Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Рис. 1.4.! должно быть з — з, . О, то выражение (4.14) налагает условие на знак разности р — р, для физически допустимых слабых скачков. Для сред, в которых д'-'и,'др*(, > О, и, в частности, для нормальных газов, должно быть р — р! > О, т. е, допустимы лишь скачки уплотнения. Для сред, в которых д'п!др'), . О, наоборот, допустимы лишь скачки разрежения. На рнс. 1.4.1, а и б показаны вид н взаимное расположение адиабат Гюгонио (Г) и Пуассона (П) вблизи начальной точки соответственно для случая Ьррр > О и йр, > О (т. е., в частности, для нормального газа) и для случая Ьрр„< О. Изучим теперь поведение адиабаты Гюгонио в целом для случая нормального газа. Покажем, что любая прямая, проходящая через центр, пересекает адиабату Гюгонио не более чем еще в одной точке (адиабата Гюгонио «звездна» относительно своего центра).
Покажем также, что при следовании вдоль адиабаты Гюгонио в сторону увеличения давления энтропия монотонно возрастает. Рассмотрим вначале связь Р— Р~ — =- — 1ц а. Р— У1 Зта связь определяет при а=сопз1 прямую в плоскости р, проходя щую через центр (рис. 1.4.2). гл. ь основныв понятия глзовои диньмики 78 С использованием величины 1ца выражению (4.12) для дН можно придать вид г(Н = Т г(э — — (о — о,) ' г( 1в а.
(4.15) Вдоль адиабаты Пуассона П, проходящей через центр (рис. !.4.2), с! Н = — — (о — о,)' д 15 а. 1 2 Вследствие сформулированных в 8 ! свойств адиабат Пуассона длЯ ноРмального газа (до1дР=йе < О, д'о!дРь=пррр > 0) пРи дви- жении вдоль адиабаты П ь( 15 акр > 0 и, следовательно, г)Нд(р < О. Таким образом, на верхней части адиабаты П (при р > р,) Н < О, а на нижней ее части (при р<р) Н>0. Вдоль прямой 1ца=сопз1 из (4.!5) следует г(Н =ТеЬ, ьу ьг Рис. ! скв -ак что на такой прямой йН и е(э имеют одинаковые знаки и, в частности, в точках максимума р~ з (е(з=О) функция Н тоже имеет максимум. Учитывая описанное в 8 1 поведение энтропии э на пряь» ь мых 1ц а = сопз1, получим следующие выводы о поведении функции Н на таких прямых.
На прямых с 15 а < 0 (прямая 1 на рис. 1.4.2) Н монотонно возрастает с ростом р. Следовательно, на таких прямых не может быть точек, принадлежащих адиабате Гюгонио (Н=О). Этот вывод справедлив, конечно, и для произвольного газа, так как согласно (4.6) при 1ц а < 0 величина т' =- рЯ = р*)г' отрицательна, что невозможно. Прямые при 1ца=ть=рЯ>0, соответствующие связи (4.6), называются прямыми Рэлея (также прямыми Рэлея — Михельсона, см. 8 5); мы для краткости назовем их т-прямьти.
Угол а характеризует скорость газа перед скачком; при изменении а от 0 до п12 скорость Р, меняется от 0 до ьь, Так как угловой коэффициент адиабаты Пуассона равен др!до= — р'а', то для т-прямой, касательной к адиабате Пуассона (прямая Т на рис. !.4.2), )~,=а„т. е. скорость газа перед скачком точно равна скорости звука. Для прямых с большими или меньшими значениями а соответственно )', > а, и $',<аь Вдоль т-прямой, пересекающей адиабату Пуассона П в верхней ее части (прямая 2 на рис. 1.4.2), функция Н монотонно возрастает 5 с тече!4ия с РА3РыВАми 79 от нуля в точке О до некоторого максимального значения (в точке С, где прямая касается адиабаты Пуассона П'), а затем монотонно убывает, принимая, согласно сказанному выше о знаке функции Н, отрицательное значение в точке пересечения л4-прямой с адиабатой Пуассона П.
Следовательно, на такой прямой между точкой С, где она касается адиабаты П', и точкой ее пересечения с адиабатой П есть точка, где Н =О, т. е. точка адиабаты Гюгонио. Если т-прямая пересекает адиабату П в ее нижней части (прямая 3 на рис. 1.4.2), то прн следовании вдоль такой прямой от центра функция Н монотонно возрастает до некоторого максимума в точке С„где она касается адиабаты Пуассона П", а затем монотонно убывает. В точке пересечения т-прямой с адиабатой П функция Н все еще положительна и продолжает убывать до точки встречи прямой с осью и.
На этой оси р = О, й (О, а ) = 0; поэтому 1 Н(п, 0; со р,)= — 14, + — (и, +о) р, и, следовательно, функция Н линейно возрастает с ростом и, оставаясь отрицательной до значения п=п"=п,а 2е4!ро при котором она обращается в нуль, Таким образом, на каждой т-прямой, пересекающей ось и в промежутке о, (о(о*, есть точка, где Й=О, т. е. точка адиабаты Гюгонио, причем эта точка лежит между точками пересечения т-прямой с адиабатой П и с осью и. На т-прямых, пересекающих ось и при о > о*, точек адиабаты Гюгонио нет.
Итак, мы показали, что существует непрерывная гладкая кривая Гюгонио, проходящая через центр О (и„ р,). Эта кривая звездна относительно своего центра. Если потребовать, чтобы давление вдоль адиабаты Гюгонио монотонно возрастало с уменьшением о, стремясь к бесконечности при и и ( по то нУжно дополнить введенные в 9 1 огРаничениЯ на функцию й(р, з) для нормального газа условием ' — — (о+о,)>0.
да(р, 1 др 2 После некоторых выкладок, которые мы опускаем, это условие можно представить и как условие на поведение адиабаты Пуассона в переменных и, Т: дс ) о — о( — 2Т вЂ” ) . дТ1; Очевидно также Условие о*) пг, (котоРое должно выполнЯтьсЯ для того, чтобы адиабата Гюгонио имела ветвь при о > п4: е, ди ~ 2 — ) — р,— ~ рд 'дри ' Нетрудно проверить, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями выписанные условия удовлетворены: первое при у) 1 т — 1 и о) — о,=о, а второе — при у > — 1. 7+1 ГЛ. !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯГИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ На аднабате Гюгоппо согласно (4.15) так что прн условии монотонности адпабаты вдоль нее с ростом давления (т.
е. с ростом !па) энтропия газа монотонно возрастает. На верхней ветви адиабаты Гюгонио (при р) р,) 5) З„на нижней (при р(р~) 5(5н Из доказанного следует утверждение: в нормальном газе скачки любой интенсивности могут быть только скачками уплотнения, вызывающими увеличение плотности и давления и уменьшение скорости газа. Это утверждение составляет теорему Цел!плена. При У, ) а, т-прямая пересекает адиабату Гюгонио в верхней ее части; согласно предыдущему в точке пересечения, которая соответствует состоянию газа за скачком, г(5 ( О вдоль т-прямой и Г(5) О вдоль адиабаты Гюгонио. Таким образом, в этой точке адпабата Пуассона де=О пересекает адиабату Гюгонпо между ней н т-прямой, так что т'= ОЗУ'( — — = р' — ~ = р-"а'-'.
др др др л др,л Следовательно, в состоянии газа за скачком у(а, т. е. скорость газа перед скачком уплотнения больше скорости звука, а скорость газа за скачком меньше скорости звука. Иначе: скорость скачка по отношению к газу перед ним сверхзвуковая, а по отношению к газу за ним — дозвуковая. Легко проверить, что для скачков разрежения это утверждение меняется на обратное. При уменьшении интенсивности скачка значения скорости газа перед скачком и за ним приближаются к скорости звука, как это следует и из формул (4.9): 1(гп У,= 1пп — — =( — ~ = — ! =-а„ р р — р, Гдр'! др! р1 р р1 др ГГ1 др (51 и аналогично для у"-.
Таким образом, скорость бесконечно слабого скачка по отношению к газу перед ним и по отношению к газу за ним равна скорости звука. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями согласно (4.5) Заменив здесь М,' через Ц по формуле (3.31), получим уу уя (4.16) 81 йч. Течения с РАЭРыВАми Это соотношение, из которого, очевидно, следует, что прп )г, ) ат будет )7 ( а, называется соотношением Пранд~лля *). Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями уравнение Гюгонио (4.10) имев~ вид 7Р у — 1~р (п) 2(р, ' р) В разрешенной относительно Р форме (т+1) р (т 1) р~ (у+1) и и 1) р (4.17) (у+1) с — (т — 1) о (7+1) "' (у 1) " На рис.
1.4.3 представлена соответствующая этим выражениям адпабата Гюгонио для р: р, при 7= 1.4. Там же приведена адпабата Пуассона, проходящая через начальную точку (штриховая линия). Р, Адиабата Гюгонио для совершенного о т — 1 га газа имеет асимптоту — = — , к кото- П 7+1' у-(,4 рой она приближается прн р- оо, Прп и 7+1 1 11 — — — адиабата Гюгонпо пересекает о1 у — 1 1 1 ось о. ! Таким образом, плотность совершенного газа за скачком не возрастает беспредельно при р †- оо, а стремится к конеч- г-г ил йи л) ной величине (для совершенного газа при г г го у = 1,4 зта величина равна шести, при Рпс. 1ЛПЗ у = 1,2 — одиннадцати). Как показывает рис. !.4.3, для скачков в газе с 7=1,4 при — (2 изознтропа — == — „, является очень хорошим приолпжгпием Р Р Р1 Рт Р р( адиабаты Гюгонио.
При увеличении интенсивности скачка энтропия газа за скачком резко возрастает. Так как согласно уравнению энергии (4.4) полное теплосодержание газа при переходе через (покоящийся) скачок сохраняется, то полное давление газа за скачком с увеличением интенсивности скачка падает. Получим, используя формулы (3.32) и (4.5), выражение для отношения полных давлений газа за скачком и *) Прзндтль (Ргзпб(1) Людвиг (1875 — 1953] — немецкий ученый, один из основвтелей аэродинамики. Автор трудов по теории погрзничного слоя, теории крыла конечного размаха, теории турбулентности, о сверхзвуковых течениях гззз и др. ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 82 перед ним: т — 1 рко р 1+— Роо т — 1 о~о-1 р1 1 14- — м,) 2 1 На рис.
1.4.4 приведен график этой зависимости при у == 1,4. При числах Маха М„близких к единице, уменьшение полного давления невелико и выражается формулой р„- 81т+1) Однако с ростом М, полное давление за скачком р, быстро падает; прн Мо,)) 1 Интенсивные скачки уплотнения являются мощным механизмом диссипации механической энергии — в них механическая энергия газа необратимым образом переходит в тепловую. Следовательно, в тех случаях, когда необходимо при торможении сверхзвукового потока ро~ г З 4 Рис.
1.4.4 мо Рис. 1 4.5 с достаточно большими значениями числа Маха получить возможно высокое давление газа, следует избегать возникновения интенсивных скачков уплотнения. Наоборот, если необходимо снизить высокое давление, развивающееся при торможении сверхзвукового потока, то можно использовать для этого скачки уплотнения.
Применим теперь законы сохранения (4.1) †(4.3) к более общему случаю, чем изученное ранее течение в цилиндрической трубе без притока массы и импульса извне. Рассмотрим (рис. 1.4.5) течение в трубе из двух соединенных между собой цилиндрических участков с общим направлением оси и с разными площадями сечения. Пусть газ течет в трубе слева направо из части с меньшим сечением д', в часть с большим сечением Ю. $4.
Течения с РАЗРывАми 83 Цилиндрические участки трубы непроницаемы для газа, а на соединяющем их участке может подводиться газ, обладающий некоторыми импульсом и теплосодержанпем. Примем, что в сечении левой трубы перед соединительным участком параметры газа распределены равномерно. Допустим также, что достаточно далеко вниз по потоку и во второй цилиндрической части трубы параметры газа распределены по сечению равномерно. На соединительном участке трубы и в близкой к нему части правой трубы могут происходить сложные движения, вызванные перемешиванием втекающего снаружи газа с газом, текущим из левой трубы, и резким изменением площади сечения трубы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
