Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Перейдем к исследованию различных решений уравнения (2.10.2). С помощью преобразования Фурье, мы можем получить для функции Грина 6(х — х') следующее формальное представление: за б? бб Рнс. 2.1. Контуры в комплексной плоскости переменной ))' для интегрального представления функпий ба 6л 6 и6 (2. 10. 14) бз ференцирование и приравнивая подынтегральные выражения, мы получим 6(й) =- — — ' (2.10.6) Решение (2.10.6) является чисто формальным, поскольку после подстановки (2.10.6) в (2.10.4) остается неопределенным правило обхода полюсов йе=+.[Ц, которое следует определять из граничных условий.
Если рассматривается электромагнитное поле, создаваемое током 1'(х) в безграничном пространстве, и других источников нет, то для выделения единственного решения, адекватного поставленной задаче, можно привлечь принцип причинности. Принцип причинности требует, чтобы из~менение поля в точке наблюдения отставало от изменения в характере движения зарядов, которое его вызвало. Отсюда и из (2.10.3) следует, что в этом случае функция 6(х — х') должна удовлетворять условию 6(х — х') =0 при 1(г'.
(2.10.7) Соответствуюшая функция Грина носит название запаздываюшей, мы будем ее обозначать 6». Покажем, что условие (2.10.7) действительно определяет ' функцию Грина однозначно, и получим для нее явное выражение. Заметим, что условие (2.10.7) соответствует обходу сверху полюсов йо= ~ [)г [ в комплексной плоскости переменной»е, как это показано на рнс. 2,1. Действительно, при 1(1' контур интегрирования может быть замкнут в верхней полуплоскости переменной йо, а при 1)1' — в нижней, В первом случае полюса подынтегральной' функции ие попадают внутрь контура интегрирования, и интеграл равен нулю. Во втором — он может быть вычислен с помошью теории вычетов. В результате мы получим 6» (х — х') = ~ —,, е'" <"-"'> „.~' (~~' '~ф10,8) Переходя к сферической системе координат в [г-пространстве с осью г, направленной вдоль вектора (г — г'), и интегрируя по угловым переменным вектора [г, мы приходим к следующему выражению: 6»(Х Х') ~ Г[н [Š— аггà — Г' — 1 г — г'11 Š— ГЕП вЂ” Г и1 г — г' и [ 1 2п)г — г' [ (2.10.9) Воспользовавшись (2.10.5) и тем, что при г>(' Ь(г — г'-[- +[г — г'[) =О, мы получаем окончательное выражение для запаздываюшей функции Грина Ь () — Р— )г — г' [) 6» (х — х') =- )г — г'1 С физической точки зрения решение (2.10.10) представляет собой бесконечно узкую сферическую расходящуюся волну, вызванную локализованным в точке г' источником, который действовал мгновенно в момент времени 1'.
Оно автоматически удовлетворяет условию запаздывания (2.10.7) и определяется этим условием однозначно. Если воспользоваться формулой б(хг ат) Ь (л — а) + (л+ а) (2.10. 11) 2[а) то решение (2.10.10) можно записать в другой эквивалентной форме: 6»(х — х') = 20(1 — К) б((х — х')'). (2.10.12) В (2.10.12) через 0(1 — 1') обозначена функция Хевисайда. Она определяется следуюшим образом: 11, г)0; (') ='[ о <о (2.10.13) ~ О, г О.
Запаздывающая функция Грина в форме (2.10.12) обладает явной релятивистской инвариантностью. Это обеспечивается тем, что знак разности (1 — 1') не меняется при ортохронных преобразованиях Лоренца, и тем, что функция б((х — х')') является скаляром. Если вернуться к интегральному представлению (2.10.4), (2.10.6), то те же результаты могут быть получены, если интегрирование по Йе вести вдоль действительной оси, а полюса сместить в нижнюю полуплоскость комплексной переменной ао на бесконечно малую величину, что осуществляется заменой йс- йо+гз; з- +О в подынтегральном выражении.
Это позволяет получить еше одно представление запаздывающей функции Грина, которое часто встречается в литературе: 6» (х — х') = — ~ — е — гпм епз Дг [;вао ' Рассмотрим еще две функции, которые являются линейными комбинациями запаздывающей и опережающей функций Грина: б (х — х') = — (бз+ бл), 2 6(х х ) = бл ба (2.10.19) При этом бя может быть представлена в виде 1 бп (х — х') = 6 (х — х') — 6(х — х').
2 (2.10.20) Мы видим, что функция б, так же как бз и бл, является решением неоднородного уравнения (2.10.2), в то время, как 6 удовлетворяет однородному уравнению Даламбера и потому, собственно говоря, не является функцией Грина. Эта функция называется перестановочной функцией Паули — йордана. Она естественным образом возникает в квантовой теории поля, однако, как мы увидим ниже, играет важную роль и в классической электродинамике. Прп исследовании различных решений уравнения (2.10.2) мы сталкиваемся с целым рядом функций, которые хотя и не представляют такого интереса для классической электродинамики, как запаздывающее решение бя, но Широко используются в других разделах теоретической физики, в частности в квантовой теории поля.
Рассмотрим некоторые из этих функ ций. Прежде всего введем опережающую функцию Грина бл. Она определяется требованием бл(х х)=-0 при г)г (2.10.15~ Нетрудно проверить, что условие опережения (2.10.15) удовлетворяется при обходе полюсов в комплексной плоскости переменной А' снизу (см. рис. 2.1). При этом в координатном: представлении опережающая функция имеет вид сходящейся бесконечно тонкой сферической волны: (~ — я+1 — г'1) 2101, 1г — г'1 а вместо (2.10.12) мы получим следующее выражение: бл(х — х ) = 28 (à — 1) 8((х — х )о). (2.10.17~ Можно получить для бл и интегральное представление, аналогичное (2.10.14), оно будет отличаться только знаком е: бл (х — х') = — 1 — е — гоо (2.10.18) ° 1 4гго Ао;оьо ' Получим интегральные представления для 6 и б.
Воспользуемся известной из теории функций комплексной переменной формулой — = — т гггб х. (2. 10. 21) () к~ге х Это равенство совместно с формулами (2.10.14) и (2.10.18) позволяет представить Фурье-образы запаздывающей и опережающей функций Грина в следующем виде: ба1л1 = — 4п — ~ 14пое (Ао) б (А'), (2.10,22) Ао где е(А') — знаковая функция: 3 (Ао) = 8 (Ао) — 8 ( — Ао). Из этих формул и из определений (2.10,19) получаем Р 6(А) = — 4п —, Ао' (2.10.23) 6(А) = — 8поге(Ао) б(Ао). Обратим внимание на то, что поскольку знак Ао инвариантен относительно ортохромных преобразований Лоренца, то, как это видно из (2.10.22), формула (2.10.20) осуществляет ло- ренцинвариантное разбиение запаздывающего решения урав- нения (2.10.1) на два существенно различных слагаемых.
Вклад, обусловленный 6, является решением однородного вол- нового уравнения и представляет собой оторвавшееся от ис- точника поле (электромагнитную волну), в то время как б позволяет выделить в запаздывающем решении ту его часть, которая представляет собой преобразованное по Лоренцу ку- лоновское поле частицы и не дает вклада в излучение. Впервые такое разбиение запаздывающего решения было осуществлено Ю.
Швннгером, оно позволило выделить поле излучения без традиционного перехода в волновую зону. Контуры, по которым следует производить интегрирование в комплексной плоскости переменной Ао для получения функ- цией 6 и С, показаны на рис. 2.1. В приложениях для анализа спектрального состава излуче- ния весьма полезными являются Фурье-образы по времени бшл1(го) запаздывающей и опережающей функций: бв „1(го, г — г') = ~~ г((1 — 1') е'" "— '1бзгл1(х — х'). В1Л] Для этих функций из (2.10.4), (2.10.14) и (2.10.18) немедленно следует следующее интегральное представление: бил (го, г — г')= — его<о-'1 .
(2.10.24) 71 Функции (2.10.24) являются решениями уравнения (Н„~ ийэ)ба<41(йэ, г — г') =- — 4пбй(г — г'), (2.10.25 где через Н. обозначен оператор Н й( йэй (2.10.26) Рассмотрим эапаздывающую функцию Грина. Покажем, что для нее существует интегральное представление, аналогичное широко используемому в квантовой теории поля представлению Фока — Швингера — Девитта для фейнмановской функции. Грина. Прежде всего заметим, что уравнение (2.10.25) имеет следующее формальное решение: 6й (г — г') 4п' 1' й й (йй +йййй) бя(йй, г — г') = — 4йй =- — ~ й(те " " бй(г — г').
и. — -5 о (2.10.29) н удовлетворяет начальному условию йр (О, г — г') = бй (г — г'). (2. 10. 30) Уравнение (2.10.29) по виду совпадает с хорошо известным в квантовой теории уравнением Шредингера. Оно описывает эволюцию во времени волновой функции некоторой фиктивной частицы с гамильтонианом Н„. В рассматриваемом случае цлоокого пустого пространства уравнение (2.10.28),может быть решено точно.
Его решение, удовлетворяющее начальному условию (2.10.30), имеет вид 1йй ' +й — <ййй+йййй>+ — <г — й'йй й/й ййй йр (т) = — е йй — (4щт)йlй Интересно, что аналогичное (2.10.27) представление имеет место в целом ряде значительно более сложных случаев. В частности, в случае неоднородной среды, обладающей временной дисперсией, и даже для искривленного пространства-времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
