Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Каждое из этих состояяий задается дважды поперечным тензором второго ранга (4.2.29) в трехмерном евклидовом пространстве. Можно ввести в рассмотрение и состояния круговой поляризации свободного гравитационного поля, построив предварительно комплексный изотропный 3-вектор: е==(ее+ 1е„), е'=О. (4.2.33) )/2 Состояния круговой поляризации будут описываться трехмерными комплексными тензорами е'ц = з,еь е ц ж (е'ц)*. (4.2.34) Преобразуя выражение (4.2.21) к этим амплитудам, будем иметь Р'= 5 й'(1ф'(й) Р+) ф (й) Г) (й (4.2.35) — комплексные амплитуды правой и левой круговых поляризаций.
Состояния круговой поляризации диагонализуют также квадратичную форму собственного момента количества движения поля. Симметрия лагранжиана (4.2.3) относительно поворотов (псевдоповоротов) в пространстве Минковского х"= =х'+бег""х„ где бв""= — 6(е"" — антисимметричная матрица, приводит на основании теоремы Нетер к закону сохранения полного момента количества движения: М "кч ~ = О, М'ю = (.'и. + 8'е' Здесь первое слагаемое выражается через канонический тензор энергии-импульса и представляет собой орбитальный момент 7 Ае~ х~Р хе(~~ (4.2.38) а второе связано с преобразованием компонент тензора ф„„; ф„з (х') = ф,,е (х) + Ате,,эе бее'фте (4.2.39) и интерпретируется как плотность спинового момента количества движения поля (4.2.40) зФаэ, х Явное выражение для матрицы поворотов получается в результате применения тензорного закона преобразования Ате ~„, =бе,„(бе,Чз„— 6',де„)+ 6'з (бт,т1ч,— бт„т)„,).
(4.2,41) Подставляя это выражение в (4.2.40) для пространственной плотности тензора спина, находим де „ф (фае +ф е,а „~> а,е) ф (фае +ф е,а ф„а,е) (4.2.42) Введем теперь трехмерный псевдовектор спина полевой конфи- гурации Б~=еце) 5',дс(к. (4.2.43) Подставляя в это выражение разложение Фурье поля (4.2.19), в результате исключения продольных компонент и перехода к комплексным амплитудам круговой поляризации будем иметь 8=2) (~ф'(й)~' — ~ф (1с) ~')п~й. (4.2.44) 6~ 123 Нормировка амплитуд соответствует принятой в квантовой теории поля в системе единиц А=с=1, поэтому можно сделать вывод, что амплитуды круговой поляризации 4г" и 4р- соответствуют проекциям спина по и против направления волнового вектора соответственно, причем абсолютное значение спина равно двум. Итак, наложение дополнительных условий Де Дондера — .
Фока (4.2.10) приводит к полному исключению нефизических продольных компонент свободного тензорного поля из выражений для полного 4-импульса и полного спина. Отметим, что с помощью четырех соотношений (4.2.10) удалось исключить восемь лишних компонент. Это означает, что структура соответствующих выражений фактически сама исключает четыре не- физические компоненты. Однако можно указать способ и явного наложения еше четырех условий на тензор поля. Для этого.
заметим, что после фиксации калибровки Де Дондера — Фока (4.2.10) теория остается инвариантной относительно калибровочных преобразований второго рода, также выражаемых соотношением (4.2.1), но с калибровочной функцией $„, удовлетворяющей уравнению Даламбера (4.2.45) ' В силу этого второе калибровочное преобразование не будет изменять ни ранее наложенного условия (4.2.10), ни уравнений поля в форме (4.2.11). Выбирая надлежащим образом ~„можно исключить еще четыре лишние компоненты тензора ф„. (явное выполнение этой процедуры см. в [141). Аналогично осуществляется исключение двух нефизических компонент векторного поля в электродинамике.
Резюмируя изложенное в этом разделе, можно сказать, что удается построить линейную теорию симметричного тензориого поля второго ранга в пространстве Минковского, инвариантную относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований, порождаемых четырьмя калибровочными функциями.
Теория не содержит высших производных, но платой за это являются использование калибровочно-неинвариантных величин в лагранжиане и обусловленная этим зависимость канонического тензора энергии-импульса от выбора калибровки. Однако для локализованных полевых конфигураций можно построить калибровочио-инвариантный полный 4-импульс, в который дают вклад две независимые поперечные проекции тензора поля. В квантовой теории это поле отвечает безмассовой частице спина два.
Отсутствие симметрии относительно конечных калибровочных преобразований служит указанием на приближенный характер теории. Можно предположить, что должна существовать более сложная нелинейная теория, в которой калибровочная симметрия является точной, линеаризация же этой теории и 124 приводит к рассмотренной модели линейного тензорного поля.. Путь к решению этой проблемы указывает рассмотрение взаи- модействия тензорного поля с материальными системами.
$3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С МАТЕРИЕЙ Попытаемся ввести взаимодействие в построенную теорию свободного тензорного поля в пространстве Минковского, сохраняя основные принципы, заложенные ранее. Плотность лагранжиана взаимодействия должна быть скаляром в пространстве Минковского, который при инфинитезимальных калибровочных преобразованиях (4.2.1) изменялся бы не более чем на полную дивергенцию некоторого вектора. Оставаясь в рамках линейной теории, мы должны выбрать этот окаляр пропорциональным А„„причем производные следует исключить, чтобы сохранить основную динамическую структуру теории. Таким образом, лагранжиан взаимодействия должен представлять собой. свертку А„, с некоторым симметричным тензором второго ранга (аитисимметричная часть должна выпадать в силу симметрии А,.), описывающим материальную систему. Из физических соображений следует, что источником гравитационного поля должна быть энергия системы. Перечисленным требованиям удовлетворяет тензор энергии-импульса, и мы приходим к естественному выбору (4.3.1) Действительно, только в этом случае при преобразовании (4.2.!) будем иметь 27„— у- 4Р „+ Х вЂ” (ТИ,4У), д дхи (4.3.3) тем самым калибровочная инвариантность теории относительно инфинитезимальных градиентных преобразований будет сохранена, Отсюда следует, что можно непротиворечивым образом ввести взаимодействие тензориого поля лишь с полной (включающей все взаимодействующие негравитационно подсистемы) материальной системой, при этом константы связи 125 где х — константа взаимодействия.
Простейшее предположение. состоит в том, что Т™ — полный теизор энергии-импульса всех видов материи, это эквивалентно предположению об универсальности гравитационного взаимодействия. Существуют важные предпосылки для этого предположения. Для-того чтобы лагранжиан (4.3.1) при калибровочном преобразовании изме-. нялся бы лишь на полную дивергенцию, необходимо, чтобы источник удовлетворял условию консервативности — = О. (4.3.2) дх~ Можно показать, что и для взаимодействующего тензорного поля условия Де Дондера — Фока (4.2.10) могут быть наложены (в силу условия консервативности (4.3.2) для тензора энергии- импульса материальной системы).
В этой калибровке система уравнений (4.3.4) приобретает простой внд д ркт= мтн.. (4.3.5) 426 гравитационного поля с каждой из подсистем должны совпадать. Если же рассматривается совокупность подсистем, взаимодействующих между собой лишь посредством гравитационных сил, то равенство констант связи удается доказать, привлекая квантовые соображения (низкоэнергетические теоремы). Здесь, однако, мы сразу сталкиваемся с принципиальной трудностью, преодоление которой и является ключевым моментом в построении полной нелинейной теории. Дело в том, что добавление к лагранжиану самой материальной системы лагранжиана взаимодействия (4.3.1) изменяет и уравнения движения этой системы, в результате чего условие консервативности (4.3.2), которое имело место в пренебрежении гравитационными силами, при их учете уже не будет выполняться. Это означает, что рассматривать полную систему уравнений гравитационного поля и материи как самосогласованную нельзя.
Можно попытаться исправить ситуацию, добавляя в лагранжиан взаимодействия тензор энергии-импульса самого гравитационного поля, но при этом помимо трудностей, связанных с его калибровочной неинвариантностью, мы одновременно изменили бы динамику гравитационного поля, т. е. левую часть полевых уравнений (4.3.4). Это в свою очередь потребовало бы снова изменить лагранжиан взаимодействия и т. д. Результирующая теория, таким образом, будет нелинейной, а рассмотренная в цредыдушем разделе картина свободного тензорного поля оказывается лишь ее линейным приближением. Мы также должны помнить, что линейная теория обладает инвариантностью лишь относительно ннфинитезимальных калибровочных преобразований, и необходимо позаботиться, чтобы симметрия полной теории была точной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
