Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 9
Текст из файла (страница 9)
п. Если в рассматриваемом процессе могут происходить взаимные превращения составляющей е, н остальных составляющих, то уравнение энерг. н можно записать в виде лг,) р( 2 т) ~ ~м,) л! "фДФ 7я» При этой записи использовано преобразование (2.2) для величины л ~~р~ ан ! Последнее слагаемое в полученном уравнении можно подобно предыдущему слагаемому рассматривать как внешний приток тепла с л с массовой скоростью теплоподвода — ~.", де!/!т!; при этом частицы ! материального объема следует считать обладающими лишь одной составляющей внутренней энергии е,.
Влияние на газ внутренних физико- химических энергетических процессов заменяется прн такой трактовке влиянием притока энергии извне. Выражение для скорости нзменения энтропии. Для нахоткдения скорости изменения энтропия 5(1) материального объема используем соотношение (2.2), беря в нем в качестве А энтропию единицы массы з: !!5 !! Г Г !!л — — рзс(т= ) р — дт. а! ЛТ ,) ,) Л! ф~ л" 2,лл %2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 35 Выразим с(з согласно термодинамнческому соотношению (1.4), которое преобразуем к виду ~~Т Йз = ча Йт + 9! ЙГ, где дт — тепло, подводнмое к частице извне, и д,' — выделяющееся в частице некомпенсированное тепло, отнесенные к единице массы и единице времени.
В результате получим — „= 3 т«т- ~т)Й' ,и =,) т ффа Если приток тепла к частице происходит ск зь ее поверхность, то, введя вектор потока тепла эуе) и используя формулу Остроградского — Гаусса, получим для каждой бесконечно малой частицы с объемом Лт и поверхностью а рЛтд,= — ~ п„йо= — ~ Й)ч згЙт= — „'Й!узу Лт а ат (д„— составляющая вектора ту по внешней нормали к поверхности а).
Поэтому можно написать — даЙт= — ~ — Йт= — ~ ~Й(у — + — (зу.атайТ)~Йт= р г щуп г г . ц т,'1 т ) ~ т те ф!ДЭ ф!,Э (' 1 Ч» тз = — ( — (зу нгай Т) Йт — ( — Йо, т тмаа ,У так что — — д,'Йт — ~ — (г1 раЙТ) дт — ~ — 'Йо. ч» а=от )т т ф ДФ ф!ДЭ Р Из найденного выражения для скорости изменения энтропии получаем, в частности, что при отсутствии диссипативных механизмов, приводящих к выделению некомпенсированного тепла, т. е. прн дт = О, и при теплоизолнрованной границе материального объема, т. е. при 4„=0, — — —, (т1 огай Т) Й .
нз г 1 У" Так как согласно второму началу термодинамики энтропия адиабатически изолированного объема не может уменьшаться, то из последнего равенства следует, что скалярное произведение (зу етайТ) всегда отрицательно. э) Вектор и определяет направление [передачи тепла и по величине равен количеству тепла, протекающему в единицу времени через перпендикулярную этому направлению единичную площадку. за гл.
<. основнь<г понятия глзозон диноо<ики Для теплового потока, обусловленного теплопроводностью среды, обычно принимают закон Фурье, согласно которому <у= — инга<(Т, х) О (о< — коэффициент теплопроводности). При этом 05 (' х(ага«Т(о и=,) т фасо Таким образом, энтропия теплоизолированного объема теплопроводной среды не сохраняется неизменной, а возрастает, если при движении в объеме имеется неоднородность температуры.
Этот вывод дает пример процесса, необратимого в целом (для конечного объема среды), при котором изменение состояния каждой частицы можно считать равновесным (<);=О). Законы сохранения для газа в контрольном объеме. Из сформулированных законов сохранения основных физико-механических характеристик материального объема можно получить выражения для изменения этих величии в произвольном контрольном объеме. Эти выражения в ряде случаев более удобны для приложений. Выведем предварительную формулу дифференцирования по времени функции, заданной в виде интеграла по подвижному объему. Пусть величина А (скаляр, вектор) зависит от х и времени 1, так что интеграл 1 А (х, 1) <(т по подвижному объему Уо есть некоторая функция 1.
По определению производной А (х, 1+ Ы) Ит — ~ А (х, 1) Ит — А (х, 1) <(т = 1пп Уо «1 К1 о< о а< Уо (А (х, 1+ьΠ— А (х, 1)) ит+ ~ А(х, <+а<) <<т 11 'Р«+оо-7"«> ю- о Ь< Беря в интеграле ~ А (х, 1+ Л1) <(т при Л1 О в качеTо «+о<>-7л«) стве элемента интегрирования <(т=<(оЬЬ (см. рис. 1.2.2), найдем !пп — ~ А (х, 1+ Ж) Ит 1 о<- о а< %~«.оп-%'«1 1 Р = И<п —,~ А(х, о+И)ЛЬ<Ь = ') А(х, 1)0<(о. „„, а<,) г л е.
ЗлкОны сОхРлнения для кОнечных ОБъемОВ сРеды зт Таким образом, А (х, 1) г(т= ) д от+ ) А0до. 9'э лл (2.6) Если е'(1) есть индивидуальный объем 7"л(1), то — А(х, 1)от= дг Нтй ~ Аол«о. И дА лрлл Р Комбинируя два последних выражения, получаем формулу — ') А(х, 1)г(т= ) А(х, г)дт+ ') А(ол — О)На, (2.7) 2 Рл ф'д .Р— ') Адт= ') А0г(а фа лл и показывает, что изменение суммарного значения величины А в объеме У' связано лишь с перемещением границы этого объема в неизменяющемся во времени поле величины А. Заменив в полученных ранее законах сохранения массы, количества движения, момента количества движения, энергии и в выражении для скорости изменения энтропии производные от интегралов по индивидуальному объему УР* производными от интегралов по неподвижному контрольному объему У' согласно формуле (2.7), получим: — +) ро„гЬ=О, дМ, Г (2.8) — +) рУО сЬ=Г'= — 1 ргегЬ+ Г, РК Г ,и ) л — + ~ (г х р У) о„гЬ=ВЯ = — ) (г х ра) гЬ+оЩ', (2.10) + ~ Р' 2 +Е)о„г(о=)Р'+1з= — ') ро„(Ь+(Р" +Я, (2.11) ~~ +) Рзо "о= ~ ~ (Ч1+йг)г(т.
(2. 12) Ф' (2,9) которая связывает производную интеграла от функции А по инди- ° видуальному объему Ул= и производную интеграла от той же функции по подвижному объему РР(1), совпадающему в момент времени 1 с индивидуальным объемом 7'*(1). Для установившихся движений, когда всюду дА/д1=0, формула (2.6) принимает вид 38 ГЛ.
Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Эти уравнения часто называются уравнениями в балансовой форме или просто уравнениями баланса массы, импульса и т. д. Если движение установившееся, то левые части уравнений баланса (2,8) — (2.12) не содержат слагаемых с производными по времени и представляют собой суммарные потоки соответствующих величин (массы, импульса и т. д.) сквозь неподвижную поверхность у'.
Отметим важную для дальнейшего форму записи уравнения баланса энергии (2.11). Перенеся слагаемое, соответствующее работе сил давления на поверхности д', из правой части этого уравнения в левую„ придадим уравнению баланса энергии в неподвижном объеме У~ следующую форму: — + ') р ( — + е + — ) о„йо = (е" + Я, или ~~ + рЬ,о„до= 1р" + Я. (2.13) Введенная здесь величина Ь„определяемая формулой Ь,= — +е-1 — = — +Ь дй р рв 2 р 2 (2.14) и равная сумме кинетической энергии и теплосодержания единицы массы газа, называется полным теплосодержанием (нли полной энтальпией). Таким образом, (полная) энергия о- объема У' изменяется вследствие потока полного теплосодержання газа сквозь границу объема, вследствие обмена теплом с внешней средой и вследствие работы внешних сил за вычетом работы сил давления на поверхности У'.
В частности, если )Р'=О и Я=О, то полная энергия объема %~ меняется лишь благодаря притоку в объем полного теплосодержания; для установившихся движений й8!й(=О, и, следовательно, суммарный поток полного теплосодержания сквозь поверхность Г равен нулю. Полученные выше уравнения в интегральной форме служат не только основой для вывода дифференциальных уравнений движения газа и для получения соотношений между параметрами газа на поверхностях разрыва газодинамических величин (это будет сделано ниже вЂ Э 7), но используются непосредственно при решении многих задач.
Пример использования законов сохранения при нестационарном течении: заполнение вакуумированного сосуда газом. Замкнутый сосуд объемом 7" окружен газом (рис. 1.2.3); давление газа внутри сосуда пренебрежимо мало по сравнению с давлением р„ газа в окружающем пространстве. При открывании крана, соединяющего внутренность сосуда с окружающей средой, газ извне втекает в сосуд. Кран держат открытым лишь небольшое время („ достаточное э ь злконы сохгхнзння для конечных оьъвмов сееды ЗВ для заполнения сосуда газом и выравнивания давления в нем с внешним давлением, но недостаточное для того, чтобы успел произойти заметный теплообмен в газе и на границе между газом и стенками трубы. После этого кран закрывают.
Требуется определить массу газа в сосуде, его температуру Т непосредственно после закрытия крана, а также давление р, в сосуде после того, как температура газа в нем выравняется с температурой внешней среды Т„. Окружим мысленно сосуд неподвижной замкнутой поверхностью У', достаточно удаленной от него, н применим к газу в контрольном объе! ме внутри поверхности К уравнения баланса ! ! ! массы и энергии, Интегрируя уравнение балан! са массы (2.8) по времени от !=О до получим ! !о зв! 1 ! Рис. 1.2.3 М !, — М, + ~ ( ~ ро„г(!т) г(Г = — 0 о(я Так как вне сосуда состояния газа в момент Г = О и ! = г, одинаковы, то разность М!, — М, равна массе М газа, заполнившего сосуд, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
