Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1.3.14) из поверхности поперечных сечений канала К, и г„ заключенных между ними участков стенок канала и омываемой газом поверхности рабочего колеса. Применим к газу внутри контрольной поверхности закон сохранения момента количества движения (2.4) в виде д ~ (гхрУ)г(т+ ) (гхрУ)(п„— П)!(о=~/(. (341) ~'д ;и Т 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 69 Здесь ф — суммарный момент всех действующих на газ внутри контрольной поверхности внешних сил, г — радиус-вектор частицы газа, отсчитываемый от некоторой точки оси канала.
Так как распределения параметров газа в сечении г", осесимметричны, то движение газа в системе координат, связанной с вращающимся контрольным объемом, будет установившимся, и, следовательно, интеграл по объему в выражении (3.41) не будет зависеть от времени, так что Щ = ~ (У Х р У ) (с„— Р) ГЬ. Представим момент ф в виде суммы у у~к> 1 асс (3.42) момента ВЯ'"', действующего на газ со стороны движущейся поверхности рабочего колеса, и момента ~ф'"' — со стороны остальной части границы г" (внешние массовые силы не учитываются). В проекции на направление оси канала из выражения (3.42) получим ВЯ = (, грс„о„Но, У~+ У» йг = Гс ~ грс,с„йт — фм'ш, У, У где 11Р— работа, подводимая к газу рабочим колесом в единицу времени.
Если не учитывать действия на газ касательных к поверхности сил трекия на стенках канала и в сечениях г", и У„ то Щм' =О. Действительно, эти части контрольной поверхности являются поверхностями вращения вокруг оси канала; поэтому нормальные к ним силы не дают момента относительно оси. Выражение (3 43) прн еф~"> = О можно записать следующим образом: с (Аг - — Г ш ~ [(гс„).,— (гс,),1 Г(гл. (3.44) о Здесь 6 — полный массовый расход газа через канал, Г(щ — масса газа, протекающего в единицу времени через соответствующие элементы площади Йт, и ГЫ. поверхности сечений г", и г",; в силу закона сохранения массы '(гп = РГ"з» '(о1 = Р1с2 ГВГУ где г — расстояние до оси вращения, с„— окружная (трансверсальная) составляющая абсолютной скорости газа.
Интегрирование распространяется лишь на поверхность сечений у', и г„так как на остальной части поверхности г имеем и„— Р = О. Умножая обе части этого равенства на угловую скорость вращения рабочего колеса а, найдем ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАВ!ИКИ Формуле (3.44) можно придать вид )к' = со ((гс„)з — (гс„),1* 6, где знак " обозначает среднее по массе протекающего газа значение разности в квадратных скобках.
В таком виде формула для величины работы колеса лопаточной машины была получена Эйлером *) и носит его имя. Применим теперь к газу в контрольном объеме У"' закон сохранения энергии. Если пренебречь теплообменом между газом и окружающими его поверхностями и работой сил трения в сечениях д'т и У'и то, рассуждая аналогично предыдущему, получим а )Р = ~ йарп„еЬ, илн )Р = ~ (й„— й„) с(гп. (3.45) нею «'ие о Опять, пользуясь средним значением, можно написать Чу =(йо,— й„)* ст, или, в расчете на единицу массы протекающего газа, Ш = йаа — йа,. Приравнивая правые части выражений (3.44) и (3.45) для раооты колеса лопаточной машины )р', получим соотношение с ~ (()!а+ отсс,)х — (й, + гогс,),1г(т =О, о или (й, + свгс,)*, = (й, + согс„);. (3.46) Это выражение позволяет определить й, "по параметрам газа перед колесом и окружной скорости газа за ним.
Без учета трения и теплообмена газа между отдельными его струйкпми в установившемся относительном движении соотношение (3.46) справедливо не только в среднем (по массе газа), но и для каждой трубки тока. Оно выражает собой закон изменения полного теплосодержания с учетом работы массовой силы инерции в подвижной (вращающейся) системе координат. й 4. Течения с разрывами В предыдущем параграфе прн изучении распределений параметров газа в установившихся течениях в трубке предполагалось, что эти распределения непрерывны. Как следует из дальнейшего, такое пред- ") Эйлер (Еп!ег) Леонард (1707 — 1783), швейцарец по происхождению, крупнейший математик, механик, физик и астроном, один из основателей теоретической механики жидкости и газа. Работал в России (в 1727 — 1741 и 1766 — 1783 гг., в промежутке — в Берлине), бмл членом Петербургской академии наук.
$4. Течения с РАЭРыВАми 71 положение ограничивает возможные виды движений и не позволяет получить в рамках изучаемых моделей газа решение многих важных задач. В связи с этим рассмотрим вопрос о возможности существования разрывов в распределениях параметров движущегося в трубке газа и изучим основные свойства таких разрывов *). Для удобства выпишем вновь при тех же предположениях, что и в 3 3, соотношения между параметрами газа в двух сечениях трубки, следующие из законов сохранения массы, импульса и энергии. Уравнение сохранения массы возьмем в виде (3.1) рог = р,)','т, — 1 рп„сЬ. При использовании уравнения импульсов (3.3) ось трубки будем считать прямолинейной, и уравнение импульсов запишем в проекции на эту осьс (р-', ррв)К--(р4+р,р',)еу'т — ~ рио„сЬ+ ~ р)„'"Ж,+Х.
(4.2) Рр фо Здесь Х вЂ” проекция на ось трубки сил, действующих на газ со стороны боковой поверхности трубки (считаем, что внутри трубки нет помещенных в иее тел). Уравнение энергии возьмем в виде (3.7): Упростим написанные соотношения, рассматривая сначала случай, когда притока массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки между выбранными сечениями нет, массовые силы отсутствуют и газ идеален; будем считать также, что трубка цилиндрическая. При таких условиях в правых частях соотношений (4.!) — (4.3) отличны от нуля лишь первые слагаемые; с учетом того, что К=:г"т„эти соотношения примут вид Ф'= рР., р+ рр'=р,+ ртрт, ре — +6= — '+ й,. 2 2 (4.4) ') В более общем виде этот вопрос будет иэложеи в 4 7.
При получении последнего соотношения — уравнения энергии— принято, что расход газа через трубку не равен нулю. Очевидно, что при заданных параметрах газа в одном из сечений (например, в левом) параметры газа во втором сечении согласно этой системе соотношений могут иметь те же значения: )7=!'„р=- р„ р=- р„)4=й,. Но оказывается, что в сжимаемой среде они могут иметь и другие значения! 72 ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Покажем это сначала для совершенного газа с постоянными теп лоем костями. Для такого газа 6= — —. Подставим выражения для !г и й, т Р т †! р' в третье соотношение (4.4) и исключим из него с помон,ью первых двух равенств плотность р и давление р. В результате получим квадратное уравнение для определения У: р'+ т Р+р У' — р У !'У 1", т 2 т — ! р~р, 2 т — 1 р1' Решив его, найдем тр (1 тр )~ Верхний знак перед круглой скобкой дает упоминавшееся очевидное решение 1'= У,.
Нижнему знаку соответствует второе решение. Используя его и первые два уравнения системы (4.4), представим эту систему в разрешенном относительно У, р, р виде: 7+1 ~ м ( т+1 (7+1! м (4 — =1+ — (М,— 1) = — М'; — — ' р 27 з 27 е т Р т+1 ' т+! ' т+!' Здесь М'; = Р— '' . тр1 Итак, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, действительно, существует решение системы (4.4), отличное от очевидного решения У= У„р=р„р=р,.
Обратим теперь внимание на то, что в соотношения (4.4) не входят слагаемые, зависящие от расстояния между сечениями трубки. Будем это расстояние уменьшать, приближая правое сечение к левому, в котором параметры газа известны, так, что в пределе оба сечения сольются в одно. Тогда в этом сечении возможен разрыв параметров газа: газ слева втекает в сечение со значениями параметров Уи рн рО а вытекает из него вправо с другими значениями параметров 1', р, р; для совершенного газа с постоянными течлоемкостями эти значения определены формулами (4.5). При неограниченном сближении сечений условия (4.4) будут выполняться и тогда, когда исходные соотношения (4.!) — (4.3) не упрощены, т. е. когда есть приток массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки, имеются массовые силы, газ в области между сечениями не идеален, трубка не цилиндрическая и ее ось не прямолинейна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
