Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Этот 4-вектор называют 4-потенциалом электромагнитного поля. Равенство (2.1.21) говорит еще и о том, что 4-потеицнал электромагнитного поля определен неоднозначно. Действительно, выражение (2.1.21), очевидным образом, инвариантно относительно преобразований вида (2.1.22) А„- А'„=А„— ды), где ) — произвольная дифференцируемая скалярная функция.
В трехмерных обозначениях преобразования (2.1.22) имеют вид <р- ф' = ~р — д1), А — А' = А+дгад1. (2.1.23) Т аким образом, величины, которые являются наблюдаемыми в классической электродинамике„должны быть инвариаитными относительно преобразований (2.1.22), (2.1.23). Эти преобразования носят название градиентных, или калибровочнйх преобразований. Ниже мы увидим, что калибровочная инвариант- ность электромагнитного поля тесно связана с законом сохранения заряда. Уравнение, которому удовлетворяет 4-потенциал А" полча ется после подстановки выражения для тензора электромаг-' у нитного поля (2.1.21) в уравнение (2.1.6): дАы дЮ~А» = 4п/ы (2.1.
24) П олучениое уравнение можно существенно упростить, если, воспользоваться инвариантностью электродинамики относительно калибровочных преобразований (2,1.22). Выберем в качестве функции ) какое-либо решение уравнения, Щ=д„Аы, И етрудно увидеть, что в этом случае преобразованный потенциал будет удовлетворять условию д„А =О. (2.1.25) О потенциалах, для которых выполняется равенство (2.1.25), говорят как о потенциалах в лоренцевой калибровке. В трехмерных обозначениях это условие имеет вид д(ч А+ д~~р = О.
(2.1.26) Компоненты 4-потеициала в лоренцевой калибровке удовлетворяют неоднородному волновому уравнению (3А» = 4п/ы, (2.1.27) которое в отсутствие зарядов н токов превращается в уравнение Даламбера ПАы=О. (2.1.28) Каяибровка Лоренца все еще не фиксирует 4-потенциал однозначно. Усилие (2.1.25) не будет нарушаться прн калибровочных преобразованиях (2.1.22), если только функция ) удовлетворяет уравнению (:3~=0.
Мь ы воспользуемся этой дополнительной свободой в выборе потенциалов электромагнитного поля в параграфе, посвященном, электромагнитным волнам. 41 Можно показать, что уравнения Максвелла содержат в себе закон сохранения заряда. Для этого вычислим четырехмерную дивергенцию от обеих частей уравнения (2.1.6).
Дивергенция левой части обращается тождественно в нуль в силу антисимметричности тензора поля Р'", и мы получаем равен- ство д,1 =О, (2.1.29) (2.1.30) которое в трехмерных обозначениях имеет вид 41ч)+д1р = О. Полученное равенство представляет собой дифференциальную форму закона сохранения заряда.
Действительно, проинтегрируем обе части (2.1.30) по некоторому произвольному объему г' трехмерною пространства. Интеграл от первого слагаемого по теореме Гаусса преобразуем в поток вектора 1 через охватывающую объем замкнутую поверхность, получим — ) рд х= — ~)до. 3 й 2. ДЕИСТВНЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ, СОСТОЯП1ЕИ НЗ ЗАРЯДОВ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Рассмотрим, каким образом классическая электродинамика может быть построена в соответствии с общими принципами классической теории поля.
Первое, что нужно сделать,— это установить вид действия для свободного электромагнитного поля. После этого в действие следует включить члены, учитывающие взаимодействие электромагнитного поля с заряженной материей и движение зарядов. Итак, для системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля, мы будем искать действие в виде суммы трех слагаемых: действия, описывающего электромагнитное поле 5ю действия для свободных частиц 5„и члена, учитывающего взаимодействие зарядов с электромагнитным полем 5ээ. 5 = 5а+ 5э+ 5,г.
(2.2.1) Получим прежде всего выражение для действия свободного электромагнитного поля. При этом примем во внимание следующие естественные ограничения. Величина 5г, а также соответствуюший ей лагранжиан должны быть построены только из величий, описывающих электромагнитное поле, и быть релятивистскими инвариантами. Линейность уравнений поля Полученное равенство означает, что изменение заряда в за' данном объеме равно со знаком минус заряду, прошедшему через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Иными словами, ни в одной точке пространства заряды не рождаются и не исчезают.
либо 5г = — — ~ (РятР~~+ 2 (д„,4 а)з) д4х 1 г Нетрудно проверить, что в обоих случаях полученные с помощью вариациоииого принципа уравнения совпадают с уравнением Даламбера (2.1.28). Однако, как было показано в предыдущем параграфе, уравнения Максвелла мо. б ны из (2.1.28) т р т ыть получе( .. ) только при наложении условия Лоренца. (2.2.4) отличается от (2.2.3) на интеграл от 4-днвергенцни и поэтому фактически с ним совпадает.
Вместе с тем от градиентно инвариантного выражения (2.2.2) д й ф ( .. ) или ( ., ) отличается членами, содержащими в (2.2.4) требует чтобы действие для поля было билинейным функцио налом от 4-потенциала и его первых производных и не содержало производных более высокого порядка. Градиентная инвариантность уравнений электромагнитного поля означает, что действие 5» должно быть записано только через градиентноинвариантиые величины. Е дннственными величинами, удовлетворяющими сформулированным выше требованиям, являются инвариа р нты йоля ( ..
) и ( .. ). Поэтому лагранжиан теории следует искать в виде ях линейной комбинации. Вместе с тем равноправие левых и правых координатных систем заставляет отказаться вт инвариаята (2.1.17) как возможного члена в общем выражении для лаграижиана свободного электромагнитного поля. Это обусловлено его псевдоскалярным характером. Действительно, введение такого члена в лагранжиан приведет к уравнениям поля, вид которых будет меняться при отражении координатных осей. Таким образом, мы окончательно получаем 1 5,= — — ~Р„,Р"а . (2.2.2) 1бк,) Введение в (2.2.2) коэффициента — 1/1бп соответствует выбору гауссовой системы единиц. Мы увидим, что действие (2.2.2) действительно приводит к правильным уравнениям для свободного электромагнитного поля.
С стане я точки зрения классической теории поля получе йвляется действием для безмассового векторного поля, нное лешими которое описывается четырьмя функциями А»( ), об в совокупности 4-вектор и связанными с тензором Р'" соотношением (2.1.21). Если ограничиться требованиямй релятивистской инвариаитности и линейности уравнений поля, то в качестве действия для безмассового векторного поля мы могли бы взять одно из выражений: 5г = " даАчдиАт д4х 1 (2.2.3) подынтегральном выражении 4-дивергенцию д„А". Поэтому 'эти выражения можно считать эквивалентными только при наложенин условия Лоренца (2.1.25) дрАр =О Однако эта неоднозначность в выборе действия для свободного безмассового векторного поля является только кажущейся.
В $6 мы увидим, что при выборе действия в форме (2.2.3) нли (2.2.4) в выражении для энергии поля появятся отрицательные слагаемые, исключить которые можно, только наложив на потенциал А" условие Лоренца и тем самым фактически переходя к калибровочному инвариантиому действию (2.2.2): Таким образом, непротиворечивая . теория безмассового векторого поля, по сути дела, является теорией свободного электроагнитного поля. Перейдем к установлению вида остальных входящих в действие (2.2.1) членов. Вид действия для свободной частицы был получен в первой главе.
Для системы точечных невзаимодействующих частиц оно имеет вид 5р~ = — ~ Ар(х)!р(х)д4х. (2.2.6) Коэффициент перед интегралом в правой части этого равенства выбран таким образом, чтобы получить нужный знак перед источником в правой части полученных с помощью вариационного принципа уравнений. Выбранное в форме (2.2.6) взаимодействие на первый взгляд не удовлетворяет принципу калибровочной инвариант- ности.
Действительно, если преобразовать 4-потенциал в соответствии с (2.1.22), то при этом (2.2.6) заменится .на выра- жение 5'рр — — 5рр+ ) (Р(х) д„)'(х) д4х. (2.2.7) ВоспользУемсЯ тождеством )мд„(=д„(ДР) — Рр!Р. 5 = — ~', т, ~ дз,. (2.2.5) Третье слагаемое в (2.2.1) описывает взаимодействие частиц с электромагнитным полем и должно представлять собой интеграл от произведения величины, относящейся к частице, на величину, характеризующую электромагнитное поле. Уравнения поля получаются при варьировании действия по переменным поля. В результате мы должны получить уравнения Максвелла (2.1.6).
В правой части этих уравнений стоит 4-ток 1"(х). Вместе с тем с точки зрения вариационного исчисления правая часть уравнений поля есть вариационная производная 65рр/6А,(х). Это предопределяет выбор взаимодействия в следующем виде: Интеграл по 4-объему от первого слагаемого по теореме Гаусса сводится к интегралу по трехмерной гиперповерхности, охватывающей 4-обьем. При этом выражение для действия (2.2.7) преобразуется к следующему виду; 5' „=5рр+ ~ ~~здор — ~ ~д,„(м Рх. (2.2.8) Поскольку по смыслу принципа наименьшего действия на границе области интегрирования все характеризующие систему величины предполагаются фиксированными, вариация второго слагаемого в (2.2.8) равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
