Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В уравнении Тэта В слабо зависит от энтропии (обычно этой зависимостью пренебрегают и считают В константой), а р, есть плотность жидкости, экстраполированная на нулевое давление (так как величина В весьма велика сравнительно с нормальным давлением, то можно считать, что р, есть плотность жидкости при нормальном давлении).
Величина у в уравнении Тэта не есть отношение теплоемкостей; такое обозначение показателя степени принято для того, чтобы подчеркнуть совпадение по форме уравнения Тэта с уравнением адиабаты Пуассона для совершенного газа при замене в последнем величины р на р + В. ГЛ.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Таблица 1.2 В, «го/смс рс. кг/мг Жидкость Вода Четыреххлориетыа углерод Ртуть Гепган Силикон 3000 1000 3000 654 597 7,15 9,35 8,2 10,6 9,1 1000 1600 13 500 684 760 В табл. 1.2 приведены значения параметров в уравнении Тэта для некоторых жидкостей (с энтропией, близкой к ее значениям при нормальных давлении и температуре).
й 2. Законы сохранения для конечных объемов среды (интегральные законы сохранения) Кннематические характеристики движущейся среды. Рассмотрим движение среды, т. е. изменение со временем положения частиц среды и их параметров состояния, в некоторой области трехмерного пространства векторов (точек) х. Частицы среды движутся со скоростью у (х, 1), так что движение каждой частицы описывается уравнением — = У(Х,ег), или — в декартовой системе координат х(х, у, з) — системой скалярных уравнений с(х Фу дг и(х, у, г, 1) р(х, у, г, 1) в(х, у, г, 1) где и, о, 1 — составляющие вектора У вдоль осей х, у, г соответственно. Если в рассматриваемой области пространства поле скорости у'(х, ()! непрерывно дифференцируемо (достаточно непрерывности и выполнения условий Липшица по х), то интегральные кривые выписанной системы уравнений — траектории частиц — покрывают область однократно, т.
е. не пересекаясь. Введем для функций, зависящих от координат л' и от времени оператор дифференцирования (производную) по времени,"вдоль траектории частицы д,д д д д — = — + и г — + и — + н1 — = — + ( Ф' афтаб). Щ дг 1дх ду идг д1 Здесь ( ) означает скалярное произведение величин, стоящих в скобках, Введенный оператор называется полной или индивидуальной (иногда — субстанциональной) производной.
Полная производная ОА (х, ()/йг есть скорость изменения во времени величины А в частице. $2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 31 Не опасаясь путаницы, этот же знак й1аг мы будем использовать, как обычно, при дифференцировании по1 функций, зависящих только от времени. Целью построения модели, используемой в газовой динамике, является установление математических соотношений, позволяющих найти распределение параметров газа в занятой им области пространства при различных конкретных условиях движения.
Для достижения этой цели обратимся к общим законам сохранения массы, количества движения, момента количества движения и энергии и применим их к конечным объемам газа. я(е+ль1 Рис. 1.2.1 Рис. 1.2.2 Введем понятия материального объема и контрольного объема, Выделенный в газе объем 7"', состоящий из 'одних и тех же частиц, называется материальным объемом (или индивидуальным объемом).
Рис. 1.2.1 иллюстрирует последовательные !положения в пространстве в моменты времени 1„ 1 и 1, материального объема (заштрихован) при его движении. Контрольным объемом называется выделенный в пространстве объем 7" с границей У вЂ” контрольной поверхностью. Объем 7" может быть неподвижным, но в общем случае может перемещаться в пространстве и деформироваться; объем УО не связан с газом н может частично выходить за пределы занятой газом части пространства.
На рис. 1.2.1 штрихами обозначена поверхность а". контрольного объема УР в момент времени 1. Часть контрольной поверхности д' совпадает в этот момент с частью поверхности движущегося материального объема УО*(1). Как и материальный объем УР', контрольный объем УР может быть неодносвязным. Дадим кинематическую характеристику перемещения в пространстве произвольной поверхности.
На рис. 1.2.2 изображена часть поверхности д' объема TР в моменты времени 1 и 1+ И. На площадке йо поверхности а. (1) взята внешняя к объему УР(1) нормаль и. Обозначим длину отрезка этой нормали между поверхностями а'(1) и У(1+ И) через ЛЬ. Величина В = Игп (Ьй/Ж) называется скоростью А1- О перемеи(ения в пространстве поверхности а". в рассматриваемой точке. гл. ь основныв понятия глзовон динлмики 32 Если У" (~) есть индивидуальный объем 7"'(~), то для него величина О равна нормальной к г" составляющей скорости о„частиц газа, образующих поверхность У.
Основные физико-механические характеристики конечного объема сплошной среды. Объем У~, занятый сплошной средой, обладаетмассой М, количеством движения (или импульсом) К, моментом количества движения (моментом импульса) Ж относительно выбранной точки, полной энергией (или просто энергией) ку и энтропией 5. Эти величины определяются интегралами (Нт — элемент объема У') М =- ~ р Нт, К = ~ р ~ Нт, ЗМ =- ~ (г х р Р) Нт, 7' Ф~ г= ~р(~ ~Н, З= ~р К. Фз уа В выражении для ЧМ через г обозначен радиус-вектор частиц, отсчитываемый от точки, относительно которой определяется момент количества движения объема -7".
При написании выражений для 8 и Я сделано предположение об аддитивности внутренней энергии и энтропии по массе частиц, составляющих материальный объем. Распределения в пространстве величин, входящих под знаки интегралов, могут не быть непрерывными и тем более гладкими; допустимы интегрируемые особенности этих величин в точках или вдоль линий и поверхностей в пространстве. Закон сохранения массы. В ньютоновской механике фундаментальным законом является свойство любого материального объема сохранять свою массу во времени. Следовательно, производная по времени 1 от массы М(() материального объема равна нулю: — ') рНт=О. (2А) ф'ДФ Интегрируя это соотношение по времени от момента (, до момента (, получим Отметим„это для любой аддитивной величины А (скаляра или вектора), определенной для частиц среды, вследствие сохранения массы каждой частицы и массы всего материального объема справедливо соотношение — ~ рАНт= — „, ~ АНт=~ — „, Нт= ~ р —,Нт, (2.2) "У" М м чз» где Нш= рНт — элемент массы в объеме 9'* и НАуН( — полная производная по времени от А.
Фк злконы сохглнвния для конечных озъемов овады зЗ Закон сохранения количества движения (второй закон Ньютона) и закон сохранения момента количества движения. Основным динамическим соотношением механики сплошной среды является закон сохранения количества движения. Согласно этому закону скорость изменения во времени количества движения К(~) любого материального объема равна главному вектору Е всех действующих на него внешних сил — массовых и поверхностных: — рМ'от= г = — ') рпдо+Р'. (2.3) Здесь в правой части из гт выделен явно интеграл сил давления, действующих по поверхности г" объема У'*. В проинтегрированной по времени форме соотношение (2.3) имеет вид с ~ рК(т') — ( ~ р)ГЫ =~Кб( 9"' /с ~7"' (ь и называется уравнением импульсов, так как его правая часть пред ставляет собой импульс внешних снл, действующих на материальный объем в течение времени от Г, до г.
Стоящее под знаком интеграла выражение для внешних сил не обязательно непрерывно по времени и может иметь при некоторых значениях Г особенности, приводящие к мгновенным конечным изменениям импульса внешних сил, а следовательно, и количества движения материального объема. В общем случае независимо от закона сохранения количества движения формулируется закон сохранения момента количества движения.
Согласно этому закону скорость изменения момента количества движения Ы(г) произвольного материального объема равна сумме моментов ~К, действующих на этот объем внешних массовых и поверхностных сил: д, ') (гхрУ)г(т=Щ= — ') (гхра)гЬ+,М'. (2.4) фЯЭ ,У В правой части из еЯ выделен явно момент от распределенных по поверхности г" сил давления. Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики). Согласно закону сохранения энергии скорость изменения во времени полной энергии 8 (() материального объема равна сумме отнесенной к единице времени работы (мощности) У действующих на объем внешних массовых и поверхностных сил и притока извне к объему тепла и других видов энергии немеханической природы Я: — ') р ('.— + е) пт = )Р+ Я = — ~ ро„бо+ Ф + Я.
(2.5) Ф~' 'У Вновь здесь из работы )Р' выделена явно работа сил давления, действующих на поверхность У. Для конечного промежутка времени из 2 г. г. черимя 34 ГЛ. !. ОСНОЗНЫВ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОН ДИНАМИКИ уравнения (2.5) получаем Как и в уравнении импульсов, выражение под знаком интеграла в правой части может иметь особенности, приводящие в некоторые моменты времени к мгновенному изменению энергии материального объема на конечную величину.
Отметим следующее обстоятельство, которое полезно иметь в виду прн использовании уравнения энергии. Внутренняя энергия среды может быть суммой двух или более составляющих е = с + ~~~ е!, ! где е,— тепловая энергия, т. е. кинетическая энергия хаотического движения молекул газа, а! — другие составляющие внутренней энергии, например, энергия, связанная с относительными движениями составляющих молекулу частиц — атомов, энергия окружающих их электронов, энергия химических связей атомов в молекуле и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
