Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Заметим, что точное значение энергии монополя Тоофта— .Полякова может быть вычислено на ЭВМ и имеет вид Е=С вЂ” М, дй :где С изменяется от 1 до 1,8 при изменении Х от нуля до бес.конечности. Аналогично можно показать, что и в модели великого объединения (группа 5(1(6)), в которой объединяются слабое, электромагнитное и сильное взаимодействия, существуют монопольные решения. Их масса оказывается чрезвычайно большой, порядка 10мГэВ. Монополь великого объединения, если он существует, должен проявить себя через воздействие на ядерную материю. В. А.
Рубаков в 1981 г. показал, что монополь катализирует распад протона, предсказываемый моделями валяного объединения и обусловленный переходами кварков в лептоны. й В. УРАВНЕНИЯ ВОНГА Рассмотрим теперь движение классической частицы, движущейся в неабелевом поле. Для определенности остановимся иа группе 50(2) и будем называть неабелев заряд частицы, рассматриваемой как модель кварка, цветом. Разумеется, подобная частица ие может последовательно описываться классическими уравнениями, так как ее движение ограничено микромасштабами порядка размеров нуклонов.
Тем не менее в ряде квантовых задач приходится обращаться к классическим уравнениям, эффективно описывающим движение системы при определенных условиях. Кроме того, исследование особенностей классических решений помогает понять закономерности квантового поведения частиц. Учитывая, что в неабелевой теории заряд частицы — много- компонентная величина, описываемая групповым вектором Т„ мы приходим к выводу об увеличении числа степеней свободы частицы. Помимо радиуса-вектора г ее динамическими переменными являются также компоненты вектора Т„связанные условием Т,'=сонэ(=Т~. Действие для цветного заряда можно представить в виде 5 = 5о+ 5ь (3.6.1) где 5а — часть действия, ответственная за пространственное движение неабелевой частицы, а 5г — цветовая часть действия, определяющая динамику цвета частицы.
Для 5а легко написать 406 5,=1 (1Т.,(1, г, ч, Т), (3,6.2)1 где лагранжева функция равна Ер — — — т Нг(1+ й (А'„Т,) 1(ха!й1. (3,6:3)' Варьируя это действие по,координатам часта1цы, приходим ас уравнению, непосредственно обобщающему уравнение Лоренца в электродинамике: т в = дРаяюТа (3,6.4)1 Другое уравнение должно описывать динамику цвета и цолучается варьированием 5ь Явный вид этой части действия найдем следующим образом.
Классический вектор цвета Т~ с групповой точки зрения аналогичен вектору момента количества движения частицы 1.. Поэтому цвет в классическом приближении можно представить себе как своеобразный волчок. Его лагранжева функция имеет вид 1 Т г = — (1,а', + У,а', + У,а',), 2 причем в данном случае два главных момента инерции Т, =Тз=0 и только /з)0. Этот случай неосуществим для обычного волчка, однако имеет место при описании вектора магнитного момента в теории микромагнетизма. Введем, как обычно, углы Эйлера О, ~р, и ф для описания. поворотов в групповом пространстве. Тогда функция Лагранжа примет внд 1.г = — 1, (1Р, соз О+ ~Р)' ! (3.6.6) Й= ОРДН, р,='р,ы1).
Направление цветового вектора Т постоянной длины ~Т1=- =сопз1=Т определяется сферическими углами 0 и <р: Т=Т(0, р), причем ср=312 и+~р~. Функция Лагранжа Ь| не зависит от ~р, поэтому дб~ ра = —. = у,' (~р соз О+ ф) = сопз1. дЕ Введем функцию Рауса Ю = — Рчф + 1- = — 22 + Рч% соз О. 10T выражение, являющееся обобщением действия электрического заряда на неабелев случай: 'Отбрасывая постоянную, получим окончательно функцию Лаг- ранжа для цветового вектора 1 г = ребр.соз 8.
(3.6.6) Уравнения движения вектора Т найдем, варьируя функцию Лагранжа Т.ь+Т.,=Е: — ЬТ= О. Ьт Здесь ЬТ=баьХТ, где бьь — угол поворота. Поэтому уравнения ,движения примут вид — хбп=О, Ье, (3.6.7) Ьа ;где п=Т/Т=(8, ф). В явном виде 67т7блч = ря8, 67 т(бае = — рэ<р сйп 8. Составим векторные произведения Н.у 1 гй.у ~ — х и 1 — ( — ) и„= ребр з1п 8 = ре (п)ч, ( — т х и) = ( — ) = р ь8 = р 1, (п)е. Подставим полученные производные в уравнение, учитывая также слагаемое в Еь, зависящее от вектора цвета д(А„хь)пт.
В итоге, отождествляя константу рь с Т, р„=т, найдем ата 7 Кх,~ (3.6.8) Последнее уравнение вместе с уравнением для координат ,(3.6.4) кь а Их„ рита Ч (3.6.9) составляют систему уравнений Вонга. Рассмотрим примеры решений уравнений Вонга в простейших случаях однородных полей. Будем называть поле пространственно однородным, если вектор-потенциал в точке х+бх связан с вектор-потенциалом в точке х некоторым калибровочным преобразованием А„(х+ бх) = ьь (х) А„(х) ы ' (х)+ аь (х) д„в ' (х), (3.6.10) где ьь(х) =ехр(ЕЛ„(х)бх"). Тогда для тензора поля имеем эр„,(х)в '=Г„х(х+бх).
(3.6.11) Рассмотрим бесконечно малые (инфиннтезнмальиые) преобразования гь(х) = I+(Л„бе~. (3.6.12) Пусть А„(х) — а„+ 1~,х", (3.6.13) где а„=сопз1, 1„„=сапа(. Подставим (3.6.13), (3.6.12) в уравнение (3.6.10). Тогда линейные но бх члены в левой и правой частях этого уравнения совпадут, если 1„„= — 1(аа+1аьхь, Л )+даЛх (3.6.14) Рассмотрим две возможности. 1) а„=О, ~"„„=бьешь„,. Поле по существу является абелевым, коммутатор в (3.6.14) равен нулю, и'мы получаем, интегрируя (3.6.14), Лья = х"Гем+ Сч, причем константу можно выбрать равной нулю, С,'=О. Абелев тензор напряженностИ равен Ра„~ = д„Аь„— д„Аь„= — 2)з„» = сопз1.
Он определяет однородное поле, так как [а, г„.)=0. Итак, однородное поле можно задать коммутативными линейно растущими потенциалами. 2) 1ри=О, а„ФО, д,ля=О. Тогда д„Л„=Ь(ав, Л,! (3.6.15) †уравнен для определения оператора калибровочного преобразования Л„ при заданных потенциалах а„=соне(. Напряженность цветового поля Р «ч = фаььаьаа~ч = сопз1. (3.6.16) Итак, постоянное однородное поле можно задать также некоммутативными потенциалами.
В этой неоднозначности задания напряженности поля состоит одна нз особенностей теории неабелевых полей. В первом случае абелевых потенциалов поля удовлетворяют уравнениям без источников Т)мха ~ — д~~р ч +ке"ьсАюьггс ч йеамАюьрса~ 0 (3 6 17) Во втором случае неабелевых потенциалов поля удовлетворяют неоднородным уравнениям, так как Пью ю= йеьььАюьрс, ~ 0 т.
е, имеется постоянный источник поля: (3,6.18) Рассмотрим теперь специально второй случай А„=соне(. Согласно Брауну н Вайсбергеру, можно ввести следующую классификацию таких йолей. Введем матрицу А аА»ь=) аь «'Лабаь Это означает, что компоненты А," для различных а ортогональны. Рассмотрим некоторые примеры. 1) Л, ~ О, Л, ( О, Л О. Тогда А»2=(~Л2. О, О, О), А»,=(0, ь/ — Л, О, О), В результате получаем электрическое поле Ев=дв( — У' — Л,, Л„О, 0).
2) Л,(0, 1,2(0, Л,=О. Тогда Тз ев ~/Л, А"з =О. т. е. получаем магнитное поле Вв = (О, О, — У'Л,Лв). 3) Л,=Л,=Л =Л(0. Тогда А», = ь' — Л 6»„ Р»«=я еаза( Л) 6»6 «= я Леа»« т. е. получаем трехмерное хромомагнитное поле В.,= — двЛ6«2 Рассмотрим теперь в качестве примера решения уравнений Вонга в некоторых конфигурациях цветовых полей. 1. Электрическое поле.
ьзбелев случай. Пусть Аз' — — — зЕ, Ехз= сопз(= Е. Для цвета получим уравнение "~а а«в  — = — йе,ьа — А вбьвТ«. аз 2Ь Отсюда Тз=сопз(, т. е. вектор Т прецессирует вокруг третьей оси цветового пространства.
Для координаты г получим 2гьв 2П т — = — йЕТ езв в Откуда т — = — йЕТ /+ сопз1 222 2» в — известное из электродинамики решение с эффективным заря- дом е=йТв. но 1 аь = А»»А»ь. Соответствующим глобальным преобразованием можно ее диагонализовать, т. е. 2. Электрическое поле. Неабелев случай. Пусть А,а "Г' Л, Азз )/Лз Тогда Рз = й'У вЂ” Л,Л2=Е,. Уравнения Вонга имеют вид авх» 2'Х« т — = — зьр»"Т 2222 — а а Е При этом 21х«ах« (ЯТаА2 а) = — КА»айваз А«ьТ« = йр ™Та (3 6 19) Уравнение (3.6А) можно переписать, введя кинетический импульс Р„=р„+йА„(р„— канонический имнульс): хр» Их„ йР: Т.— ". Исцользуя (3.6.19), отсюда находим 2(р»/дэ = О, т. е. канонический импульс является интегралом движения, ра=сопэ(.
Это знач~т, что — — дТ,А»„= сопз1, 2»ах» и так как А,"=сопз1, а Т" ограничено, то и е/х"/2/э также ограничено в отличие от абелева случая, где 2/х"/ь(э линейно растет со временем. В нерелятявнстском пределе (ь//ь(э~И/е(1) находим дР„Т„, ьв нт. — = — йе,ь,А вТ„ где в данном случае Аьь=бь'А22. Тогда для цвета будем иметь ьвТЗ ььТ22 дт, атв ьп Кь ьь=дА22, Т, = сопз(.
Откуда Тз= Т,(0)сов ьь/+Т (0)з(пьь/, Т, =Та(0) соз ьь/ — Т,(0) эьп ььМ. Эти уравнения описывают прецессню вектора цвета вокруг оси х (Т2=сопз1). Для з-координаты имеем авх т — = — йЕ,Т, (Е, = — иАв,Ав,). 2ив Общее решение этого уравнения Агг я=хе+эа1 — — 'Т (1) г г описывает осцилляции вдоль электрического поля плюа переносное движение е постоянной скоростью. Как видно, это движение в корне отличается от движения в таком же электрическом ноле в абелевом случае.
Главной особенностью движения. в неабелевом ноле является переплетение координат и цветовых переменных в уравнениях движения, в результате чего пространственное движение и движение цвета не разделяются, а оказываются связанными друг с другом. 3 Магнитное поле. Абелев случай. Пуеть А»,=6',А», А»=(0, — — уН, — хН, 0). Тогда Р,»т=бг,р»т, В =ба„(0, О, Н). В таком поле согласно уравнениям Вонга Та=сопз1, а для оставшихся компонент цвета получаем"уравнения, которые можно объединить в одно уравнение для их комплексной комбинацнн Т<+гтт! (3.6.20Р где 5<(з) = — ЯА»дх»1<<5. (3.6.20а). Предполагая, что в (<(1) подгруппе неабелевой группы ЯУ(2) возникает обычная абелева электродинамика, положим д равным заряду электрона, д=е, и восстановим обычные единицы Ачь1, счь1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
