Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. локальные, параметры группы. Генераторы образуют алгебру Ли с коммута.ционными соотношениями (Та ТЬ! ЧаьсТс, (3.2.3) где 1',ь,— структурные константы группы. Унитарность преобразований, в+=-а ', обеспечивает инвариантность квадратичлых комбинаций полей вида ф*ф. Требование распространить эту инвариантность на комбинации, содержащие производные полей, так же как и в электродинамике (3.1.9), приводит к необходимости ввести калибровочные поля А„, удлиняя производную д„следующим образом: Ва = д„— 1дА„(х), (3.2.4) .где д — некоторая константа, определяющая, как и электрический заряд, величину взаимодействия полей (см. ниже). Если само калибровочное поле удовлетворяет следующему правилу преобразования; пенных производных. Рассмотрим инфинитезимальные преобразования ь (х) = 1 — ЮаТа.
Тогда из (3.2.5) полУчим 1 — — 161а (Та Аа) двФ '1'а. 8 Разложим поле А„по генераторам группы: Ая АаяТа. Получим для компонент поля А а Аа, ~ 1 Ь 61ЬАс д СЭа (326) 8 Как видно, в отличие от абелевой группы (3.1.1) кроме градиентного члена в неабелевом случае появляется член, описывающий повороты (~второе слагаемое).
Таким образом, вариацию поля можно коротко записать в виде 6Аа — (1/й) О Ва где Тогда с учетом правил преобразования (3.2.5), (3.2.6) получим Продемонстрировать справедливость последнего правила преобразования непосредственным вычислением предоставляем читателям, Рассмотрим группу трехмерных вращений в групповом пространстве О(3).
Структурными константами группы, как и в случае пространственных поворотов в обычном пространстве, б дут составляющие абсолютно антисимметричного единичноуду го тензора (3.2.13) 1 ь = е ь (а, Ь, с = 1, 2, 3). 'Тензор поля может быть записан в виде Ряс — — двАс — дсАя+ аАвх А,. Инфинитезимальные преобразования потенциалов (3.2,14) В861а = дьс61~+ Д(аьсА сФ ' (3.2.10) По аналогии с электродинамикой введем тензор напряженностей поля Рмм=РвАс — 1) Ав=-двА — д Ав+ ~ (А, Ас). (32 11) (3.2.15) 89 88 т. е. правило преобразования (3.2.1) сохраняется и для удли- А'„=А +йхА„— — д„й 1 Ы содержат как малый поворот, так и градиентный член, а случае тензора поля Р'»»=Ра»+ В~! Ва» (3.2.18 — только поворот. Таким образом, тензор поля является векто.
ром группового пространства, удовлетворяющим обычным пра* вилам преобразований — глобальных поворотов. Поэтому е длина есть инвариант группы, т. е. Г!4»Г!4» = шч (3.2,17 †к лоренцовский, так и калибровочный инвариант. Заме тим, что Янг и Миллс рассматривали именно калибровочную группу трехмерных вращений.
Поэтому соответствующие пол А, носят название полей Янга †Милл, хотя часто это название применяют и для полей, отвечающих произвольной калибровочной группе. Обобщая электродинамику, можем, имея в виду (3.2.17), записать лагранжиан полей Янга — Миллса 4 ! (3.2.18 Найдем уравнения поля Янга †Милл 62" г-м дЯ'г и 8 дУ~'-м =О. 6Аи дА„» дА В результате имеем 8 Р гг» + йгггсьсл ьР и» = О, (3.2.19 или в краткой записи Р'Р „,=0 — Г !4»Гс~ +1 ! !ге!Р~ ~ — т~) 4Ргг!!~г (3.2.2!У, 4 ~'~!4Чг = дггЧг + Ипьс4 ге!ге . где Этот лагранжиан является очевидным обобщением лагранжиана скалярной электродинамики на неабелев случай, Заметим, что в качестве калибровочной группы используется обычно унитарная унимодулярная группа 5У(Ж), фундаментальное представление которой действует в комплексном пространстве размерности А!.
Операторы группы унитарны, ьгьгэ=1, и унимодулярны. Последнее означает, что определитель оператора бе1 гэ = 1. (3.2.20)! Введем в систему также,и скалярное поле массы т, принадлежащее присоединенному представлению группы: гр (а=1,п) „ т. е. тому же представлению, что и поле асмп Тогда с учетом необходимости удлинить производные находим лагранж!иан модели Отсюда находим в случае инфинитезимальных преобразований 1 — е!п дега — «4г !и а — «!г !п ( ! — гв"тс) « — гес гг та (3 2 22) т. е.
1г Т,=-Π— матрицы генераторов должны быть бесследовыми. В случае А!=2, т. е. группы 5У(2),— это матрицы Паули аг (4=-1, 2, 3), стандартное представление которых имеет вид а! = (, О), ос= (! О), а, = ~0 1~. (3.2.23) Операторы Т,=г/! а, благодаря своему фундаментальному свойству (3.2.24) а аь = 4Есьсас + ! бпь образуют алгебру Ли группы 5У(2): (Тп ТЬ! = 4зсЬсТс. (3.2.28) Как видно, коммутационные соотношения для генераторов группы 5У(2) совпадают с алгеброй генераторов группы О(3), при этом группа 5У(2) осуществляет двузначное представление группы трехмерных вращений.
В случае А!=3 получаем группу 5сг'(3). Генераторы ее Т =г1»Л,(а= 1,8) связаны с матрицами Гелл †Ман Три степени свободы фундаментального представления в квантовой хромодинамике называют «цветом» («красный», «голубой», «зеленый»). Этими цветами наделяют кварки †элементарные объекты, из которых состоят нуклоны. Сама квантовая хромодинамика (КХД), или динамика цвета, представляет собой фундаментальную теорию сильного взаимодействия, сдерживающего составляющие нуклонов в виде единого целого. В простейшем случае скалярных кварков лагранжиан КХД имеет вид (3.2.21) с калибровочным полем (так называемым глюонным полем), принадлежащим присоединенному представлению цветовой калибровочной группы 5У(3)с размерности 8.
Реальные кварки имеют собственный момент — спин и принадлежат фундаментальному представлению группы пространственных преобразований 5У(2). 9! Л= 100, Лс= ! 4,=1о 0 0 Л,=(О О 1.0 00 Л= 0 — 1О, Лс — 000 0 — ! 0 0 0 О О Л,=(О О 11, (3.2.28) 0 0 (!О 1 0! 5 3. САМОДУАЛЪНЫЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА Прежде всего найдем согласно теореме Нетер канонический тензор энергии-импульса дха дАа (3.3.1» Для полей Янга — Миллса получим, дифференцируя (3.2.18), дла„ тч рча (3.3.2» дха Этот тензор не симметричен, что, как указывалось в гл.
1, является следствием векторного характера поля А,'. Симметризуем его, добавив дивергенцию дла (Ра А а) = Ра + йеаыРь А аА а дха дха где мы воспользовались уравнениями поля =йеаьа~ ь 4 а. др ча дха Тогда (Ра А а)=Ра (.4 а а йеаьаА а4 а) дха или (3.3.4» тач р аарч + ч)ачра р аа 4 По аналогии с электродинамикой антисимметричный тензор поля можно разбить на электрическую Еаа и магнитную В„составляющие Еа„= р",„, Ва„= — — з„пр О. (3.3.5). 2 Тогда отдельные компоненты (3.3.4) могут быть выписаны в. явном виде: т„= — , '(Е.+В'.)= »„тгь ая та1 = — цтаЕ'ш Е'и, тыаа — Е 1Е"з — В 1В'д+ 1 ь (Е,Е,+ В В ) 2 (3.3.6» 92 ,и тензор энергии импульса после добавления к нему данной дивергенции приобретает симметричный вид: 7'ч р чара бч (3.3.3»; Введем теперь дуэльный тензор р ач= еачхар ~а (3.3.7) 2 Легко проверить, что переход от тензора р„„к дуальному тензору Р„„соответствует следующей замене компонент первого тензора: (3.3.8) Ра„ч- Р „ч: Е,— „„- — Еа.
Из компонент двух введенных таким образом тензоров, как и в электродинамике, можно составить инварианты аэ 1Р „Р аа 1 (Вч Еа) 4 2 (3.3.8) рааарааа = ЕаВа ° Кроме того, как нетрудно убедиться непосредственным вычислением, имеют место тождества Р ачРа = б аА р" Р ч" — Р' Р 'ь= — 26ь~~. (3.3.10) Как видно, тензор энергии-импульса обращается в нуль на классах полей, которые удовлетворяют равенствам а) Р,аа (Раа б) Р 1Р ' (3312) и называются соответственно а) самодуальными и б) антисамодуальными полями. В терминах напряженностей условия (3.3.12) записываются в виде б) Ва„= — (Е' .
а) В"„=~Еаа, Заметим, что мнимая единица в этих условиях появляется вследствие псевдоевклидовости метрики пространства Минковского, благодаря чему повторное применение операции дуальности дает р ач р ач. Важнейшим свойством (анти)самодуальиых полей является то, что они обеспечивают экстремум функционала действия и тем самым удовлетворяют уравнениям поля. Само по себе условие (анти)самодуальности эквивалентно тому, что соответ- 93 С помощью этих тождеств преобразуем выражение для тензора энергии-импульса (3.3.4) тач р аарч + т(ачра р аэ (р аа ( 1р аа) (рч Арч (3.3.1 1) ствующие поля представляют собой решения уравнений поля Янга — Миллса. Покажем это. Прежде всего следует убедиться, что дуальный тензор удовлетворяет уравнениям поля автоматически, в силу своего определения.
Возьмем удлиненную производную а~Ус~ = ~™ХР (диРа ~+ йеаьсА аРс ) = яеь™заьсди(А ьА а) + 2 + Из заьсА а (д 4~ с дь4 с)+ Д заьсзстеи А аА е 4 3 Первые два слагаемых в последнем равенстве взаимно уничтожаются, а последнее с учетом тождества з,ь,еаы =5,ебт — ба1бье обращается в нуль. Таким образом, в дополнение к лагранжевым уравнениям для полей Янга — Миллса (3.2.20) получаем еще уравнения (3.3.13) которые, так же как и в максвелловском случае, удовлетворяются тождественно в силу определения тензора поля через потенциалы. Если же поля являются самодуальными Р=1г" или антисамодуальными г'= — (г", то из уравнения (3.3.13) следуют уравнения поля (3.2.20), т.
е. такие поля действительно являются решениями полевых уравнений и обеспечивают экстремум действия. Относительно потенциалов условия самодуальности представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, в то время как уравнения Лагранжа — второго порядка.
й 4. СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ р(р)= А( — р ~, Л>О. 4 (,1с (3.4.2) Характерным отличием уравнений поля Янга — Миллса от уравнений Максвелла является их нелинейный характер, что связано с некоммутативностью потенциалов и соответственно нелинейной зависимостью тензора поля от потенциалов. Поля Янга — Миллса обладают самодействием, что приводит к возникновению нетривиальных решений соответствующих уравнений. Прежде чем познакомиться с некоторыми из этих решений, рассмотрим некоторые общие соображения.
Введем модель Хиггса, описываемую лагранжианом .2' = — — Р'„,Р,и'+ — (В„~р) (Виар),— р рр), (3.4.1) где Иа — скалярное поле, образуюьцее присоединенное представление группы 50(2), а=1, 2, 3. Удлиненная производная в этом представлении определена согласно равенству (В,д)а =д,да+аеаь 4ь,д', а потенциальную энергию выберем в виде (см. гл.
1) Выписанный лагранжиан (ЗА.1) У( ) симметричен относительно преобразований группы оУ(2). Тем не менее физические решения нарушают эту симметрию, что связано с наличием потенциала Хиггса У(ьр). Рассмотрим статические решения модели Хиггса, т. е. считаем д1д1=0. Примем ° 'а ~П физическое требование, состояРис. 3.1 щее в том, что на пространственной бесконечности энергия полей обращается в нуль: оо, ~рь- та/)ь (3.4.4) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
