Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.!.1). Отметим, что свойства а), б), в) (1.18) физически очевидны или совершенно естественны. В самом деле, свойство а) следует из определения Ь=е+ро и положительности внутренней энергии е и давления р (для сжимаемых капельных жидкостей, в которых давление может быть отрицательным, условие а) может не выполняться; однако в обычных условиях и капельные жидкости не допускают заметных отрицательных давлений). Очевидно, что условия б) всегда выполнены. Условия в) утверждают, что адиабатическое обратимое увеличение давления должно приводить к росту плотности нормального газа и его температуры — поведение, вполне естественное с физической точки зрения. И лишь условие г) не является физически очевидным или вытекающим из каких-либо общих термодинамических соображений; могут существовать реальные сжимаемые среды, в которых это условие не выполняется.
Однако все распространенные газы, их смеси, пары различных веществ удовлетворяют условию йррр=д'и(др*!, > 0 (заметим, что вместе с условием йрр < 0 отсюда следует д'р1до'!, > 0). В некоторых случаях вместо условия г) мы будем пользоваться более сильным условием гл. ь основныз понятия глзовои диилмнки Покажем, что через любую точку этого квадранта проходит одна и только одна адиабата о=йр(р, з,).
Действительно, из второго условия в) (1.18) следует до/дз(р > 0; поэтому при каждом данном р значение о монотонно возрастает с ростом з, меняясь в силу предельных соотношений (1.19) от 0 до со; этим и доказывается утверждение. Соотношения (1.19) показывают также, что оси о и р являются асимптотами для всех адиабат. Согласно Р условию (1.!8г) все адиабаты строго выпуклы в сторону осей о и р. И, наконец, согласно второму условию (1.18в) ббльшим значениям энтропии соответствуют адиабаты, лежащие дальше от начала координат.
зэяг На рис. 1.1.1 в плоскости о, р изоб- ражены адиабаты Пуассона и проведена ~~~1 пересекающая эти адиабаты прямая. В си- лу сказанного о поведении адиабат ПуасЮ Ж сана, при движении вдоль любой такой прямой с 1ца>0 (угол а обозначен на рисунке) в сторону роста давления энтропия сначала монотонно увеличивается, достигает максимума (в точке С) и затем снова монотонно убывает. При 18 а ( 0 энтропия вдоль прямой с ростом давления монотонно возрастает. Это поведение энтропии на прямых !па = сопз1 будет использовано в $ 4 настоящей главы.
Покажем, что в нормальном газе, как и в совершенном газе с постоянными теплоемкостями !пп а(р, з) =О. 1р-~0 в=сопя Для этого преобразуем выражение для а' следующим образом: др !, др! м' да1 а'= — ~ = — о' — ~ = — о — ~ . др (~ до (~ до~~' Рассматривая а как функцию й и з и произведя интегрирование при постоянной з, получим ь' г аь о = о' ехр ) †. а2 й- Так как при р — 0 одновременно выполнены условия Ь вЂ” О, о- со, то интеграл в этой формуле при р 0 расходится и, следовательно, а О.
Если выполнено условие (1.21), т. е. если Г > 1, то из (1.10) следует рда'!др~,=à — 1> О, и при з=сопз1 скорость звука монотонно возрастает с ростом давления. зк ВВЕДЕНИЕ 27 В случае газов большой плотности, образующихся, например, при взрыве конденсированных взрывчатых веществ*)„и в случае жидкостей уравнение состояния Клапейрона перестает быть хорошим приближением к действительности.
Причиной этого служит большая роль в таких случаях взаимодействия между молекулами. Характер этого взаимодействия сильно зависит от конкретного рода жидкости или газа, в связи с чем нельзя указать универсальные уравнения состояния, которые хорошо описывали бы свойства жидкостей и газов с сильным взаимодействием молекул. Как уже упоминалось, для ряда сред имеются подробные термодинамические данные в виде таблиц. Тем не менее для описания общих закономерностей поведения различных сред желательно иметь достаточно простые уравнения в аналитической форме. Простейшим термическим уравнением (состояния плотных газов является уравнение Р1(о — Ь) —.
(т Т. Постоянная Ь здесь учитывает объем, занимаемый молекулами; давление р неограниченно возрастает при о Ь. При достаточно высоких давлении и температуре (значительно больших их критических значений) это уравнение обладает удовлетворительной точностью. Можно легко установить, что внутренняя энергия в таком газе, как и в совершенном газе, есть функция только температуры: е=е(Т), по-прежнему ср — с,=)т, а уравнение адиабаты Пуассона при постоянном отношении теплоемкостей у имеет вид р(п — Ь)у=сопя(. Более сложным уравнением состояния является уравнение Вандер-Ваальса *е) ЙТ с Р = — --Е о-в о' служащ е обобщением предыдущего уравнения; второе "слагаемое в правой части уравнения Ван-дер-Ваальса учитывает силы взаимодействия (с ) О соответствует преобладанию сил притяжения) между молекулами при достаточно большой плотности среды.
Для внутренней энергии и энтропии среды Ван-дер-Ваальса с помощью (!.5) и (!.3) получаем т с1 Г е= е(Т) — — = ~ са(Т) г(Т вЂ” -+сопя(, г — ЙТ + )т' (п:+ сопя!. Г га (71 о — Ь т т, ° ) Плотность газообразных продуктов взрыва может составлять при атом 1,б — 2,0 г(смз. ч') Ван-дер-Ваальс (тап бег ттаа1з) Иоганнес Дндерик (1837 — 1923), голландский ~ученый, один из основоположников молекулярной физики и ряда направлений физической химии.
Гл. ь ОснОВные понятия ГА3ОВОЙ динАмики 28 Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно удовлетворительно описывает поведение газов и жидкостей в широком диапазоне изменения параметров и может рассматриваться как интерполяционная формула между уравнениями для газообразного и жидкого состояний. Прн некотором усложнении интерпретации уравнения Ван-дер-Ваальса его можно использовать и для описания поведения двухфазных сред, состоящих из находящихся в термодинамически равновесном состоянии жидкости и ее пара. С помощью еще более общего термического уравнения состояния р = Ф (о) + Т1 (и) при соответствующем подборе входящих в него функций Ф(и) и 1(от удается удовлетворительно описать поведение реальных плотных сред — газов, жидкостей и твердых тел в диапазоне давлений до 10' кгс/см' и температур до 1О'К.
С использованием этого уравнения получаем е=е(Т) — ~Ф(о)до, з=~ ~т)~й+~д1(о) Ь. Ранее уже указывалось, что в отличие от газов небольшой плотности сжимаемость и<идкостей и твердых тел невелика. Установим связь между зависимостью внутренней энергии среды е(р, Т) от давления и характеристиками сжимаемости среды. Из основного термодинамического соотношения (1.3) следует Из того(же соотношения в виде (1.4) путем несложного преобразования получаем д(й — Тз) = — з дТ+ одр. Выражение справа есть, следовательно, полный дифференциал, и поэтому (дз/др)г= — до~дТ) . Таким образом, Это соотношение и дает связь между зависимостью внутренней энергии среды от давления и коэффициентами ее теплового расширения, 1 до~ а = — „— ~ и упругого сжатия при постоянной температуре одТ 1р 1 до) о др1Г' Определим несжимаемую среду условием до=О.
Так как для такой среды ди)дТ)р — — О, до1др~1Г=О и, следовательно, де/др1Г=О,. то ее внутренняя энергия есть функция только температуры: е= е(Т). Э1. ВВЕДВНИВ Из (1.3) находим г Я= 1' 7 +со!.1. Ге'(7) дТ т, т. е. энтропия такой среды тоже есть функция одной только температуры. Таким образом, при обратимых аднабатических процессах в несжимаемой среде ее температура остается неизменной (адиабата и изотерма в такой среде совпадают), Установим в общем виде связь между коэффициентом теплового 1 до1 1 дТ~ расширения а = — — ~ и величиной — — ~ — относительным изме- РдТ !р Т дрь нением температуры среды при адиабатическом обратимом изменении давления.
Представим для этого зависимость о от р и Т в виде сложной функции о=о !р, з(р, Т)]. Очевидно, что Но из (1.4) следУет, что Тдз7дТ')р —— дЬ!дТ)р =ар. С дРУгой стоРоны, так как согласно (1.6) о=дй)др)„Т=д)1)дз)р, то (для гладких функций 71(р, з)) до/да)р — — дТ)др!. Таким образом, 1 др 1 ср 11'дТ ) р д7 !р р 7)др Коэффициент теплового расширения в левой части этого равенства для конденсированных сред очень мал.
Так, при 20'С для воды он равен 2 1О 'К '. Отсюда, зная теплоемкость воды и ее удельный объем, можно найти, что при изоэнтропическом сжатии воды от давления 1 атм до 1000 атм температура ее возрастает всего примерно на 1,5 К (в совершенном газе с 7=1,4 при таком росте давления абсолютная температура возрастает более чем в 7 раз и достигнет 2100 К). Для воды и ряда других жидкостей при высоких давлениях часто используют уравнение состояния Тэта близкое по форме к уравнению состояния совершенного газа с постоянными теплоемкостями в виде (1.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
