Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Выполняя в (2.12.12) интегрирование по й' с помощью формулы (см. (2.10.11)) 6(У,О) 5(ьч) — 6( о ) 2~о где введено обозначение ее=(й), н записывая элемент объема в пространстве волновых векторов в виде е(оМ=ео'Нои(о, мы получим йо Ло (2л) о ,Ри орли (2.12.13) и. = †'„' = (1, и). Формула (2.12.13) дает выражение для 4-импульса, излучен- ного в единичный телесный угол в направлении и в единичном интервале частот вблизи частоты го за все время движения. Эта величина представляет интерес в тех случаях, когда время, в течение которого ускорение частицы отлично от нуля, относительно мало. К таким задачам, в частности, относится задача об излучении, сопровождающем столкновения заряжен- ных частиц.
Это излучение носит название тормозного. Однако в ряде случаев возникает необходимость вычисления других характеризующих процесс излучения величин, таких, как интенсивность излучения или скорость потери 4-импульса заряженной частицей. Как было показано в $6, 4-импульс, теряемый излучающей системой, в единицу времени равен — = ь)) Тио доо, л» Х ж -5) (2.12.14) где интегрирование ведется по поверхности сферы бесконечно большого радиуса. Чтобы найти явный вид тензора энергии-импульса электро- магнитного поля движущейся заряженной частицы, воспользу- емся выражением (2.11.10) для тензора поля Р'".
Подставляя (2:11.10) в (2.5А), после несложных вычислений мы получаем тензор Т"" в следующем виде: 7'лч — ~ ~юо -1- ( ) 1 Х»Хч -!- (2. 12. 15) 1 (Хичич+ Хчши) (Хиич+ Хчии) — т)ич1 ~ иХ 2,! )е' Поскольку в (2.12.14) интегрирование ведется по сфере бес- конечно большого радиуса, то ненулевой вклад в интеграл да- дут только те члены в (2.12.15), которые иа больших расстояниях убывают кзк г-'. Учитывая, что при г- оо, Х"=га", с точностью до членов г-' (2.12.! 6) и) ео =- — (ччо — (пчч)о) ), л.
йо 4л (2. 12. 19) Это то хорошо известная формула для интенсивности так называемого дипольиого излучения. Излучение обладает осевой симметрией вокруг направления ускорения и максимально в направлении, перпендикулярном чч. В ультрарелятивистском случае, т.е.когда (1 — о') « 1, угловое распределение интенсивности имеет ярко выраженный максимум в направлении мгновенной скорости частицы.
Излучение сосредоточено в узком конусе с раствором -7 ' (это можно показать, исследовзв выражение (2.12.17) в области малых углов). Эта особенность излучения релятивистской частицы приводит к заметной потере импульса, т. е. требует учета силы радиационного трения при исследовании движения релятивистских заряженных частиц.
й 13. СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦА Взаимодействие заряжейной частицы с собственным электромагнитным полем порождает целый ряд трудностей как в классической, так и в квантовой теории. еч лил» ( (лв)ч 1 7 ич ю2+ 4лео (ли)' ~ (ли)о!е Подставляя выражение (2.12.16) в (2.12.14), мы получаем выражение для углового распределения 4-импульса, излучаемого частицей в единицу лабораторного времени Г: ДРи еч ли Р (лм) 1 (2.12.17) При )4=0 соответствующая величина носит название углового распределения интенсивности излучения и обозначается Ы/е(о.
Используя (2.12.17) и переходя к трехмерным обозначениям, мы можем получить для нее следующее выражение: ~! е' (о((л — ч) ъч!р ~ (212 18) Рассмотрим подробнее угловое распределение интенсивности излучения в двух частных случаях. В случае малой скорости частицы, пренебрегая в (2.12.18) членами порядка о по сравнению с единицей,мы получим (2. 13.8) 6 (х — х') = б ((х — х')'), 6 (х — х') = — 2е (г — 1') б ((х — х')'). К'»я с» гл — = еРмс— с,~в = с Ев (2.13.1) (2.13.9) (2.13.2) (2.13.10) (2.13.3) и силы самодействия е»„ 1 сам=еЕ свм (2.13.4) Первая из них связана с определением собственной энергии, т.
е. энергии взаимодействия заряженной частицы с собственным электростатическим полем. Простые соображения, основанные на анализе размерностей, позволяют утверждать, что собственная энергия заряда е, имеющего характерный линейный размер г, пропорциональна е9г и, следовательно, обращается в бесконечность при г О.
Следует отметить, что расходимость собственной энергии точечной частицы сохраняется и в квантовой теория. Если частица движется ускоренно и, следовательно, излучает, возникает проблема правильного учета ее взаимодействия с собственным полем излучения. Действительно, как нам известно, электромагнитное излучение сопровождается потерей импульса. Это приводит к тому, что на частицу действует сила реакции излучения. Процесс излучения влияет на дина-, мику излучающей системы, и это должно найти свое отражение нз уровне динамических уравнений.
Здесь мы воспроизведем вывод хорошо известного в классической электродинамике уравнения Дирака — Лоренца, которое позволяет осуществить такой учет в случае, когда рассматривается движение точечного заряда во внешнем электромагнитном поле Ра". Возьмем за основу полученное в $3 уравнение движения точечного заряда При выводе этого уравнения из вариационного принципа предполагалось, что поле Рв" создается внешними источниками и не зависит от переменных частицы. Чтобы учесть взаимодействие заряда с собственным электромагнитным полем, будем цонимать под Ра" в правой части уравнения (2.13.1) сумму тензоров внешнего Р'" и создаваемого самой частицей Ра"са электромагнитных полей. При этом уравнение принимает вид где |в правой части стоит сумма внешней силы в» Гв= аракс са Потенциал собственною поля частицы находится как запаздывающее решение волнового уравнения С)Ав вм(х) =4яе ) —, ус(х — х(з)) с(з' (2.13,5) г Е»в и с учетом соотношения (2.10.3) может быть записан в виде.
г е»в '1 сам(х) е ~ е» 6в(х х(з )) с(з . (2.1 3.6) В соответствии с этим мы получаем следующее выражение для тензора собственного поля частицы: Ряс (х) = е ) сЬ' ~ — „, дв — —, д"~ 6я(х — х (з')). (2.13.7) В 3 1О мы показали, что запаздывающая функция Грина может быть релятивистски инвариантным образом разбита ньт сумму двух слагаемых; ! 6я(х — х') = 6(х — х') — — 6(х — х'), 2 первое из которых есть полусумма опережающего и запаздывающего решений, а второе — их разность. Ниже мы увидим, что это разбиение позволяет ннвариантным образом разделить два упомннаешнхся в начале параграфа эффекта — перенормировку массы частицы и эффект радиационного торможения.
Для введенных таким образом функций сс и 6 имеют место представления При подстановке (2.13.8) в (2.13.7) следует принять во внимание, что (это нетрудно проверить прямым вычислением) производная разрывная 1рункция е(г — 1') не дает вклада в интеграл. В результате мы получаем следующее выражение для собственного поля частицы: б...= ,Ге»' в»в вс, „= 2е ) сЬ' | — „,, (хя (з) — хв (з')) — —,, х д х(х'(з) — х'(з ))1 —, 6я(Т, Х'), где введены следующие обозначения: Т =1(з) — ((з'), Хи= хв (з) — хя (з').
Как это следует из (2.13.9), функции с», 6 и 6я отличны от нуля только на световом импульсе, т, е. прн Х'=О. Вместе с тем в выражении для силы самодействия (2.13.4) они должны браться в точке, координаты 'которой есть разность координат частицы в моменты собственного времени з и з'. Так как мировая линия частицы является времениподобной, то величина Х'=(х(з) — х(з'))' обращается в нуль только прн з=з'. По- Х'(0) =О, дХв (О) дз" двХв (О) «(е = 2. ,)'р Ь ) = ~(''-" -Б('-' ~М 6(Х'(з")) = б (з'~) = — - (2.13.13) !з"! разности « — 1' совпадает со знаком з". Таким случае, когда аргументом функций 6 и 6 явх(з) — х(з'), для них справедливо представ- (2,13.12) Откуда следует, д (Ге н) ( «(й "~с,) г(гг! ., д Учтем, что знак езбразом, в том .ляется разность .ление 6(з") =— — 6 (з') )з"! (2.13.14) 6(з") =- — 2е(з") — '), =-,': !в'! Из полученных результатов следует, что для вычисления входящего в (2.13.10) интеграла следует разложить выражение в квадратных скобках по степеням з .
При этом ненулевой вклад дают члены до третьего порядка по з" включительно: дхч «(х«« —, (х я(з) — х««(з')) — — „, (хч (з) — х' (з')) = з"в,«дх' двх«««(х«««(вхч1 2 ( дз «(зв «(з дзв (2.13.15) з"з «««(х «(ех«« «(х«« «(ахч ) '1 «(е дзв дз дзв /+ После подстановки разложения (2.13,15) в (2.13.10) учтем, что д ! д — бн = — „— бя, дХв 2з" дз" н воспользуемся равенством «(з") (з') — „= — ( «(з'6 (~) —,, д«« дз" ) дз' этому функции б, б и бя при рассматриваемом значении аргумента должны быть пропорциональны б(з — з'). х1ействительно, рассмотрим аргумент входящих в выражение (2.13.9) Ь-функций как функцию переменной з"=з — з'. Х' (з") = (х (з) — х (з — з"))'. (2.13.11) Вычислим первую и вторую производные этой функции в точке я"=О, получим которое следует из определения производной обобщенной функции (функцин Грина являются хорошо определенными в классе обобщенных функций).
Вычисляя таким образом собственное поле частицы и подставляя его в выражение для силы самодействия (2.13.4), получим двх««2ев 7 дехи «(х«««)вхч ев ч ) «еав ~т дзв + З 1 «(зв + «(з дзв дзв ) (2'13 18) В полученном выражении через Лт обозначен расходящийся интеграл Лт= — ~ «(з ев е б (з) 2 3 (з! Этот член определяется слагаемым 6 в разложении (2.13.8) и, следовательно, должен интерпретироваться как собственная электромагнитная энергия, бесконечная в случае точечной частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
