Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 5
Текст из файла (страница 5)
'*') От греческого еп1гор|а †повор, превращение. з ь вввдвние йд =- ае+ рйо = г(й — Р . ар Р' (1.2) Для обратимых процессов справедливо соотношение Т йэ = де + рйо, или Т аэ = Й)г — Р . Р' (1.4) В дальнейшем будут рассматриваться идеальные среды, состояние которых существенным образом зависит только от двух термодинамических параметров (такими параметрами может быть любая пара ') От греческого апнаЬа1ов — непереходимый. е') От греческого ептьапро — нагреваю.
йд') О (зиак равенства соответствует обратимым изменениям состояния). Если система (частица среды) теплоизолироваиа, хотя и может подвергаться различным силовым воздействиям, то йод=О. Такой пропесс называется адиабатическим *). Если адиабатический процесс обратим, то аз=О, т. е.
энтропия частицы в таком процессе сохраняется постоянной: з=сопз1. При адиабатическом необратимом процессе аэ ) Π— энтропия возрастает. Во многих важных приложениях механики сплошных сжимаемых сред адиабатический обратимый процесс служит хорошим приближением действительного процесса изменения состояния. Классической моделью, используемой в газовой динамике, является модель идеальной жидкости (идеального текучего тела), т. е.
модель сжимаемой сплошной среды, в которой и в состоянии покоя, и при движении отсутствуют внутренние касательные напряжения. Напряженное состояние среды в точке характеризуется при этом лишь одной скалярной величиной — давлением р, так что в идеальной среде р„= — рп (давление положительно, если оно оказывает сжимающее действие на площадку с нормалью и). Помимо внутренней энергии е и энтропии з единицы массы газа, плотности р (или удельного объема о=— 1/р), давления р и температуры Т, в дальнейшем будет использоваться еще термодинамическая величина и, определяемая формулой й=-с+ро, или И=с+ Р .
Р' Эта величина называется теплосодержанием или энтальпйей**) (едииицы массы) газа. Для идеальной среды, в которой работа внутренних сил сводится лишь к работе сил внутренних напряжений, эта работа, отнесенная к единице массы среды, равна рг(о; поэтому уравнение притока тепла для такой среды имеет вид ~в гл. ь основныв понятия глзовоя динамики или, после упрощения, условию др де Т вЂ” р1 — — =0. дТ до (1.5) При задании из двух функций р(о, Т) и е(о, Т) только одной это соотношение можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения второй функции. из перечисленных выше величин; разумеется, кроме пары о и р). Такие среды называются двухпараметрическими или простыми средами.
Все термодинамические параметры двухпараметрической среды выражаются через заданные два с помощью так называемых уравнений состояния. В некоторых случаях, когда кроме двух термодинамических величин среда характеризуется дополнительными параметрами физико-химической природы (например, концентрациями различных компонент смеси газов), ее тоже можно приближенно считать двухпараметрической. Так, если время релаксации дополнительных параметров много больше характерного времени изменения основных величин, то можно принять, что дополнительные параметры не изменяются совсем в рассматриваемых движениях — их значения остаются «замороженными»; если же время релаксации дополнительных параметров пренебрежимо мало, то в течение всего времени движения зти параметры имеют равновесные значения, которые являются известными функциями двух основных термодинамнческих параметров.
Часто используется уравнение состояния, связывающее доступные непосредственному измерению в широком диапазоне их изменения величины †давлен р, плотность р (или удельный объем о) и температуру Т. Это уравнение р=р(о, Т), или, в более общем виде, ),(р, о, Т)=0, называетсяЧтермическим уравнением состояния.
Одно только термическое уравнение состояния не дает полной характеристики термодинамической модели среды. Для определения зависимости от о и Т других термодинамических величин необходимо еще одно соотношение, например е=е(о, Т). Зто соотношение называется колорическим уравнением состояния, Входящие в термическое и калорическое уравнения состояния функции р(о, Т) и е(о, Т) не являются независимыми. Действительно, так как величина в правой части соотношения (1.3) есть полный дифференциал, то зти две функции должны удовлетворять условию совместности 19 вввдвниа Такое уравнение, как известно, допускает различные решения, и для того чтобы устранить эту неоднозначность, нужно выбрать какое- либо одно из решений.
После этого энтропия и как функция о и Т находится из (1.3) с точностью до аддитивной постоянной; теплосодержание Й определяется формулой Й=:е+ рп. Соотношения (1.3) и (1.4) показывают, что все уравнения состояния двухпараметрической среды можно определить, если задать лишь одно уравнение в виде е=е(о, з) или в виде й=й(р, а). Действительно, в первом случае из (1.3) следует де(о, з) де(о,'з) Т= — ' Р= —— дз ' оо а во втором случае из (1.4) получаем дй(р, з) ! дй(р, з) дз, " р др В дальнейшем при изучении движений идеальных сжимаемых сред мы будем считать термодинамическую модель среды заданной с помощью необходимого числа уравнений состояния е). При изменении состояния частицы в общем случае меняется и ее температура, Величина с, определенная формулой сгзТ =йд, (1.6) йд=ф~ йт.
Соответствующая теплоемкость с„= де(дТ („ называется теплоемкостью при постоянном объеме. Так как при постоянном давлении (при изобарическом изменении состояния) Ц= — ',"~ йт, дТ р то величина ср —— дй(дТ (р есть теплоемкссть при постоянном даелении. е) Точность уравнений состояния в виде сравнительно простых аналитических зависимосгей не всегда достаточна для практических целей при расчетах поведения реальных сред.
Поэтому для ряда сред (для воздуха, водяного пара, продуктов взрыва некоторых конденсированных взрывчатых веществ, воды, ряда металлов в др.) имеются подробные табличные данные об их термодинамических свойствах. где приток тепла Й) отнесен к единице массы среды, называется удельной теплоемкостью. Удельная теплоемкость зависит от вида процесса изменения состояния. При адиабатическом процессе тепло- емкость, очевидно, равна нулю.
Если при неадиабатическом процессе температура остается постоянной (состояние изменяется изотермически), то теплоемкость равна бесконечности. Из (!.2) следует, что при постоянном обьеме (при изохорическом изменении состояния) ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 20 ра= )/ — .~ ~ (1.5) называется акустическим импедансом *«). Многие качественные особенности течений идеальных сжимаемых сред завнсят от знака н величины производной дзп/др»),.
удобно «] Пуассон (Ромзоп) Симеон Дени (1781 — 1840) — французский „'математик и механик, автор ряда работ по газовой динамике (см. гл. !1). "*) От латинского ппрещге — препятствовать. Акустический импедаис ро — мера <жесткости» материала в том смысле, что величина — рзоз есть коэффициент пропорциональности между изменением удельного объема среды и требуемым для этого изменением давления. Важной характеристикой сжимаемой среды является отношение теплоемкостей у = ср/с„. Как уже говорилось ранее, среди различных процессов изменения состояния частиц среды важное место принадлежит аднабатнческому обратимому процессу, при котором энтропия частицы не изменяется, так что з(З=О н з=сопз(. Уравнение состояния вида в=з(р, и), где вместо р н о могут быть любые два независимых термодннамнческнх параметра, обращается прн этом в соотношепне вида э(р, и) =сопз1. Такая связь между термодннамическнмн параметрами прн з=сопз( называется адиабатой Пуассона* ) илн изоэнтропой.
Ряд важных свойств движения сжимаемых сред зависит от некоторых характеристик нзоэнтроп. Большую роль играет производная др/др~,. Эта производная для всех сред неотрицательна, так как прн всестороннем действии однородного давления на адиабатическн изолированную сжимаемую частнцу рост давления должен приводить к уменьшению объема частицы (н возрастанию ее плотности) н, наоборот, падение давления должно сопровождаться увеличением объема частицы. Величина а, определенная формулой = ~Ф! (1.7) имеет размерность скорости н называется скоростью звука. Это название объясняется тем, что, как будет показано в дальнейшем, именно с такой скоростью распространяются в сжимаемых идеальных средах малые возмущения давления н, в частности, звуковые волны.
Характерные значения скорости, с которой распространяется звук в нормальных условиях, для большинства реальных сред лежат в следующих пределах: для газов н паров — от!50 до 1000 м/с, для жидкостей — от 750 до 2000 м/с, для твердых тел — от 2000 до 6000 м/с. В модели идеальной несжимаемой среды скорость звука, очевидно, равна бесконечности (плотность среды не меняется прн изменении давления). В некоторых вопросах динамики идеальных сжимаемых сред имеет значение также производная др/дп ), = — р' др/др ), = — р'а'. Величина 41.
вввденив ввести связанную с этой производной безразмерную величину Г: дрох~ о дзп 1 о« дзо ) (1.9) дп !а ( дп )е дР» !з п«дР» )з 1,др)» За ее роль в теории движений идеальных сжимаемых сред величину Г можно назвать фундаментальным термодинамическим параметром этой теории. Из определения величин а и Г с учетом того, что ядр!з=п, получаем дае 1 р до» 1 дат ~ (!.10) ,дя !а оз,дР !а дй )з Рассмотрим более подробно некоторые термодинамические модели, которые используются при теоретическом изучении движений газов, жидкостей и твердых тел в различных условиях.
В достаточно разреженных газах среднее расстояние между молекулами велико сравнительно с расстоянием, на котором проявляются силы межмолекулярного взаимодействия, так что потенциальная энергия этого взаимодействия мала по сравнению с энергией самих молекул. В связи с этим внутреннюю энергию газа е(о, Т) можно считать не зависящей от расстояния между молекулами, т. е. от объема, который занимает данная масса газа. При де)ди!г«0 из условия совместности (1.5) получаем, что термическое уравнение состояния такого газа имеет вид р=П )Т, где ((о) — некоторая функция удельного объема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
