Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Действительно, как это следует из предельных соотношений для нормального газа (формулы (1.19) и (1.20)), р=О и й=О при Д=О, т.е. К=У,„=У2й;, р=р, и й=й, при р=р„т.е. У=О. и будем считать р и й функциями давления р и энтропии з. Выражение (3.24) дает тогда зависимость удельного расхода от давления р и от параметров торможения й, и з (или от й, н р,). Представим связь (3.24) в дифференциальной форме: лоу л У кР адьо — ль 4~ 0 р! +,Т р з(й.— А),Т = — ', (М' — 1) !(р — ( рйр, -1- —,) дз -1- — ", -1- — . (3.26) а 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ ав Так как Ма— даа 'Ь, дР 1аа, а=сапа! дР аа !А„а=сспм аа Р' 6 Ркр кр Зта минимальная плошадь сечения трубки называется критической.
При заданных параметрах торможения д'„р определяется значением расхода 6 и может задаваться вместо него. Подчеркнем, что при критическом значении расхода скорость газа равна скорости звука. Формулы для совершенного газа. В случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями все полученные выше соотношения между параметрами газа можно выписать явно в виде простых формул. Так как для совершенного газа теплосодержание есть функция только температуры, то для него полное теплосодержание определяет температуру торможения Т, и ее связь с максимальной скоростью У,„: — +с Т=с Т уа ! спас 2 Р Р и 2 (3.27) У,„=-У 2срТ,, Соотношение (3.23) принимает в этом случае вид У а У па ах — + 2 т †! 2 Полагая в нем У=а=)'кр, получим ./т — !, 1кр г' ! 1 паап У т+ (3.28) то согласно равенству (1.!О) для нормального газа, удовлетворяющего условию (1.21), дМа1др !А„,=„п,! < О при всех М, так что число Маха есть монотонно убывающая функция давления, причем М=О при р=-р, и М= оо при р=О.
Из (3.25) при постоянных Ьп и з следует, что й (РУ) = — (М' — 1) йр, ! т. е, функция РУ монотонно возрастает от нуля в диапазоне О< р < рк„ достигает при р = рк„т. е. при М= 1, максимума и монотонно убывает при рк, < р < р„обращаясь при р=р, снова в нуль. Так как плотность потока массы РУ при постоянных параметрах торможения имеет максимум, то ясно, что при заданных значениях этих параметров существует предельный расход газа, который может протекать сквозь заданное сечение трубки. Зто наибольшее значение расхода называется критическим.
Наоборот, при заданном расходе газа б площадь сечения трубки не может быть меньше предельной, определяемой формулой 56 1Л ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Введем безразмерные отношения У/У,„=Л и У/У„,=Л. Величины Л и Л меняются соответственно в пределах 0<Л<1 и 0<Л< < у — и называются приведенными по У,„или У„р скоростями /'у+! У у — ! (иногда — коэффициентами скорости). Используя зти величины, из (3.27) найдем связь температуры газа с его скоростью и параметрами торможения в виде — =1 — Л'=1 — У Л'. (3.29) Из уравнений состояния (1.7) и (1.8) с учетом того, что энтропия в состоянии торможения и в действительном состоянии одна и та же, получим и, следовательно, связь давления и плотности газа с его скоростью и параметрами торможения дается формулами у Р =(! Л)==(! — У вЂ” ' Л )' ', 1 % Л)==(! ' 1Л)' '. (3.30) Поделив в соотношении (3.28) все слагаемые на Р/2, получим зависимости между величиной Л или Л и числом Маха: 2 "1 у+1 1 1+ (у-1)М Л у-1 Л ' (3.31) у 1 (3.32) Полагая в формулах (3.29) и (3.30) Л= 1 или в формулах (3.32) М=1, найдем связь критических значений параметров газа р„р, р„р, Т„„с параметрами торможения в виде отношений В табл.
1.3 приведены значения этих отношений для нескольких значений у. Пользуясь этими зависимостями и формулами (3.29), (3.30), можно представить температуру, давление и плотность в функции числа Маха н параметров торможения: 4 3. устАКОВиВшиеся движения ГАЗА В труике 57 Таблица 1.3 Ркр/Рв т„ /т. Ркр/Рк На РИС, 1,3.3 ПРИВЕДЕНЫ ЗаВИСИМОСтИ Т/Т„Р/Ра И Р/Ра ОТ при у=1,4, а на рис.
1.3.4 — связь между Л и М для этого же значения у. О 44 4г Рис. 1.3.3 3 4 Рис. 1.ЗА Запишем выражение для расхода газа 6 в виде р1/кТ=6 =- рка)/ К р. Из этого уравнения найдем связь между площадью сечения трубки Т и приведенной скоростью Л или числом Маха М в виде ! ! Ф=,.',,"., =( — ",')' '(1 — ,'„'л Гл==-д(л), Тк ! ~„р / т+1 ) а !т-!! м (3.33) !+т *) Функция !/(Л) представляет собой зависимость от Л безразмерной РУ плотности потока массы Р .
Ее график при у= 1,4 приведен Ркр" кр на рис. 1.3.5. Функция 4(Л) обращается в нуль при Л= 0 (из-за того. что обращается в нуль скорость )/; плотность при этом равна 1 1,2 1,4 5/3 ! 0,9091 0,8333 0,7500 0 0,6065 0,5645 0,5283 0,487! 0 0,6065 0,6209 0,6339 0,6495 ! гл. !. основные понятия глзовои динамики плотности торможения р,) и при Л=- у — (из-за того, что обра/ т+! У т †! щается в нуль плотность; скорость при этом равна У,„); при Л= = 1 функция д(Л) имеет максимум, равный единице. Полезно величину д = у выразить как функциюотношения — . РУ Р Рнр укр ! ! ! Ро Пользуясь соотношением — = ! — ) = ( ) ( — ) и связью (3.30) между Л и р(р„получим ! ! ! !-! д=( ) (!' ) (~) 1 — (~) . (3.34) График этой функции при у=!,4 приведен на рис.
1.3.6. Ооратим внимание на то, что д = Т„р/К и, следовательно, графики п,п п,в пгд 0,4 п,г 0 цг и! 00 пп и Ро Рис. !.3.6 п,л п,в т,г г,п г,п ь Рис. !.3.5 ! 7 ! 11!2 Эта зависимость называется формулой Сен-Венана — Ван!(пля. Формулы (3.27) — (3.30) при заданной совокупности значений! параметров газа У, р, р н Т служат просто определениями величин Т„К,„, Л, р„р,. Эти величины можно ввести для любого потока, Как уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для установившихся адиабатических обратимых течений состоит в том! что значения Т„У,„, р„р, при таком течении остаются неизменными, Формулы (3.29) и (3.30) дают при этом зависимость температуры, давления и плотности от меняющейся скорости газа.
Формула же. (3,33) при постоянном значении Х„„определяемоз! расходом н пара- на рис. 1 3.5 и 1.3.6 иллюстрируют также зависимость от Л и р!р, величины Т„р!Т, обратной относительной площади сечения трубки. Выражение (3.24) для совершенного газа с постоянными тепло- емкостями дает в явной форме зависимость расхода газа от давления и от параметров торможения Э 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 59 метрами торможения, устанавливает связь между скоростью и пло,щадью сечения трубки Адиабатические обратимые течения. Применим теперь полученные соотношения к адиабатическим обратимым течениям газа без действия массовых сил в трубке с непроницаемыми стенками и меняющейся по длине площадью сечения У. Для таких течений б — сопз(, й,=сонэ(, з= сопз1; уравнение расхода (3.24) определяет при этом зависимость давления от т. е.
изменение его при движении газа вдоль трубки. Так как з= = сонэ(, то по давлению каходятся и все остальные термодинамические параметры, в частности, теплосодержание газа й. Условие Ь,=а+ УаГ2=сопз! позволяет найти зависимость скорости У от расстояния вдоль трубки. Для рассматриваемых движений йй,= О, Г(В=О; поэтому, используя связь (1.3) и определение йм можно написать др др ) др др 1 Удк дУ вЂ” = — ~ — = — = — (й= — — = — м— р др 1а р раа аа аа Отсюда наглядно видна роль числа Маха в проявлении свойств сжимаемости среды при установившихся адиабатических движениях. Если число Маха очень мало, то даже сравнительно большое относительное изменение скорости не вызывает заметного относительного изменения плотности, т.
е. газ ведет себя как несжимаемая среда. Напротив, при больших числах Маха незначительное относительное .изменение скорости может приводить к весьма большому относительному изменению плотности. Из соотношения (3.26), заменив в нем ~ — на — УГ(У, получим ядр Р (1 — М') — + — = О. дУ д~ тУ Таким образом, при малых значениях числа Маха скорость меняется при движении газа в трубке, как и в несжимаемой среде, об,ратно пропорционально площади сечения трубки.
При дозвуковой скорости, т. е, при М ( 1, скорость при сужении трубки растет, соответственно скорость звука падает (см. (1.10)), так что число Маха растет. При этом влияние уменьшения площади ,сечения на увеличение скорости проявляется с ростом числа Маха все сильнее. При сверхзвуковой скорости, т, е, при М > 1, напротив, скорость при расширении трубки растет. Зто связано с тем, что относительное увеличение скорости газа в трубке уже не компенсирует относительного уменьшения его плотности.
Влияние расширения трубки на увеличение скорости при М > 1 с ростом числа Маха падает; при очень больших числах Маха скорость газа при изменении площади сечения трубки не изменяется — она дости.гает своего максимального значения У,„. 80 гл. !. основныв понятия газовой динлмики Рм Для того чтобы при движении вдоль трубки при переходе сечения, где М=1, величина Б' сохраняла знак, необходимо, чтобы величина смг в этом сечении обращалась в нуль и меняла знак. При М=! площадь сечения минимальна, трубка имеет в этом сечении пережатие — так называемое «горло».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
