Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В хорошем согласии с опытными данными для разных газов можно принять )(о) 1/о. Газ, удовлетворяющий термическому уравнению состояния рп = )сТ, или р = йрТ, (1.1 1) где )с — постоянная величина (газовая постоянная), называется совершенным (термически совершенным) газом *). Если р — молекулярная масса газа, то )т =)с«))ь, где )с„— универсальная газовая постоянная, Я,=8,3144 Дж)(моль К) **).
Уравнение состояния (1.1!) называется уравнением Клапейрона *'*). Задание внутренней энергии как функции температуры в=е(Т) доопределяет конкретную модель совершенного газа. При известной «) Во многих курсах термодннамнкн н статистической физики такой газ называется идеальным. Однако в механике термнн «ндеальный газ» нспользуется для обозначения сплошной среды, у которой р„= — рн !см. с. 14). «') Один моль содержит и граммов вещества.
'»«) Клапейрон (С!ареугоп) Бенуа Поль Эмиль (1799 — 1864) — французскнй физик н инженер, в 1820 — 30 гг, работал в Росснн, был членом-корреспондентом Петербургской академия наук. ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ 22 е(Т) из (1.3) получим выражение для энтропии з /с!пи+) '( ! т ', Г(1. 12) Так как для совершенного газа й=е+ рп= е(Т)+ КТ, то тепло- содержание такого газа есть функция только температуры. Теплоемкости ер и е, совершенного газа, как и их отношение у=ср/с„тоже зависят только от температуры; при этом с — с,=/с. Р Так как /т') О и с, ) О, то всегда у ) 1. Если предположить, что в некотором интервале температур с,= =сонэ(, то и ер —— сопз(, и у=ар/с,=сопз(. Основанная на таком предположении модель совершенного газа с постоянными теплоемкостями (термически и калорически совершенный газ) благодаря своей простоте широко используется в теоретической газовой динамике (иногда эта модель называется политропным газом, см.
с. 162). Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями е=с Т, й=е,7', а энтропия е выражается согласно (1.12) формулой а = /т 1и п+ с 1п Т + сопз!. Отсюда и из (1.11) получаем 3 ср 1и + сопз(у р сопз! ' е «р О т (1.14) е «« — тт Т, I 12 а удельное теплосодержание совершенного газа /т есть й= — ттТ. 1+2 2 Соответственно теплоемкости с, и ср и их отношение у =ср/с, даются «) Ландау Л.
Д., Лифшиц Е. М. Стктнстичссквя физики.— Мл Наука, 1976. Здесь у = ер/е, = сопз!.: Согласно классическому результату статистической механики *) энергия молекул газа, находящегося в равновесном состоянии, распределяется одинаковыми долями по всем степеням свободы возможных движений молекулы; энергия, приходящаяся на одну степень свободы, составляет (в расчете на единицу массы газа) т/,ЙТ.
Таким образом, если / — число степеней свободы движе-.ий молекулы, удельная внутренняя энергия газа е равна 6 ь вввдвние формулами с,= — Р, с = — 1г' (+2 г'+2 Р 2 Таким образом, находящийся в равновесном состоянии совершенный газ с равномерным распределением энергии по степеням свободы является и калорически совершенным — теплоемкости его постоянны. Наименьшее число степеней свободы — три — имеют одноатомные газы (при обычных условиях — гелий Не, неон Хе и др., при высокой температуре — полностью диссоциированные кислород О, азот Х и др,). Для таких газов 7=5!3, и это значение хорошо подтверждается экспериментальными данными.
Газы с очень сложными молекулами имеют большое число внутренних степеней свободы и для них у 1. Таким образом, величина у для совершенных газов заключена в пределах ! (7<5!3. Классический результат статистической механики не дает правильного представления о распределении энергии по колебательным степеням свободы, а при очень низких температурах — и по вращательным степеням свободы молекул. Так, для двухатомной молекулы (О„И„окись углерода СО и др.) число степеней свободы 1=7 (три поступательных, две вращательные — вокруг двух главных осей, две колебательные — симметричные и антисимметричные колебания около центра масс), и согласно классической теории у =- 9(7. Однако более точный результат для теплоемкости двухатомных молекул при постоянном объеме приводит к выражению где 0 — характеристическая колебательная температура (0, для кислорода равна 2273 К, для азота — 3393 К, для СΠ— 3122 К).
Отсюда 5 7 пр Т((0, ~,= — Р у= —, Ч 9 при 7'))0, с„= — )г и у= —. 7' Таким образом, отношение теплоемкостей у двухатомных газов при нормальной температуре с большой точностью равно 7!5 и, постепенно уменьшаясь с ростом температуры, лишь при температуре в несколько тысяч градусов (меньшей, чем температура, при которой существенную роль начинает играть диссоциация) приближается к значению 9/7, следующему из классической теории. У воздуха, представляющего собой в основном смесь двухатомных газов — азота и кислорода, значения у при нормальных условиях близки к 1,40.
Уравнение (1.14) при з = сопз1 есть уравнение адиабаты Пуассона для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В связи 24 ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ с этим величина 7 для такого газа называется также показателем адиабаты; она является важной безразмерной характеристикой совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Пользуясь величиной 7, выражениям (1.13) для е и Й можно придать вид г= — —, Й= — ' т — 1р' т — ! р' (1.15) Для скорости звука в совершенном газе с постоянными теплоемкостями с помощью (1.7) и (1.14) получаем выражение а=~у~, (! .
16) Г которое с использованием уравнения состояния (1.!1) можно преобразовать к следующему виду: г = У~В Т = У у н0 т. Скорость звука есть в этом случае функция только температуры. У реальных газов, близких к модели совершенного газа, вследствие различия у и р скорости звука при одинаковой температуре различны. Так, при температуре 300 К и нормальном давлении скорость звука в водороде (7 = 1,405) равна 1320 м/с, в гелии (7= 1,667) — 1020 м/с, в воздухе (7= 1,400) — 347 м!с, а в тяжелом газе — шестифтористом уране (зР, (7= 1,200) — всего 92,4 м!с. Внутреннюю энергию и теплосодержание совершенного газа (см. (1.15) и (1.16)) можно выразить через скорость звука: аа аз е= Й= —.
(!. !7) т(т-!) ' т-!' Отсюда да'!дй=у — 1, так что согласно последнему из равенств (1.10) для совершенного газа с постоянными теплоемкостями фундаментальный термодинамический параметр Г постоянен и равен 7. Из (1.16) и (1.!4) следует, что в таком газе а 0 при р 0 и з=сопз!. Многие основные закономерности движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями сохраняются н для двухпараметрических сред с более общими термодинамическими свойствами, если только задающие эти среды функции е(о, з) или Й(р, з) удовлетворяют некоторым ограничениям. Большая часть этих ограничений вполне естественна с физической точки зрения. Такие среды принято называть нормальными газами.
Определения нормального газа несколько отличаются у различных авторов, в связи с чем несколько отличается и совокупность свойств совершенного газа с постоянными теплоемкостями, которая сохраняется и для нормального газа. Будем называть нормальным газом двухпараметрическую среду, для которой характеризующая ее функция Й(р, з) обладает следующими свойствами. $ Ь ВВЕДЕНИЕ 1 Функция Ь(р, з) определена и трижды непрерывно дифферен- цируема в области 0 < р < оо, з <з< з, (может быть з = — оо, Е+ = оо) 2. Всюду в указанной области функция й(р, з) и ее производные удовлетворяют неравенствам: а) й)0, б) Ьр — — о>0, Ь,=Т)0, в) й =о <О, йр,=о,=Т >О, г) Ьррр — — орр > 0 (или согласно (1.9) Г ) — 1).
(1.18) 3. Функция Ь(р, з) удовлетворяет предельным соотношениям !Ипй(р, з)=0, !Ипй(р, з)=0, !Нпй(р, з) =оо, (1.19) р- О 3 $ 5-М р .а ее производная Ь, = о †соотношени !пп йр (р, з) = оо, 11ш й (р, з) = О. р О р ОР (1.20) ьрр г') (1.21) эквивалентным условию д'р!др'(,> О. (Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями получаем, что условие г) требует выполнения неравенства у: — 1, а условие г') †неравенст у ) 1.) Неравенства (1.18) определяют простые свойства адиабат Пуассона, т. е. кривых з= сопз1, нормального газа в плоскости о, р (точнее †квадранте о > О, р ) 0; рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
