Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.Ч. Жуковский - Классические поля (1163417), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

При этом мы вновь получаем уравнение (2.10.29), однако входящий в него оператор будет иметь значительно более сложную структуру. 72 (2.10.27) Аналогичное выражение для опережающей функции Грина получается иэ (2.10.27) путем изменения знака у е ~и т. Мы видим, что нахождение запаздывающей функции б» сводится к нахождению функции йр(т, г — г')=е ( " )Ь'(г — г'). (2.10.28)' Дифференцируя (2,10.28) по 1=к/йэ, мы находим, что й) является решением дифференциального уравнения — (дййг=Н йу й-й~ 6 (1 — 1,1 й где 1 — простые нули функции г" (1).

Окончательное выражение имеет вид а" (1') А~в(х) =е я 0,1 (1 1,,1 4 — 114 (2.1 1.4) (2.11.5) 73 $11. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕИПИАЛЫ Решения неоднородных волновых уравнений, которые могут быть получены из (2.10.3) с помощью запаздывающей функции Грина, называются запаздывающими потенциалами. Подставляя выражение для запаздывающей функции Грина (2.10.10) в интеграл (2.10.3) и выполняя интегрирование по времени с помощью б-функции, мы получаем Аиа(х)=~ 1 ( ~" ~' ) й(йх' (2.11.1) 1г — г'! Потенциалы (2.11.1) описывают поле, создаваемое 4-током 1ь(х). Если другие источники отсутствуют, найденное решение описывает полное поле.

В тех случаях, когда на бесконечности имеются другие источники, к потенциалу А'е следует добавить соответствующее решение однородного уравнения. В $10 мы указывали на возможность релятивистски инвариантного выделения из запаздывающей функции Грина слагаемого, являющегося решением однородного волнового уравнения. Соответствующий вклад в интеграл (2.11.1) является решением уравнения Даламбера, т. е, электромагнитной волной, и описывает поле излучения.

Он может быть отличен от нуля только в тех случаях, когда заряженные частицы движутся с ускорением. Это следует из того, что поле статического источника не содержит излучаемой части, и из принципа относительности, в соответствии с которым равномерно и прямолинейно движущийся заряд также не может излучать. Применим общее выражение для запаздывающих потенциалов (2.11.1) для вычисления поля, создаваемого точечной заряженной частицей, совершающей заданное движение.

Для этого удобно записать (2.11.1) в несколько ином виде: Айй (х) — 1 1 (» ) ( +~" г ~) й(4 ' (2112) )г — г') Подставляя явное выражение для 4-плотности тока точечной частицы (2.1.12) в интеграл (2.11.2) и выполняя интегрирование до й(йх', мы получаем е е,и 6(1 — 1+1г — йй(1 11) А"э(х) =е ) —,, ' 1', (2 11,3) — 1 Ж ~ —;(1)~ Последнее интегрирование может быть выполнено с помощью формулы В (2.11.5) введены следующие обозначения: ои=(1, ч), В(Е)=г — г,(Е), п=НЯ.

Момент времени (', при котором берется правая часть (2.11.5), определяется из уравнения е+Р(~') =г. (2.1 1.6) Можно показать, что так как скорость частицы о(1, то это уравнение имеет решение, притом единственное. Полученный результат может быть записан в явно релятивистски инвариаитиом виде. Введем 4-вектор Х = (г — г', г — г,(Е) ). Тогда, учитывая, что 4-скорость частицы й овязавз с го соотношением й=То", из (2.11.5) получаем ии А из(х) =е — ~ (иХ) !. ' (2.1 1.7) Здесь н ниже з' — момент собственного времени частицы, соответствующий запаздывающему моменту 1' лабораторного времени.

Потенциалы (2.11.5) или (2.11.7) носят название потенциалов Лиенара — Вихерта. Воспользовавшись (2.11.7), получим в явном виде тензор электромагнитного поля частицы. При этом удобно исходить из представления 4-потенциала в виде А"а (х) = 2е ) ии(з) 0 (Хо) 6(Х») оЬ (2.11.8) Эквивалентность этого выражения и (2.11.7) легко проверить, если выполнить в (2.11.8) интегрирование по з с помощью формул (2.10.11) и (2.11.4). При вычислении тензора поля Р"" иам понадобится явный вид производной д'А".

Дифференцируя равенство (2.11.8) в учитывая, что производная 0-функции не дает вклада в интеграл, получаем д'Аип(х) =2е ( ии(з) 0(Хо) д»б(Хо) г[з Воспользуемся равенством ЕЗ (Хо) Х д»6 (Хо) 2Х» 6 (Хо) Тогда выражение для производной д'А" приводится к виду ииХ» д'А "п (х) = — 2е ) 0 (Х') — — 6 (Х') г[з, (иХ) йо и после выполнения интегрирования по частям мы получаем д»Аиз(х) =2е ) 0(Хо) 6(Х') — ~ ~![з (2 11 9) 74 Вычисляя этот интеграл, находим Окончательное выражение для тензора электромагнитного поля мы получаем после вычисления производных.

Оно имеет следующий вид: ри»п (х) — г[(Хитр Х»ши) (их) (Хии» вЂ” Х»ии)~~ (иХ)о 'с (иХ) (2.1 1.10) где ое'=е(ох"/Йзо — четырехмерное ускорение частицы. Используя соотношения (2.1.5), (2.11.10) и переходя к трехмерным обозначениям, выпишем явное выражение для напряженностей электрического и магнитного полей: о (! о ) (и»)+о [и [(и — »), »П Яо (! — п»)о й (! — п»)о Н = [пЕ), (2.11.11) где п=ИЯ вЂ” единичный вектор, и все величины в правой части берутся в момент времени 1' (см. (2.11.6)). Мы видим, что в случае, когда ускорение частицы не равно нулю, в выражении для полей появляются члены, убывающие на больших расстояниях как )7-' и, следовательно, создающие конечный поток энергии через сферу бесконечно большого радиуса.

Из (2.11.11) видно, что на беаконечностн Е, Н,и п образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов, при этом [Е[= [Н[. Таким образом, поле приобретает структуру сферической расходящейся волны. Понятно, что именно эти слагаемые описывают электромагнитное излучение заряженной частицы. $12. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЗАРЯЖЕННОИ ЧАСТИИЕИ Получим об!цее выражение для полной потери 4-нмпульса заряженной частицы на электромагнитное излучение. Воспользуемся соотношением (2.6.7), которое представляет собой дифференциальную форму закона сохранения 4-импульса для системы зарядов и электромагнитного поля.

Интегрируя это равенство по некоторому объему [1 в четырехмерном пространстве и преобразуя по теореме Гаусса интеграл по объему Й от дивергенции тензора энергии-импульса электромагннт- 4» 75 (2.12.8) ного поля в интеграл по охватывающей 4-объем трехмерной гиперповерхности Х, мы получим накладывает еще адно ограничение на )ь(й): й»1»(й) = 0.

7'»о г(2 = ~ Р»о), г(»х. (2.12.1) Выберем в качестве 11 область 4-пространства, заключенную между двумя гиперповерхностями 11 — — сопз1 и 1»=сопз1. Тогда, предполагая, что в пространственно подобных направлениях поле достаточно быстро обращается в нуль, мы преобразуем левую часть (2.12.1) к следующему виду: ~ 7»о ггВ = ) 7»о г(зх — ) 7»о ггзх. Е г»=со»»г »1»О»5$ Стоящая в правой части разность есть изменение 4-импульса электромагнитного поля за рассматриваемый промежуток времени. Устремляя 1г- †, »з- оо, мы получаем окончательное выражение для полного 4-импульса, излученного системой зарядов: ЛР»= — ) Р '1;Фх.

(2.12.2) В (2.12.2) интеграл вычисляется по всему четырехмерному пространству. Приведем это выражение к более удобному виду. Разложим тензор поля и четырехмерную плотность тока в интеграл Фурье (2.12.5) При получении этого выражения мы воспользовались тем, что в силу вещественности тока 1„(х) имеет место равенство 1.( — (г) =1".И) Заметим также, что закон сохранения заряда б„г =0 76 е»о(х) = ( Е з е гз Р»о()г) (2.12.3) ,1 (2л)» 1»(х) =1 — е —" 1" ()г'). (2.12.4) ,1 (2л)» Подставим (2.12.3) и (2.!2.4) в (2.12,2) и выполним интегрирование по координатам с помощью соотношения б»()г+lг') = ( — е '""зч'.

3 (2л)» После этого проинтегрируем по волновому 4-вектору й' с по-. мощью б-функции: Выражая тензор поля через 4-потеициал согласно (2.1.21)„ мы получаем, что соответствующие Фурье-образы должны быть связаны соотношением Р»о (й) = — г ()г»Ао ()г) — )гоА» (й)). (2.12.7) В (2.12.8) в качестве А",(й) мы должны подставить Фурье-об- раз запаздывающего решения волнового уравнения, который в соответствии с (2.10.3) можно представить в виде А'я (й) = 6я (/г) 1 ()г), (2.12.9) где 6л()г) — Фурье-образ запаздывающей функции Грина. Таким образом, мы получаем выражение . е е»гг ЛР» = г ~ — я»6я (й) 1'(/г) 1*„(й).

(2.12.10) ,зг (2л)' В 2 10 было показано, что Фурье-образ 6я(й) можно записать в ниде разности 6я (л») = 6 (й) — — 6 (й), 2 (2. 12. 1 1) причем Р 6(й) = — 4л —, зз ' 6(л) = — 8лзге(йо) б(йз), Мы видим, что пуи подстановке выражения (2.12.11) в (2.12.10) вклад от 6(7г) обращается в нуль в силу нечетности соответствующей подынтегральной функции по й'. Ненулевой вклад дает функция 6, т. е. полуразность запаздывающего и опережающего решений.

Учитывая четность подынтегрального выражения как функции переменной йо, мы находим окончательное выражение для полного излученного системой 4-импульса: гхР»= — —,~ г(»ИМ»8 (йо) б()гз) 1""(й)!з (й). (2,12.12» е» Равенство (2.12.7) с учетом (2.12.8) позволяет записать выражение для полной потери 4-импульса в следующем виде: ЬР»= г 1 — л»Ао (»г) 1 "о (7г). (2.12.8) ,) (2л) Форма, в которой представлен результат в (2.12.12), явно указывает иа то, что величина ЬР' является 4-вектором. Поскольку результат представлен в виде интеграла в пространстве волновых 4-векторов, то формула (2.12.12) дает спектрально угловое распределение излучениого 4-и~мпульса. Зипншем ее в более удобном для выполнения конкретных вычислений виде.

Характеристики

Список файлов книги