Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Следующий член разложения после несложных преобразований можно записать в виде й Э. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Если наложить на 4-потенциал электромагнитного полн условие лоренцевой калибровки (см. $1), то в отсутствие зарядов и токов мы получаем волновое уравнение С)А'" = О. (2.9.1) Зависящие от времени решения этого уравнения, т. е. переменное электромагнитное поле, которое может существовать в пустоте, называют электромагнитными волнами. Поскольку условие Лоренца не фиксирует однозначно 4-потенциал, воспользуемся оставшейся свободой и выберем потенциал в наиболее удобном для описания электромагнитных волн виде.

В первом параграфе было показано, что условие Лоренца. ие нарушается при калибровочном преобразовании АР— А'и = АР— ди1, если только функция 1 удовлетворяет условию С)~=0. д!1= <р. Таким образом, в пустом пространстве на скалярный потенциал электромагнитного поля всегда можно наложить условие ср = О.

(2.9.2) При этом дивергенция векторного потенциала также обраща- ется в нуль: (2.9.3) 61чА=О. В калибровке (2.9.2), (2.9.3) напряженности электрического и магнитного полей связаны с векторным потенциалом со- отношениями Е= — д!А, Н=го1А, (2.9.4). Дополнительные условия в форме (2.9.2), (2.9.3) не обладают свойством релятивистской инвариантности, так как скалярный потенциал !Р является нулевой компонентой 4-вектора,. и его значение меняется при переходе от одной инерциальиой системы отсчета к другой.

Рассмотрим два типа решений уравнения (2.9.1), которые в дальнейшем будут представлять для нас наибольший интерес. Дифференцируя это уравнение по времени, получаем Пд!!' = О. Таким образом, в отсутствие зарядов потенциал !р и производ- (' ная д!1 являются решениями одного и того же уравнения, По-) этому всегда можно выбрать функцию ! так, чтобы выполня-- лось равенство Предположим, что решение -волнового уравнения зависит только от одной пространственной координаты х и времени й В этом случае любая декартова компонента векторов Е„Н или А удовлетворяет уравнению д д — — — 1и(х, 1) =О.

ди дх ! (2.9.5) Введем новые переменные $=1 — х, х)=г+х. В этих переменных уравнение (2.9.5) принимает вид — =О. дй дч б)чА = —" =О. дх Так как Ах зависит от координаты х только в комбинации 1 — х и не зависит от у и г, то для проекций векторов Е и Н на на- правление распространения волны мы с помощью (2.9.4) по- лучаем Общим решением этого уравнения является сумма а, г1)=Н)+а(Ч), где ) и а — произвольные дифференцируемые функции, вид ко- торых определяется из начальных условий. Переходя к переменным х и 1, получаем и(х, 1)=1(1 — х)+д(1+х). Мы видим, что найденное решение представляет собой сумму двух функций, каждая из которых описывает возмущение, рас- пространяющееся со скоростью света (напомним, что всюду в этой главе скорость света принята равной единице).

Функция 1 соответствует возмущению, которое распространяется в поло- жительном направлении оси х, функция а — в отрицательном. Фронтом волны, т. е. поверхностью, во всех точках которой и имеет одно и то же значение, является плоскость уг. Поэтому решения рассмотренного типа называются плоскими волнами. В случае плоских волн, когда А зависит только от одной пространственной координаты, калибровочное условие (2.9.2), (2.9.3) приобретает вид дикулярной направлению распространения волны. Говорят, что плоские электромагнитные волны в вакууме поперечин. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. Чтобы уточнить ориентацию векторов Е и Н в волне, выпишем еще раз соотношение (2.9.4) и учтем, что А=А(1 — х).

Мы получим со- отношения Из полученных результатов непосредственно следует, что энергия в электромагнитной волне переносится со скоростью света. Рассмотрим случай, когда характеризующие электромагнитную волну величины зависят только от времени и от расстояния до некоторой точки, которую мы выберем за начало отсчета системы координат. Такие волны получили название сферических. Переходя в (2.9.1) к сферической системе координат, мы получаем уравнение 1 д ~ ди1 Фи — — ~г' — ~ — — = О. .* д.

'1 дх/ дЛ (2.9.9) Решение этого уравнения будем искать в виде и= —. (2.9.10) Е= — —, д1 ' Н=го1А= — ~е„, — 11=[е„Е). дд ч д1 ~ Выше было показано, что вектор Е ортогонален направлению распространения волны (в нашем случае — это положительное направление оси х), поэтому из последнего равенства следует, что модули напряженностей Е и Н равны между собой: 1Е1=1Н (.

(2.9.7) Поэтому в случае плоской волны плотность энергии (2.5.8) и плотность потока энергии (2.5.9) принимают вид Ез 4л Ех 8= — е„= ше,. 4л д1 дя дг Таким образом, в плоской волне векторы напряженностей , электрического и магнитного полей лежат в плоскости, перпен- Подстановка (2.9.10) приводит к уравнению, по виду совпадающему с (2.9.5): Ри дхи — — — = О. дЛ д1х Поэтому можно утверждать, что в самом общем случае функ- ция и имеет вид 3 — 114 ( ) ?6 — г) [ а6+г) г г (2.9.1 1) Первое слагаемое в (2.9.! 1) описывает волну, со скоростью света уходяшую на бесконечность, второе соответствует сходящейся волне. Общий вид решения позволяет также утверждать, что сферические волны поперечны и для них, так же как и для плоских, выполняется равенство (2.9.?).

Среди электромагнитных волн важное место занимают монохроматические волны, Волна называется монохроматической, если характеризующие ее величины зависят от времени через множитель вида соз(ьз1+а), а — начальная фаза. Рассмотрим плоскую линейно поляризованную монохроматическую волну. Если волна распространяется в положительном направлении оси х, то ее поле является функцией разности (1 — х).

Поэтому вектор напряженности электрического поля имеет вид Е(Г, г) = Е,сов [а(à — х)+а). (2.9.12) Вектор напряженности магнитного поля получается из (2.9.12) с помошью соотношения (2.9.6). Выражению (2.9.12) можно придать вид, не зависяший от выбора системы координат. Пусть направление распространения волны задается единичным вектором п. В этом случае напряженность Е следует, очевидно, записать в виде Е(1, г)=Е„соз(Ы вЂ” йг+а), (2.9.13) где Ыч мп. Зтот вектор называется волновым вектором. Линейность уравнений Максвелла позволяет пользоваться также комплексной формой записи напряженностей, В частности, для Е мы имеем Е (Г г) — Е е — Ф вм — ы.~-и) (2.9.14) $10.

ФУНИНИИ ГРИИА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ Типичной задачей классической электродинамики является задача нахождения электромагнитного поля в заданном объеме., по известному распределению зарядов и токов внутри объема' и прн определенных условиях на его границе. Следует под-' черкнуть, что в такой постановке задача является приближенной, так ~как,поле, создаваемое д~вижушейся частицей, влияет,' Выражение (2.9.14) и аналогичное выражение для напряженности Н являются решениями уравнения Даламбера. Однако следует иметь в виду, что реально измеримыми величинами являются действительные части соответствующих комплексных ' выражений. Разложение произвольного решения уравнения (2.9.1) по плоским монохроматическим волнам (2.9.14) используется при исследовании спектрально-углового распределения излучения. на характер ее движения (на этом вопросе мы остановимся подробнее в 9 13).

Учет обратного влияния, или, как говорят, самодействия, приводит к тому, что сам ток 1" (х) оказывается функционально зависящим от поля. В итоге уравнения поля и уравнение движения частицы становятся нелинейными. Однако в целом ряде ситуаций обратным влиянием собственного поля частицы на ее движение можно пренебречь. В этом случае распределение токов определяется из решения уравнений движения заряженных частиц системы в заданном внешнем поле, и мы приходим к сформулированной в начале параграфа задаче.

Рассмотрим решение уравнения Даламбера с заданной правой частью: С)Аи(х) = 4п)и(х). (2.10.1) Пусть токи отличны от нуля в ограниченной пространственной области и границы отсутствуют, т. е. решение ищется во всем безграничном пространстве. Решение уравнения (2.10.1) удобно анализировать с помощью соответствующей функции Грина 6 (х — х'), которая определяется как решение волнового уравнении с б-образным источником: 6(х — х') = ~ — е — м а — "ч6(й), г й4а 3(-) Воспользуемся тем, что Фурье-образ Ь-функции есть единица, т. е.

справедливо равенство б(х — х') = ( — е — "<" — "ч. (2.10. 5) 4 (2п) Тогда, подставляя (2.10.4) и (2.10.5) в (2.10.2), выполняя диф- (2.10.4) С) 6(х — х') =4пб'(х — х') (2.10.2) Как мы увидим ниже, функция Грина волнового уравнения не определена однозначно. Зто связано с возможностью наложения различных граничных условий, обеспечивающих единственность решения уравнения (2.10.1). В том случае, когда подходящая функция Грина найдена, решение уравнения (2.10.1) может быть записано в виде интеграла Аи(х) — ~ 6(х — х') )м (х') Д4х'. (2.10. 3) Применяя к обеим частям равенства (2.10.3) оператор Даламбера, используя (2.10.2) и определение б-функции, мы убеждаемся, что выражение (2.10.3) действительно удовлетворяет уравнению (2.10.1).

Характеристики

Список файлов книги