Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(5.6) а" ' Т ' (, аа ' Т ( Я аТ ' ном случае при отсутствии по~ерь полного давления в рабочей части трубы площадь горла диффузора можно уменьшить до площади горла сопла и сделать скорость в горле диффузора равной скорости звука с последующим непрерывным торможением дозвукового потока в диффузоре до давления р,= р„.
Такая идеальная труба работала бы при любой сверхзвуковой скорости в ее рабочей части без превышения давления в резервуаре над атмосферным давлением, т. е. без потребления энергии извне (ср. рис. !.3.2). В действительности, вследствие необратимых потерь в тракте аэродинамической трубь!, возрастающих при росте числа Маха в ее рабочей части, создание потоков газа большой скорости связано со значительными затратами энергии. При работе аэродинамических труб по замкнутому циклу полное давление воздуха, выходящего из диффузора, необходимо увеличивать в компрессоре (вентиляторе) для восполнения потерь, после чего воздух вновь поступает к входу в сопло.
При этом из-за необратимого перехода сообщаемой газу механической энергии в тепловую в трубах достаточно большой мощности требуется установка специальных устройств для отвода тепла ог газового потока. Течения в трубе при наличии трения и теплообмена. Рассмотрим теперь квазиодномерное движение сжимаемого газа в трубе с учетом трения газа о стенки трубы, теплоподвода к газу и действия внешних массовых сил. В 3 3 была получена математическая модель таких установившихся непоерывных движений газа в слабо искривленных трубах с плавно меняющимися формой и площадью поперечного сечения в виде соотношений (3.13), (3.16) и (3.17): !((Р)ГТ)=0, (5.2) )Гг()'+ — ~ = 1Т !(х — ' — )Г' !(х, (5.3) Р Г(й, = !';н !(Х+ Ч„.
!(Х. (5.4) й й. устйновившився движения гйзй В йрувкв Коэффициенты при внешнем теплоподводе д„Йх и при величине — У дх, представляющей собой некомпенсированный теплоподвод л вследствие необратимого характера движения газа в трубке с трением (см. 9 3, с. 49), положительны. Поэтому знаки первыхдвухслагае- мых в правой части соотношения (5.6) зависят от того, сообщается ли газу или отбирается от него энергия в виде механической работы и тепла соответственно; знак же третьего слагаемого всегда поло- жителен. Как показывает соотношение (5.6), при фиксированном знаке каждого из слагаемых в правой его части влияние этого слагаемого на изменение скорости газа противоположно при М ( 1 и при М > 1. При М= 1 происходит обращение воздействия на изменение скорости газа каждого из факторов, влияющих на течение в трубке: подвода механической и тепловой энергии, трения газа о стенки, изменения площади сечения трубки.
В связи с этим соотношение (5.6) (как и подобные ему соотношения, получаемые из выражения (3,25) для других моделей установившихся течений газа в трубке) называют иногда уравнением обршцения воздействий. Рассмотрим несколько важных классов течений в трубах, опи- сываемых моделью (5.2) — (5.4). Течения с трением. Изучим вначале течения с учетом трения (~ > 0), но без подвода механической и тепловой энергий (г,'"йх = = д„йх 0). Вследствие наличия интеграла й,=сопз1 в таких течениях, как и при аднабатических течениях без трения, существует постоянная по длине трубки максимальная скорость У „= У2Ь,. Однако переход через скорость звука при течении с трением в сопле Лаваля проис- ходит не в горле сопла, а на некотором удалении от него в расши- ряющейся часгн сопла.
Это следует из того, что согласно соотношению (5.6) при М=1 должно быть йК/йх > О, В последующем ограничимся изучением течений в трубе постоян- ного сечения, когда о =сонэ! и Йг"=О. Так как энтропия газа согласно (5,5) при движении растет, то его полное давление и плотность торможения уменьшаются; из соот- ношения (5.6) следует, что дозвуковой поток при этом ускоряется, а сверхзвуковой замедляется. В обоих случаях скорость приближается к критической, а число Маха — к единице, Очевидно, что при дости- жении критических условий энтропия достигает максимума, а даль- нейшее продолжение течения становится невозможным, Таким обра- зом, при заданных параметрах газа при входе в трубу существует предельная длина трубы, в которой возможно непрерывное течение. При дозвуковой скорости это течение единственно. Если скорость газа при входе в трубу сверхзвуковая, то кроме непрерывного тече- ния существует семейство решений со скачком уплотнения в разных сечениях исходного непрерывного течения и с дозвуковым течением за скачком.
4 г. г. черный ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Изучим эти течения, пользуясь моделью совершенного газа. Для рь„т- ! такого газа —, = —,, поэтому уравнение (5.6) при 1'," йх = д„0(х = О и д'Г"=О примет вид (1 — М') —, = ТМ' — дх. 0У Р Энтальпия а совершенного газа, рассматриваемая как функция скорости звука а и энтропии з, не зависит от з (меняющейся при движении газа); поэтому, наряду с У,„, существует постоянная по длине трубы критическая скорость 1~„р, как решение уравнения (3.23) прн У=а=У„р, Произведя замену — = — (при этом учтено, что У„р —— сопз1) ДУ 0Л и пользуясь формулой (3.31), связывающей Л и М, получим ( — ) — = — — ! ! — = — — ах.
1 ~ 0Л 2т ЛР,! Л у+1 Й (5.7) — ( 1 — ) — 1п Л = — — х+ сопз(. 101~27 2(, ЛР) т+! й (5.8) Таким образом, имеется единая (с точностью до сдвига по х) зависимость Л от безразмерной координаты — ь —. Эта зависимость т х т+! й' ЕГ к -60 -60 -00 0 ~х»х -Л0 -00 0 о0 У+~Я 0 Рис. Из.б при условии 1=1 при х=О изображена графически на рис. 1.5.6,а. Нижняя ее ветвь соответствует дозвуковым течениям, верхняя — сверхзвуковым непрерывным течениям. Если положить Л Ли х= — Ь и считать 1.
длиной трубы, то график на рис. 1.5.6,адаст зависимость Коэффициент трения ~ зависит от местных значений чисел Рейнольдса и Маха, а также от параметров, характеризующих термодинамические свойства газа (для совершенного газа с постоянными теплоемкостями — от величины у), и от шероховатости поверхности.
Эти зависимости определяются главным образом из экспериментов по течению газа в длинных цилиндрических трубах. Сделаем для простоты допущение, что Ь не меняется по длине трубы. Тогда из (5.7) после интегрирования найдем З 5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ наибольшеи приведенной длины трубы — — й (при которой достит у+1 Я Рвется скорость звука в выходном сечении) от числа Л, на входе в трубу при непрерывном течении в ней. Зависимость (5.8) можно использовать для расчета течений со скачком уплотнения. Для этого при каждом х найдем значение Л', которое соответствует течению за скачком, расположенным в сверх- звуковом потоке в этом сечении. Согласно формуле Прандтля (4.16) ЛЛ'= 1, так что соответствующая зависимость имеет вид — (1 — Л")+ 1пЛ =- — — х. 1,, 2т 2 у+1 1т (5.9) (5.10) Так как в начале трубы скорость газа дозвуковая, то истечение газа из трубы может происходить либо с дозвуковой скоростью (Л ( 1), и тогда давление газа в выходном сечении должно равняться давлению р„либо газ может истекать со скоростью звука (Л= 1), и тогда его давление прн выходе может превышать давление р,, Преобразуем уравнение (5.!О) так, чтобы в его левой части величины р, и 1', были выражены через параметры торможения дм и Т„ в этом сечении (известные) и величину Л, (нензвестную), а в правой части величины р и Р' выразим через давление р, температуру торможения Т, н величину Л (если Л ( 1, то она неизвестна, но известны р =р, и Т,=ТКИ если же Л= 1, то известны Л и Т„а р неизвестно).
41 На рис. 1.5.6, б изображена сверхзвуковая ветвь зависимости (5.8) н штриховой линией — зависимость (5.9), Пусть течение перед скачком соответствует точке 1; тогда течению за скачком соответствует точка 2. Для продолжения течения за скачком нужно перенести изображенную на рис. !.5.6,а дозвуковую ветвь зависимости (5.8) на рис, !.5.6,б так, чтобы она прошла через точку 2; часть этой ветви правее точки 2 и будет соответствовать течению за скачком. Изложенная простая теория достаточно хорошо подтверждается экспериментальными данными при дозвуковых скоростях и менее удовлетворительно — при околозвуковых и сверхзвуковых скоростях. В частности, при сверхзвуковых скоростях переход к дозвуковым скоростям происходит не скачком, а в довольно протяженной зоне со сложным, неоднородным по сечению потоком.
Рассмотрим, основываясь на уже полученных данных, истечение газа через трубу заданной длины из резервуара с давлением р, в окружающее просеранство при постепенном уменьшении давления р, в нем. Для этого запишем условие равенства расходов газа во входном и выходном сечениях трубы: р,)', Т, = р РМ. зк устлновившиеся движения гхзл в тнэвке !о! быть непрерывным. В нем возникнет скачок упло!нения, истечение из трубы станет дозвуковым с давлением р при выходе газа, равным р,. Из уравнения (5.1!), справедливого и при наличии скачка уплотнения, определится Л.
Для нахождения положения скачка нужно воспользоваться исходным соотношением (5.8), учитывая, что значения Л перед скачком (Л') и за ннм (Л") связаны формулой Прандтля Л'Л" = 1. Пусть х= 0 — координата начального сечения трубы, 1.— длина трубы, х,— координата скачка. Применим соотношение (5.8) к сечению перед скачком, определив константу в правой части нз условия при х=О. Зто даст !, 2т ь ! — — — !п Л'= — — х,— —,— 1п Л,. 2Л~ т+! Д ' 2Л', Применим далее соотношение (5.8) к сечению за скачком, определив константу из условий в выходном сечении — при х=А.
При этом заменим Л" по формуле Праидтля. В результате получим — — +1ПЛ'= — — х,— !ПЛ вЂ” — — С. Л'~ ', 2т ь 2т д с (5. Б) Соотношения (5.!4) и (5.15) определяют х, и Л' по известным Е и Л, и по найденному из уравнения (5.11) значению Л. Из (5.11) следует, что при росте р значение Л падает. Вычитая (5.15) из (5.14), получим выражение, из которого нетрудно установить, что при уменьшении Л величина Л' растет, так что скачок смещается в сторону сопла. При некотором р скачок достигнет сопла (х,=О, Л'=Л,). После этого дальнейшее повышение р, приведет к перестройке течения внутри сопла, которая уже была описана ранее в $ 4. Течения с теплоподводом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
