
17) 2,! (з! Подставляя (2.13.18) в (2.13.2) и используя обозначения (2.13.17), мы окончательно получим следующее уравнение: «)вхз«дхч 2ев «' «(вх««дх««евхч двх тд,е ер"чд,+з(д, +д, д, д, ) (21318) Уравнение (2.13.18) носит название уравнения Дирака — Лоренца. Оно релятивистски инвариантным образом учитывает зз Глава П1 ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА А- А — Ц, р- р — еЧ)'. (3.1.2) 85 потерю частицей энергии н импульса на электромагнитное из лучение. Поскольку уравнение учитывает диссипативньге эф фекты, то вывод его из принципа наименьшего действия; п всей видимости, невозможен.
Уравнение Дирака — Лоренца является нелинейным и, кроме того, содержит третью производную по собственному времени. Поэтому поиск его решений является чрезвычайно сложной задачей даже в тех случаях, когда внешнее поле инее простейшую конфигурацию. Детальный анализ особенностей' этого уравнения, а также исследование некоторых его точных: и приближенных решений можно найти в приведенной в"конце книги литературе. й 1. СКАЛЯРНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАА(ИКА Как было выяснено в предыдущей главе, электромагнитные поля инвариантны относительно калибровочных преобразований потенциалов: 'Ав(х) —.-А в(х)=Ам(х)-,'-дв~(х), (3.1.1) При этом часть действия заряженной частицы и поля, ответст- венная за нх взаимодействие, при калибровочном преобразова- нии (3.1.1) изменяется таким образом, что уравнения движе- ния не изменяются.
Действительно, » (2) » (2) 5(в( = е 1 А 1, ((хм — ~-3(о( = е ~ (А„+ дм() ((хм = » (1) » (1) » (2) =5(вь+е ~ ((1=51„1+е(1(х(2)) — )'(х(1))). » (1) Последние слагаемые зависят от начальной и конечной точек и поэтому не дают вклада в вариационные уравнения †урав- нения Лагранжа. Вспомним, что при включении электромагнит- ного поля канонический импульс р частицы с зарядом е пере- ходит в р — еА", т. е. «удлиненный», или кинетический им- пульс.
Поскольку он соответствует скорости частицы т = (р — еА)/и, то при калибровочном преобразовании, не изме- няющем, очевидно, скорости, канонический импульс должен преобразовываться вместе с потенциалом: При описании заряженных полей, например, скалярного поля (см. гл. 1) следует принимать во внимание, что и они подвержены калибровочным преобразованиям. При этом необходимо потребовать, чтобы калибровочные преобразования не изменяли бы уравнения этих полей н соответственно функцию " Здесь и в дальнейшем в этой главе скорость света с 1. Лагранжа и действие этих полей.
Как уже указывалось гл. 1, плосковолновому решению <р (х) = Ае — '~'* (3.1. уравнения Клейна — Гордона (д„д»+ т') ф (х) = (; + то) ф (х) == О (3.1.4 соответствует квант поля, т. е. частица с 4-импульсом р" удовлетворяющим условию — р„ро+ т' = О. В электромагнитном поле последнее уравнение для частиц заменяется на (р„— еА„)' — т' = О. Такому уравнению вместо (3.1.4) должно уравнение для скалярного поля 1(д<о+ (еА»)о + то) ф (х) = О, (3.1.5 соответствоват (3.1.6 которое, однако, ие может иметь таких простых плосковолно вых решений (3.1.3), как уравнение (3.1.4), поскольку А, функция координат.
Уравнение (ЗА.6) можно рассматриват как обобщение уравнения Клейна — Гордона при наличи электромагнитного поля. Удовлетворить условию калибровоч ной инвариантности этого уравнения легко, если потребовать чтобы вместе с 4-потенциалом А„ электромагнитного поля пре образовалось бы также и поле по закону <р(х) - <р'(х)=е — <м<*1<р(х). (3.1.7 Тогда преобразование Ая А»+Юо~ (3.1.8 компенсируется преобразованием (3.1.7), и мы имеем (д„+ <еА„) <р (х) — (д» + <еА„+ <ед,Д е — "'ф (х) = е — "1 (д„+ <еАи) <р (х) (3А.О 86 т.
е. «удлиненная производная» Р„ф= (д„+(еА„)<р преобрп зуется по тому же закоиу (3.1.7), что и само поле ф. Эта ком пеисация вполне аналогична инвариантности уравнения дл частицы (3.1.5) при совместном преобразовании потенциало и канонических импульсов (3.1.2). Заметим одно очень важное обстоятельство. Преобразование поля (3.1.7) имеет такой же вид, как и унитарное однопа раметрическое преобразование (1.6.12), с той, однако, разин цей, что при калибровочном преобразовании (3.1.7) парамет становится зависящим от координат, <о(х) =е7(х).
Таким об разом, калибровочное преобразование может быть введено пу тем перехода от глобального преобразования с постоянным ца раметром д„а=О к локальному преобразованию (3.1.7) с параметром и=с<(х), изменяющимся от точки к точке. Тогда электромагнитное поле с потенциалом А,'(х) возникает из требования инвариантности уравнения поля <р(х) (3.1.4), которая достигается «удлинением» производной д„Р,=<у„+(еА„и соответствующим преобразованием для потенциалов (3.1.1). При этом функция Лагранжа скалярного поля также видоизменяется путем замены обычной производной д„удлиненной .0„: Я' = ~ (д„+ <еА„) <р 1о — т' ~ <р !о, (3А АО) оставаясь, таким образом, инвариантной относительно калибровочных преобразований (3.1.7), (3.1.8). Электромагнитное поле может быть названо ввиду этого калибровочным полем, отвечающим калибровочной группе (7(1) (локальная группа1).
Выделим в лаграижиане (3.1.10) свободный лагранжиан, не содержащий потенциалов электромагнитного поля, и лагранжиан взаимодействия, зависящий от переменных скалярного и электромагнитного полей: ~' = 2'о+2'<о<, 'Я»= 13»ф 1' — т'! ф !'* (3 1 11у Я <т =- — <е (ф*д„<Р— (дофо) ф) Ао+ е'А'„<Р"<Р. Включение в динамическую систему электромагнитного поля с лагранжианом 2 1 о'о-т. = Г оо 4 (3.1.12) д Рро 1и (3.1.14) оказывается плотность 4-тока, следующая из теоремы Нетер и определяемая формулой (1.6.13): 1= ИРф) ф-ф*0ф), (3.1.15) где Р'=д"+<еА".
Как видно, уравнения поля (3.1.6) и (3.1.14) являются существенно нелинейными, и поэтому они могут вт приводит нас с замкнутой модели, так называемой скалярной электродинамике, т. е системе взаимодействующих скалярного и электромагнитного полей с лагранжианом: Я = Ыо+ е <о< + 2 е.-т. ° (3.1<13~ При этом электромагнитное поле выступает в двоякой роли: как калибровочное поле, компенсирующее неинвариантные относительно калибровочных преобразований члены, и как переносчик взаимодействия между зарядами поля, само при этом являясь динамической системой с уравнениями движения в виде уравнений Максвелла.
Нетрудно показать, что лагранжевыми уравнениями для электромагнитного поля в соответствии с лагранжианом модели (3.1.13) действительно будут максвелловы уравнения, полученные выше в гл. 11. При этом в правой части уравнений быть решены лишь в очень ограниченном числе частных слу- чаев (иапример, постоянные или заданные в виде конкретных простейших функций токи или же электромагнитные поля). й 2. НЕАБЕЛЕВА КАЛИБРОВОЧНАЯ ГРУППА Электромагнитное поле возникает в результате требования локальной симметрии 0(1).
Рассмотрим теперь, следуя Янгу и Миллсу, локальное обобщение группы трехмерных вращений или, в более широком смысле, любой неабелевой п-параметрической группы Ли. В таком случае поле материи, например скалярное поле, осуществляющее представление такой группы, должно преобразовываться по закону ф (х) — ф' (х) = ш (х) ф (х), (3.2.!) где а(х) — оператор конечных преобразований группы. Вводя эрмитовы генераторы группы Т,=1Х (а=1,и) согласно общей теории групп Ли, можем записать ш(х) — е — ю м! та Ав(х)- А'„(х)=ы(х)(Ая(х)+ — 'дя)ьь-'(х), (325) 1)яф(х) Г1 вф (х) =ьь(х)0 ф(х), (3.2.6) то где 1) и = ~>()~Ф ' (3,2.7 где 6 (х) — зависящие от координат, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
