Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Нужно лишь предположить, что прн уменьшении расстоя ния между сечениями до нуля, т, е, при стремлении к нулю объема "У"' между сечениями и площади Г", боковой поверхности между ними, стремятся к нулю и соответствующие объемные и поверхностные интегралы в правых частях уравнений (4.1) — (4.3). Инымн сло- $4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 73 вами, устовпя (4.4) на разрыве справедливы, если в сечении разрыва отсутствуют сосредоточенные внешние воздействия (сосредоточенный в сечении приток массы, имеющей некоторые импул>с и теплосодержание, сосредоточенные массовые и поверхностные силы, сообщающие газу конечный импульс и совершающие над ним конечную работу., сосредоточенный приток тепла); в противном случае эти сосредоточенные воздействия должны быть учтены и условия (4.4) соответствующим образом изменены, Разумеется, соотношения (4.4) справедливы лишь прп выполнении условий, которые были приняты при записи законов сохранения в виде (4.!) — (4.3), т.
е., как об этом говорилось в начале у 3, игп пренебрежении в сечениях г, и г" вязкими нормальными напря>кенияь!и и тепловыми потоками. Таким образом, соотношения (4.4) представляют собой условия, которым должны удовлетворять параметры движущейся идеальной среды с двух сторон поверхности разрыва или — иначе — скачка. Эти соотношения называются условиями Рзнкина *) — Гюгонио **) (илп условиями диналгической совместности на разрыве). й(ы приняли, что газ движется слева направо. Сторона поверхности или фронта разрыва, в которую газ втекает, называется передней стороной (в нашем случае это левая сторона), а сторона фронта разрыва, из которой газ вытекает, называется задней стороной.
Введем обозначение РУ = Р,У, = т (т — удельный расход газа сквозь поверхность разрыва). Из уравнения импульсов тогда получаем т'= (4,6) 1 1 Рг Р Отсюда следует, что возможны скачки двух видов. Для первых р о„р ) рн )г 'г',. (4.7) Эти скачки называются скачками уплотнения. Во втором случае Р<Р, Р<РН У)РИ (4.8) Такие скачки называются скачками разрежения.
Поскольку заключение о двух возможных видах скачков в идеальной среде является следствием лишь законов сохранения массы и импульса (без сосредоточенных на поверхности скачка притоков этих величин), оно имеет весьма общую природу и не зависит от возможных физико- ") Рэнкнн ()тап!г!пе) Ввльям (1820 — 1872)-англнйскнй ученый; впервые в 1870 г. выписал условия на разрыве в виде (4.4), исправив неточность Рнмана, который не пользовался уравнением энергии, а считал давление н плотностьсдвух сторон скачка связанными аднабатой Пуассона. ") Гюгонно (Нойон(о() Анри (1851 — 1887) — французсннй ученый н ннженер.
Автор трудов по баллнсгнке, теории упругости, математнческому анализу, газовой динамике. Один нз основателей теория ударных волн в газах н жндкостях. 74 гл. 1. осиовныв понятия гхзовон динамики химических превращений среды при прохождении ею скачка и от сосредоточенных энергетических воздействий на скачке. Из (4.6) получаем выражения для скоростей и» ! Р Р1 Р Р Ръ 1'! = —., Р» Р! Р Р Р» Р~ Р Р1 Р Р» Р (4.9) с помощью которых последнее соотношение (4.4) можно преобразо- вать к виду 2 (, ) 1! 1 1 (4.10) 2(,р«р ) или„после замены й по формуле й=е+ Р!р, к иному виду: 1Г1 11 е — е = — ( — — — )(Р+ Р).
2(,р~ р) (4.11) Выражения (4.10) или (4.11) связывают лишь значения термодинамических величин с обеих сторон скачка. Из этих выражений следует, что для скачков уплотнения й)й„, е)ео а для скачков разрежения й<й„е<е,. Ранее, в 5 3, мы рассматривали непрерывные движения сред, у которых все термодинамические функции, в том числе и внутренняя энергия, зависят лишь от двух параметров. В более общем случае внутренняя энергия среды зависит от дополнительных параметров физико-химической природы.
Как уже указывалось в 5 1, при изучении непрерывных движений таких сред их иногда тоже можно считать двухпараметрическими. Так, при некоторых условиях изменением дополнительных параметров можно пренебречь (считать их «замороженными»); в некоторых других случаях дополнительные параметры можно считать функциями основных термодинамических параметров, соответствующими термодинамически равновесному состоянию, При прохождении поверхности разрыва дополнительные параметры, от которых зависит внутренняя энергия„могут изменяться скачком, например, от значений, соответствующих «замороженному» состоянию перед скачком, до значений, соответствующих термодинамически равновесному состоянию за скачком. При этом в соотношении (4.10) или (4.11) вид функциональной зависимости теплосодержания й или внутренней энергии е от основных термодинамических параметров может быть разным перед скачком и за ним.
К примеру, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями выражение для 4 4. Течения с РАЗРыВАмн 75 внутренней энергии имеет вид е = — +е4 =с Т+ е,. Р ! Р э Здесь е, есть, например, химическая составляющая внутренней энергии, т. е. энергия связей атомов в молекулах. При прохождении газа через поверхность разрыва его химический состав вследствие быстрого протекания химических реакций может скачком измениться, в результате чего изменится е, и, в общем случае, изменятся и теплоемкости газа. Равенство (4.10) или (4.11), являющееся следствием всех трех условий на поверхности разрыва, называется соотное4ением Гюгонио. Если входящие в равенство (4.10) или (4,11) величины И нли е представить как функции от р и р, то при фиксированных р, и р, этим равенствам соответствует в плоскости 1/р, р кривая, называемая адиабапгой Гюгонио или ударной адиабатой (с центром в точке 1!Р4 р4).
При заданном состоянии среды (о, = =1!р„р,) с одной стороны разрыва эта кривая есть геометрическое место точек плоскости о= 1/р, р, соответствующих допускаемым законами сохранения состояниям с другой его стороны. Если функция е(р, р) совпадает с функцией е,(р, р), т.
е. если термодинамические свойства среды при прохождении ею скачка не изменяются, то е(р„, р,) =е,(р„р,) и, следовательно, адиабата Гюгоиио проходит через точку 1!ро р,— свой центр. Если же как говорилось выше, определяющие внутреннюю энергию дополнительные параметры изменяются при прохождении разрыва, то е(р„р,) ~е,(р„р,) и точка 1!р„р, не принадлежит адиабате Гюгонно.
Для изучения свойств адиабаты Гюгонио введем функцию Гюгонио Н (' р ' ° !р4) = "— й — 2 ("+ ") (р — р ) ! и будем рассматривать Н как функцию двух переменных о и р, параметрически зависящую от о, и р,. Из (4.10) очевидно, что Н = 0 в точках адиабаты Гюгонио с центром в точке 0(о„р,). Получим выражение для полного дифференциала функции Н: ! ! йН == дИ вЂ”,( + о ) йр — —,(р — р,) йо. С учетом термодинамического равенства (1.3) Т сЬ = йй — о йр ть ГЛ.
!. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ это выражение примет вид ! !(Н = 7 Г(~ — , '— (о — о,) Г(р — — (р — р,) !(о, (4. 12) („), (р р,)+, („.), ( р,) + где производные вычисляются вдоль адиабаты Гюгонио в ее центре. Пользуясь,,'этим представлением, из формулы (4. !2) при Г!Н =О находим или, после интегрирования, !(Ро~ Т, (з — з,) = —, ! —, ~ (р — р,)'-1- 1 (4.13) Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка, чем (р — р.)' Таким образом, при малом изменении давления газа р — р, при переходе через скачок изменение энтропии з — з, есть малая величина порядка (р — р,)". Отсюда следует, что в начальной точке адиабата Гюгонио имеет касание второго порядка с проходящей через ту же точку адиабатой Пуассона.
Действительно, для каждой среды значения о, р и з связаны уравнением состояния о = йр(р, з). Отсюда уравнение адиабаты Пуассона. проходящей через начальную точку, есть о=йр(р, з,), а уравнение адиабаты Гюгонио вблизи начальной точки ='л,'(р, з,+л(р — р,) + "1=-йЛ(р, з,)+(й„) п(р — р)'+ где коэффициент й определяется выражением (4.!3). Отсюда и получаем, что в начальной точке Здесь индексы Г и П относятся соответственно к дифференцированию вдоль адиабаты Гюгонио и адиабаты Пуассона.
Будем считать, что среда с обеих сторон скачка имеет одни и те же термодинамические свойства, так что адиабата Гюгонио проходит через свой центр. Примем также, что 6(р, о) — дважды непрерывно днфференцируемая функция своих аргументов (для нормального газа это свойство вытекает из его определения). Изучим вначале поведение адиабаты Гюгонио вблизи центра.
При малом изменении давления в скачке представим уравнение адиабаты Гюгонио Н=О в виде разложения зз. течения с Рлзпывхми Производные отко по р вдоль адиабаты Пуассона, очевидно, суть частные производные по р от удельного объема о, рассматриваемого как функция давления р и энтропии з. Таким образом, выражение для изменения энтропии (4.13) можно переписать в виде — = — — (Р— Р,)+.. 1 дии ! 12Тг др' ~лг (4.14) Производная д'о1др"-'„= Ьюр определяется термодинамическими свойствами среды. Так как при адиабатическом переходе через скачок энтропия в силу второго начала термодинамики может лишь возрастать, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
