Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Дадим некоторые необходимые для дальнейшего определения. Пусть известна скорость У частицы газа и ее термодннамическое состояние, в частности, теплосодержание й и энтропия в. Согласно данному ранее определению (2.!4) найдем полное теплосодержание й, газа в частице как сумму й,=У»/2+ й, Введем условное термодинамическое состояние рассматриваемой частицы с теплосодержанием й, и с той же энтропией з, что и в действительном состоянии.
Назовем это условное состояние состоянием торможения. Определив теплосодержание и энтропию, найдем остальные термодинамические величины в состоянии торможения: давление, плотность, температуру и др. Параметры газа в состоянии торможения (или просто — параметры торможения) отметим нижним индексом «нуль», например р„— давление торможения (его принято называть также полным давлением). По определению, теплосодержание торможения й, совпадает с полным теплосодержанием, а энтропия торможения — с энтропией з.
Очевидно, что у покоящегося газа состояние торможения и действительное термодинамическое состояние тождественны, у движущегося газа эти состояния различны. Покажем, что полное давление движущегося газа всегда больше действительного давления и что в случае нормального газа то же справедливо для температуры и плотности.
Действительно, из определения полного теплосодержания как суммы й,=й+ У»(2 и определения параметров торможения следует й,=й(р„в) > й(р, з). Так как йе=в > О, то всегда р, > р. Отсюда и из того, что Т=й,(р, з), в=йе(р, з) и Т,=й,(р„з)„и,=й„(р„в), получаем, что при йр, > О, й„р ( О (два из условий, входящих в определение нормального газа) всегда Т, > Т, р,= 1!и, > р=!дх При установившихся адиабатических обратимых движениях газа й, = сопз1 и з = сопз1; поэтому при таких движениях параметры торможения в частицах газа сохраняются неизменными, несмотря на изменение скорости и действительного термодинамического состояния частиц.
Таким образом, можно дать следующее наглядное определение: параметры торможения — это значения термодинамических величин, которые имел бы газ в частице после адиабатического обратимого замедления ее при установившемся течении без действия массовых снл до скорости У=О. Пользуясь обратимостью предполагаемого процесса замедления частицы, можно определить параметры торможения по-иному — как значения термодинамических величин в резервуаре с покоящимся газом, при установившемся адиабатическом обратимом истечении из которого частица может иметь данные значения скорости и термодинамических параметров. Р 3.
УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ (3.22) — = ~1 — — ~ д7 — дд. ЕРо ~ Тот То р, (, т) т При нарушении предположений об адиабатичности и обратимости процесса в установившемся течении газа без действия внешних сил параметры торможения изменяются. Полное теплосодержание изменяется согласно уравнению (3.17) с ~и'=О, а энтропия — согласно соотношению (3.18). Эти соотношения связывают параметры состояния в действительном движении.
Наряду с ними рассмотрим связь между параметрами торможения: Т,с(З=М,— Ро Отсюда при адиабатических движениях — =Т,е(з, Еро Ро т. е. полное давление газа в течениях с необратимыми процессами уменьшается: происходят, как говорят, потери полного давления или просто — потери. Происхождение этого термина можно уяснить из следующего.
Рассмотрим (рис. !.3.2) установившееся адиабатическое перетекание газа через трубку из одного большого резервуара (пусть это будет левый резервуар) в другой. Вдали от соединяющей трубки газ в РезеРвУаРах можно считать покоЯ- В "Р "оо щимся. Согласно предыдущему, если "' о' Рочр состояние текущего газа изменяется обратимо, то два термодинамических параметра газа — теплосодержание и Рис.
1.3.2 энтропия †буд в правом резервуаре теми же, что и в левом. Таким образом, термодинамическое состояние газа в обоих резервуарах одно и то же и, в частности, температура и давление в них одинаковы. Если процесс течения необратим и энтропия газа при течении возрастает, то давление в правом сосуде будет ниже давления в левом сосуде. Таким образом, после необратимого перетекания газа из левого сосуда в правый произошла потеря технической ценности запасенного газа †давлен в нем упало. Рассмотренный пример показывает также, что в согласии с нашим интуитивным представлением газ не может стационарно перетекать из резервуара с меньшим давлением в резервуар с большим давлением. Однако это интуитивное представление не оправдывается в общем случае неадиабатического течения: при наличии теплообмена с внешней средой газ может течь в резервуар с более высоким давлением, Для неадиабатических течений, заменив в (3.22) дз согласно (1.4) и полагая ой, =е(д, получим гл ~ основныв понятия глзовои динлмики Разность 1 — Т,/Т всегда отрицательна, так как согласно доказанному ранее температура торможения выше действительной температуры газа.
Поэтому прн подводе тепла к газу в установившемся течении полное давление всегда падает, отводом же тегла можно полное давление увеличить. В формуле Ь+ уь/2 =6, вместо величины й, можно ввести равную ей величину )",„/2 и трактовать г',„как наибольшее значение скорости, которое можно получить, если газ с данным состоянием ускорять в трубке при установившемся адиабатическом течении в ней. При таком значении скорости теплосодержание обращается в нуль; вместе с ним обращается в нуль давление. Скорость )г,„=-У26, называется максимальной скоростью установившегося адиабатического течения газа или скоростью установившегося адиабатического истечения газа в вакуум. Для совершенного газа теплосодержание есть функция только температуры, поэтому максимальная скорость есть в этом случае функция только температуры торможения, Если теплоемкости совершенного газа постоянны, то 1 так ) 2сгТо. Для воздуха при Т,=293 К независимо от давления г',„=767 м/с.
В общем случае нормального газа максимальная скорость зависит не только от температуры торможения, но и от давления газа в этом состоянии. Отметим, что в состоянии покоя полная энергия газа совпадает с его внутренней энергией е,. При У=У,„полная энергия газа есть его кинетическая энергия Р'*,„/2 =аь=в,+ р,/р, > е,.
Таким образом, при установившемся адиабатическом разгоне газа из состояния покоя до максимальной скорости газ приобретает за счет работы сил давления дополнительную энергию р,/р, (для совершенного газа )/',„(2=срТ, = ус,Т,= уе„т, е. при таком разгоне энергия газа возрастает в 7 раз). Понятие максимальной скорости можно обобщить и на случаи неадиабатических движений газа. Для этого запишем интеграл Бернулли (3.21) в виде Ро в Если связь между плотностью и давлением при течении газа не является адиабатической, но при р О интеграл в правой части Р. сходится, то существует конечная максимальная скорость— Гвр о ) в противном случае Г,„= оо.
Так, при изотермическом течении $ 3. устАноВиВшиеся движения ГАЗА В тРуБке 53 совершенного газа р= ЙрТ, (Т,=сопз!) и — = РТ, !п р', так что )т,„= оо. То, что газ в этом случае может приобретать сколь угодно большую скорость, связано с подводом к газу при его расширении тепла извне.
Скорость звука, число Маха, критические параметры. Как говорилось в 9 1, в газовой динамике важную роль играет скорость звука а — термодинамический параметр, который определяется формулой (1.7) Если скорость частицы газа )т меньше скорости звука а в частице, то скорость называется дозвуковой; при )г) а скорость называется сверхзвуковой.
Отношение М=)7(а является фундаментальным безразмерным параметром в газовой динамике я называется числом Маха »). В ряде случаев величину а удобно считать одним из термодинамических параметров, характеризующих состояние среды. Примем теплосодержание й за функцию энтропии з и скорости звука а, т. е. й = й(Б, а); тогда из определения полного теплосодержания следует: (3.23) — +й(Б, а)=й,.
При установившемся аднабатическом обратимом движении, когда й, и з — константы, это соотношение связывает скорость газа )7 и скорость звука а в нем. Из монотонной зависимости й от а (см. (1.10)) следует, что с ростом скорости 1' скорость звука а уменьшается. В заторможенном состоянии, т. е, при )'=О, скорость звука максимальна: а=а,; при 1' =)т,„й=О и а=О. В диапазоне О ()т ()г,„существует единственное состояние, при котором скорость и скорость звука совпадают, т. е.
)7=а=)т„г. Это состояние газа называется критическим, а соответствующие ему значения скорости )г„з и термодинамических параметров р„, р„, Т„,— критическими значениями. Очевидно„что при критическом состоянии М= М„„= 1. ') Мах (Масп) Эрнст (1838 — 19!6) — австрийский физик и философ, автор трудов по основан механики, физической акустике, оптике, газовой динамике.
Экспериментально подтвердил существование ударных волн в воздухе при взрывах и при сверхзвуковом обтекании тел. Название «число Маха» и обозначение М для величины У/о предложил в 1929 г. Я. Аккерет (см. с. 357 и 363). В литературе встречалось также обозначение Ва †чис Берстоу (Ва)гз(от«), Отметим, что величиной У!о пользовался еще русский ученый †артиллерист Николай Владимирович Маиевский (1823 †!892), основатель русской научной школы баллистики.
ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Связь между параметрами газа в данном сечении трубки и расходом. Рассмотрим выражение для расхода газа б = р1М в некотором сечении трубки. Отнесенная к единице площади сечения величина расхода б!Т= рт' называется удельным расходом или плотностью потока массы. Пользуясь определением полного теплосодержания газа, напишем — = рУ= рУ 2(й,— й) б рТ (3.24) Здесь использованы соотношения (1,6) йр —— — —, й, = Т и (1.7) ! ар! Приведем некоторые следствия полученного выражения: 1) если сохранять неизменными площадь сечения, полное тепло- содержание и давление газа (!йТ=О, с(й,=О, др=О), то !!О/!(З(0 (йр, ) 0 для нормального газа), т.
е. расход газа уменьшается с ростом е!о энтропии; 2) при сохранении площади сечения, расхода и полного тепло- содержания (дую= О, д О =-О, дй, = 0) дрй(з имеет тот же знак, что и М' — 1: с ростом энтропии давление газа падает при дозвуковой скорости и увеличивается при сверхзвуковой; уменьшение энтропии влияет на давление противоположным образом; 3) при сохранении расхода, полного теплосодержания и энтропии (д6=0, с(й,=О, с(З=О) (! — М') —, =— ьр Иди р$~~ 4г ' (3.26) т.
е. в этих условиях при дозвуковой скорости площадь сечения трубки и давление газа изменяются в одном направлении, а при сверхзвуковой скорости их изменения противоположны по знаку. Некоторые другие выводы из (3.25) будут сделаны в дальнейшем. Остановимся подробнее на зависимости удельного расхода рУ от давления р во всем диапазоне его изменения 0 <р(р, при постоянных й, и з. При р=О и при р=р, функция р)Г обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
