Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Из уравнения сохранения момента количества движения (2.10) при отсутствии создающих момент массовых сил находим (р+ рр') У вЂ”,=(р,+рЯ)(г, ' ' + ~ (гхрУ) В„~Ь вЂ” М. (3.6) д'е Здесь М= — ~ (гхр„)~Ь есть суммарный момент относительно некоторой точки поверхностных сил, действующих на поверхность У', со стороны протекающего З 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ ~ р,пг(о, ')(г х р,п)г)о равны нулю и их можно добавить в (3.6) соответственно, не изменив эти Уравнение энергии.
Ооратимся к виде (2.!3). Из него получаем РУМйв = Р,!','г",й„— ~ Ув правые части равенств (3.3) и равенства. уравнению баланса энергии в Рйвпв'(О+ )У + (). (3.7) Произведение р~'Уйв называется потоком полного п1еплосодержа ния в сечении трубки. Величина О'" == — ~ рйво„в!а есть суммарное полное теплосодерРв жанне газа, втекающего за единицу времени в трубку через поверх- НОСТЬ Гв. Последние два слагаемых в правой части (3.7), )у" и Я, представляют собой соответственно работу, совершаемую в единицу времени над газом в контрольном объеме внешними силами, и приток к газу сквозь поверхность т"в тепла и других немеханических видов энергии.
При этом работа )у" есть сумма двух составляющих: )(Г'= ~ р~вв1\Гв(т-( ~ р ~г(о. У ° Первая составляющая соответствует работе внешних массовых сил и равна нулю, если эти силы отсутствуют. Вторая составляющая характеризует работу, сообщаемую газу силами со стороны поверхности Ю„в том числе и со стороны поверхности тел, расположенных внутри трубки. Если г"в непроницаема для газа и если газ идеален, то эта составляющая равняется нулю из-за того, что поверхностные напряжения нормальны к направлению скорости газа и потому не производят работы над газом; если газ вязкий, но гв неподвижна, то вследствие прилипания вязкого газа к поверхности скорость его равна на ней нулю и, следовательно, касательные составляющие напряжения на т"в тоже не производят работы. газа, а г, "н г* — радиусы-векторы относительно той же точки центров тяжести площадей сечений У, н 'Г".
Если на поверхность трубки извне действует постоянное давлени. р„то после замены в выражениях (3.3) и (3.6) р, и р соответственно разпостямн р,— р, и р — р, величины )ч или М в этих выражениях будут представлять силу илн момент, действующие на трубку изнутри со стороны движущегося газа и извне вследствие приложенного к ней внешнего давления р,.
Это следует из того, что при р,=сопз1 для произвольной замкнутой поверхности г. интегралы ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯЧИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 4б В некоторых случаях при использовании соотношения (3.7) (и соотношения (З.З)) допускают, что тела, расположенные внутри трубки, деформируемы или подвижны, так что поверхность г", меняется со временем. Учитывая производимую такими телами работу над газом (или вычисляя согласно уравнению (З.З) силу гг), пренебрегают возможным эффектом нестационарности течения, связанным с изменением г"о со временем. Работу поверхностных сил, совершаемую над газом помещенным в трубу техническим устройством с подвижными элементами — вентилятором, компрессором и т.
и.,— часто называют технической работой. СООТНОШЕНИЕ (3.7) ОПрЕдЕЛяЕт ВЕЛИЧИНУ Ао'= В" +Я ЧЕРЕЗ Зиачения потока полного теплосодержания газа в сечениях г, и г" и приток полного теплосодержания с втекающим сквозь поверхность 'го газом. В общем случае У' зависит от распределения параметров в объеме трубки между сечениями г, и г. Однако во многих важных случаях значения величин Ю" и Я могут быть указаны заранее и, в частности, они могут равняться нулю. Во всех случаях, когда три последних слагаемых в правой части соотношения (3.7) известны или зависят только от значений параметров газа в сечениях г", и г', это соотношение устанавливает связь между параметрами газа в этих сечениях, не зависящую от распределения параметров в объеме трубки между сечениями.
В частности, если приток массы сквозь поверхность у'о отсутствует и работа Ж" внешних сил равна нулю, из выражения (3,7) получим р~'~йо = рА~.йо. -'- Я, откуда, учитывая (3.2), находим 'оо =йм+ Ч (3.8) где д — приток тепла, отнесенный к единице массы протекающего газа. Для адиабатических течений о)=0 и 'оо — 'ооО (3.9) т. е. значения полного теплосодержания газа в сечениях г" и д', одинаковы.
Соотношения (3.1), (3.3), (3.6), (3.7) применимы как для непрерывных движений, так и для случая, когда внутри рассматриваемого объема могут быть поверхности разрыва параметров газа; они являются точными при принятых предположениях о поведении газа в сечениях г, и г". Если течение газа между выбранными сечениями трубки происходит адиабатически и обратимо, то энтропия газа в обоих сечениях трубки одинакова, т. е. (3.10) Это равенство и соотношения (3.2) и (3,9), следующие из законов сохранения массы и энергии, образуют систему уравнений для оп- 4 3.
УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 47 ределения параметров газа в выходном сечении трубки по их значениям во входном сечении. В некоторых случаях течений газа (например, при движении газа с высокой теплопроводностью в длинных трубопроводах, имеющих хороший тепловой контакт с окружающей средой) температуру всех его частиц можно считать одинаковой и неизменной во времени. Такие движения с Т = сонэ( называются изотермическими. При установившихся изотермических движениях газа в трубах справедливо равенство Т=Т,. (3. 11) Дифференциальные соотношения. Обозначим буквой х расстояние вдоль средней линии трубки, отсчитывая его, например, от начального сечения Т, в сторону течения газа.
Предположим, что условия о равномерном распределении параметров газа в сечении Т выполнены при всех значениях х, при которых рассматривается движение. Описание течений газа в трубке при таком предположении называется квазиодномерным (иногда — гидравлическим). Кроме того, будем пренебрегать в каждом сечении нормальным тепловым потоком и вязкими напряжениями. Если при этом распределения параметров газа по длине трубки являются непрерывно дифференцируемыми функциями от х (для этого площадь сечения трубки Т(х) и внешние воздействия М<", Кел и т, д, тоже должны обладать этим свойством), то соотношения (3.1), (3.3) и (3.7) можно дифференцировать по х. Ограничимся случаем, когда стенки трубки непроницаемы для газа, так что МИН=О, Кем=О, НИ1=0. Дифференцируя вдоль х соотношение (3.1), получим Н (р'у'г") = О (3.12) или ар ЕУ Е,Т вЂ” + — + — =- О.
р У еТ Из уравнения импульсов (З.З) найдем Н [(р+ ру~)еТп1 = р~т Мт(х+ ~ р„йо. (3. 13) (3.!4) получим ~ п, йт + й (Тп) = О, Здесь ЬТ,— кольцевой элемент поверхности трубки между двумя ее бесконечно близкими сечениями. Продифференцировав по х тождество ~ п,~Ь-1 Тп+ У,п,=-О, Ую 48 ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Добавим эту равную нулю сумму, умножив ее предварительно на р, к правой части равенства (3.14). После некоторых преобразо- ваний с использованием соотношения (3.!2) получим Пд'др+ рУГд(УП) = р71е1,Ус(х+ ~ т„до, лу, где т„— вязкая составляющая поверхностного напряжения (р„= — рп+ т„).
Проектируя это уравнение на направление оси трубки и поделив результат на р У, найдем У дУ + — "Р = 71„'1 1(х+ — ) т„„сЬ. Бил При течении вязкого газа в цилиндрической трубке кругового 2т сечения последнее слагаемое в соотношении (3.15) равно — дх, где 1ЕР )с — радиус сечения трубки и т — напряжение поверхностного трения. Будем считать это выражение справедливым и для трубок некругового сечения и нецилиндрических, понимая под !т так называемый гидравлический радиус сечения, равный удвоенному отношению площадн сечения к его периметру, Тогда, если вместо т ввести безразмерный коэффициент трения ь по формуле т=ьрУ".!2, уравнение импульсов (3.15) примет вид 1' Л' + — Р =- ф1 дх — — У' дх. (3.16) Р Обратимся к уравнению энергии (3,7), Продифференцировав его вдоль х, получим д(РУдй,) =д~" +д1~.
Будем считать, что механическая энергия сообщается газу только вследствие работы массовой силы ф'. Тогда с учетом равенства (3.12) получим дй,=-й'~ +4.~ . (3.17) Здесь д„— подводимое к газу тепло, отнесенное к единице длины трубы и к единице массы протекающего газа.
Для адиабатических течений газа при отсутствии подвода механической энергии извне ип,= 0 и, следовательно, Ь, = сопз1, (3.18) т. е. полное теплосодержание газа сохраняется при его движении в трубке. При этом полная энергия газа в общем случае меняется вследствие работы сил давления, совершаемой над частицами газа. Уравнения (3.!3), (3,16) и (3.!7) представляют собой математическую модель установившихся непрерывных адиабатических (при д„= О) и неадиабатических (при д„Ф О) движений идеального 4 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 49 (при ~=0) или вязкого (при Ь) О) газа в слабо искривленных трубках с плавно меняющейся формой и площадью поперечного сечения. Напомним, что, согласно изложенному ранее (9 2), под величиной ((„можно понимать не только подвод тепла извне, но н тепло- выделение внутри газа, вызванное превращением в тепловую энергию других видов внутренней энергии газа.
Получим еще уравнение для изменения энтропии. Заменив в уравнении (3,17) Юе по формуле с()ге с() +Ус(У Тй+ Р +Ус(У Р и пользуясь уравнением импульсов (3.14), получим Т (а= )„(х+ фУЧ . (3.19) если движение не сопровождается необратимыми процессами, т. е. если д„г(х= Т с(л и газ идеален, так что ь =О. Если внешняя сила имеет потенциал с), то соотношение (3.20) можно проинтегрировать, получив в результате интеграл Бернулли *) — +1 —,— и=о.
г ор 2 (3.2 1) При установившихся движениях идеального газа в трубке тока бесконечно малого сечения дифференциальные соотношения (3.12), (3.20) и (3.17), полученные из законов сохранения массы, импульса и энергии, являются точными; при этом первые два из них не зависят от энергетических процессов, сопровождающих движение. В случае трубок тока в вязком газе соотношение (3.!2) по-прежнему справедливо; соотношения же (3.20) и (3.17) теряют силу, так как в них ') Бернулли (Вегпоппй Даниил (1700 — 1782) — швейцарский ученый, один из основоположников механики жидкости и газа. В 1725 †17 г. работал в России и был членом Петербургской академии наук (после !733 г. — иностранным почетным членом).
Величина — У' есть, таким образом, некомпенсированное тепло, выделающееся на единице длины трубки в единице массы протекающего газа вследствие необратимого характера движения газа в трубке с трением. Из трех уравнений (3.16), (3.17), (3.19) лишь два независимы; поэтому вместе с соотношением (3.13), следующим из закона сохранения массы, можно пользоваться любыми двумя из них. Отметим, что уравнение импульсов и уравнение энергии приводят к одному и тому же соотношению — Р+ Ус(У= ~м'с1х, (3.20) Р ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ не учтены, соответственно, сообщаемые газу импульс вязких напряжений на поверхности трубки и работа вязких напряжений на этой подвижной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
