Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 10
Текст из файла (страница 10)
с„ М+ ~ () ро„г(о)!(г=О. (2.15) 8!,— 8,-', ~ (~ РЬ„о„еЬ1г((=-0. (2.16) Вновь из того, что состояния газа вне сосуда при ! =- 0 и ! =-(, совпадают, заключаем (считая газ в сосуде при ! = г, однородным и неподвижным), что разность 8!,— 8, равна Ме, где е — внутренняя энергия единицы массы газа в сосуде при Г=!',. Так как граница у' взята далеко от сосуда, где скорость движения газа сколь угодно мала, то величину Ь, на границе У можно считать совпадающей с $2 ее значением в покоящемся газе Ь,=Ь+ — жЬ„, т. е.
одинаковой во всех точках границы К в течение всего времени от 0 до 1,. По- этому, с учетом выражения (2.15), последнее слагаемое в уравнении энергии (2.!6) равно — МЬ„. Таким образом, получаем равенство е(р„, Т)=Ь(р„, Т„), Если в уравнении баланса энергии (2.13) пренебречь в течение времени от ! = 0 до 1 = г! теплообменом со стенками сосуда и притоком тепла к газу сквозь поверхность К и учитывать лишь работу сил давления на этой поверхности, то после его интегрирования по времени получи 4о ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯГИЯ ГАЗОЬОИ ДИНАМИКИ из которого и определяется температура Т. Из уравнения состояния, связывающего плотность с давлением и температурой, найдем плотность р газа в сосуде и массу газа М =рУ". Если газ совершенный и имеет постоянные теплоемкости с и ср, то е=с,Т, и =сеТ„, так что т с„ с Т=с Т„или Р Р т.
е. температура газа в сосуде после закрытия крана превышает температуру окружающего газа в у раз. Плотность р выразится формулой р= р„/у, а масса М газа в сосуде — формулой р ер М= —" 7 При последующем выравнивании температуры газа Т в сосуде с температурой окружающей среды Т„плотность газа в сосуде р остается неизменной (сосуд замкнут), давление же в нем изменяется от значения р=р„при (=1е до значения р„которое определится из уравнения состояния. Для совершенного газа ре те р„т ° где Т,— температура газа в сосуде после ее выравнивания с температурой окружающей среды, т, е, Т, = Т„, так что р, т р„=т= Эта формула может служить для экспериментального определения отношения теплоемкостей у по измеряемым в опыте давлениям р„ и р,. Из уравнения баланса энергии (2.13) путем его интегрирования по времени от 1=1е до достаточно болысчх ( (1- оо) с учетом притОКа тЕПЛа СКВОЗЬ ПОВЕРХНОСТЬ е ПРИ ВЫРавинзаинн тЕМПЕРатУР ПО- лучим 8с= — 8ь= ~ Ой=Я Е, Отсюда переданное сквозь поверхность Т наружу тепло, равное — Я, есть (отметим, что тепловое состояние стенок сосуда при Е = (е и 1 = оо одно и то же) М вЂ” 0 = М (е — е„) =- М (й„— е„) = — р„.
Это тепло выделяется вследствие днссипации механической энергии газа при заполнении им сосуда и равно работе сил давления на поверхности У (объем Уо„ протекающего сквозь эту поверхность газа за время заполнения сосуда равен М!р„, а давление на ней сохраняется равным и„).
Х 2 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 42 Пример использования законов сохранения при установившемся течении: вертолет в режиме зависания. Пусть вертолет с располо. женным горизонтально несущим винтом неподвижен относительно удаленного от него воздуха. Представим схематически вертолет (рис, !.2.4) в виде диска в плоскости вращения винта и подвешенного к нему груза с общим весом 6. От винта вниз отходит струя воздуха, в результате чего на винте возникает направленная вверх подъем- ! ная сила Р, уравновешивающая вес Ц. Дейст- ! Р вием силы тяжести на воздух будем пренебре- ,' гать. ! Окружим вертолет замкнутой контрольной ! поверхностью г, удаленной от него настолько, ! чтобы давление всюду на поверхности можно У было считать постоянным и равным давлению в невозмущенном воздухе.
Применим к газу внутри Рис. !.2.4 поверхности г законы сохранения в интегральной форме. Отходящую от винта вниз струю будем считать цилиндрической. Пусть 2 = д', + У„ где г, †час поверхности г", пересекаемая струей; примем, что участок г, горизонтален и скорость газа на нем )с, распределена равномерно и направлена вниз. Из уравнения баланса массы (2.8) получим ~ ро„2Ь+ р,1~,У,=О.
(2.17) Уравнение баланса импульсов (2,9) в проекции на идущее вниз направление дает ~ рио„2Ь+рЯКс=Р— ~ рсоз(п, х)сЬ. (2.18) Так как в точках поверхности г, при ее удалении от вертолета скорость и может быть сделана сколь угодно малой, а давление р стремится к постоянной величине р„, то с учетом (2.17) оба интеграла в равенстве (2.18) стремятся к нулю при удалении сг" в бесконечность, так что р,)';сг, = Р, (2.19) т. е.
подъемная сила винта равна по величине импульсу отбрасываемого винтом в единицу времени воздуха в струе. Обозначив буквой )Р мощность, сообщаемую винтом воздуху, нз уравнения баланса энергии (2.13) находим гл. ~ основныв понятия глзовоп дннхмики При удалении контрольной поверхности от вертолета величи~ а Ь, под знаком интеграла стремится к постоянной Ь„, так что, учитывая (2.!7), получим Я = рРУ,(ф+Ь,— Ь ).
(2.20) Согласно этой формуле мощность %' расходуется на сообщение проходящему через винт воздуху кинетической энергии и избыточного теплосодержания. Образование же тяги, как это следует из выражения (2.19), связано с сообщением газу только кинетической энергии. Отличие от нуля разности Ь,— Ь„=.Ь(р„, з,) — Ь(р„, з„) обусловлено ростом энтропии при необратимом процессе подвода механической энергии к воздуху в винте. Так как дЫдз~р — — Т ) 9, то прн з, ) з„эта разность, очевидно, положительна. Прн данной подъемной силе Р мощность Ж' согласно формуле (2.20) минимальна при з, =-з„и равна Отношение мощности Ф'„, идеального винта к затрачиваемой в действительности есть коэффициент полезного действия винта (з! ( 1): уй (22 ) Используя выражения (2.19) и (2.21), находим и (2т)(Р')мз рьз~К1в Отсюда следует, что при данной мощности, передаваемой винтом воздуху, целесообразно лопасти винта иметь по возможности длинными, для того чтобы площадь сечения отбрасываемой винтом струи была наибольшей и соответственно скорость воздуха в струе — наименьшей.
На практике значения г, ограничиваются прочностью винта и его весом. Отметим, что и в других случаях, когда требуется получить большой поток импульса при заданном значении потока энергии (если эта энергия в значительной мере является кинетической энергией), выгодно иметь малую скорость и соответственно большой массовый расход газа, а не наоборот. 9 3. Установившиеся движения газа в трубке Рассмотрим установившееся движение газа в объеме внутри контрольной поверхности, имеющей вид трубки (рис.
1.3.1), замкнутой ,с концов плоскими поперечными сечениями г", и К (этими же буквами будем обозначать и площадь соответствующих сечений). Боко- Зз. естлновившиеся движения глзл в тггеке вая поверхность трубки К, может быть поверхностью тока, мысленно выделенной внутри потока газа, но может частично или целиком совпадать с ограничивающими газ твердыми поверхностями.
Внутри трубки могут находиться обтекаемые газом тела; их поверхность принимается за часть поверхности у',. Предположим, что в плоских сечениях К, и г" параметры газа. распределены равномерно и скорость направлена нормально поверхности сечений; скорость в сечении Ф, будем считать направленной внутрь объема.
Допустим также, что вязкими нормальными напряжениями и тепловыми потоками в сечениях и л т, и Ф можно пренебречь. 4Ъ Применим при сделанных допущениях к газу внутри контрольной поверхности законы сохранения Рис. !.3.! (2.8) †(2. 1!). Уравнение сохранения массы. Уравнение (2.8) дает следующее соотношение: р'г"г" = р,!', У, — ~ ро„гЬ. Произведения р,)';У, и р1 а" называются массовым расходом (илн просто расходом) газа в соответствующих сечениях трубки.
Величина Мнн ~ ро г(о ~ге есть суммарная масса газа, втекающего за единицу времени в трубку между сечениями г, и У' через поверхность г",. Соотношение (3.1) определяет Мнн по известным значениям расхода газа в сечениях 'г", и а. Если величина Мьн задана заранее или известным образом зависит только от значений параметров газа в сечениях К, и г", то уравнение (3.1) связывает параметры газа в сечениях т, и К соотношением, не зависящим от распределения параметров в объеме трубки между зтими сечениями. В частности, при М""=О это сост. ношение имеет вид р~~= р,р,,~, (3.2) и выражает равенство значений расхода газа в сечениях а, и Ф. Уравнения сохранения количества движения (импульса) и момента количества движения (момента импульса).
Из уравнения (2.9) получаем (р+р$")д' — =(р,+ р У )Ф,— ' — ~ р3/~„Н~+ ~ р~м'г(т — Я. (33) ~я в ф~ Здесь ~<м — внешняя сила, действующая на единицу массы газа ! ~с ь ОснОВные ИОнятия ГАЗОВОЙ динАмики внутри трубки, а К=. — ~ р„~Ь (3.4) У» есть главный вектор сил, действующих на поверхность У, со стороны протекающего в трубке газа.
Если поверхность г", твердая (рассматривается участок трубы и скрепленные с трубой тела внутри нее; последних может не быть), то Р есть действующая на У, сила реакции протекающего сквозь трубу газа. Величина (р+ р$'*) У вЂ” называется полным импульсом газа в сечении трубки. Величина К'и= — ~ рко„оо есть суммарный импульс Уе газа, втекающего за единицу времени в трубку между сечениями Ф, и У через поверхность У,. При отсутствии массовых сил формула (З.З) связывает силу К со значениями полного импульса газа в сечениях У, и г" и импульса втекающего сквозь поверхность г", газа и определяет силу лс, если эти величины известны.
Силу Ю нельзя задать заранее, так как согласно (3.4) она зависит от распределения напряжений на поверхности г", между сечениями г", и У. Единственным важным частным случаем, когда это можно сделать, является течение идеального газа в непроницаемои цилиндрической трубке без помещенных в нее тел и при отсутствии массовых сил. В этом случае векторы К„1l, а следовательно и Ас, направлены вдоль образующей трубки; с другой стороны, напряжения р„, а вместе с ними и К, ортогональны образующей. Таким образом, К=О. Проектируя уравнение (3.3) на направление образующей, получаем соотношение между параметрами газа в сечениях АГ", И Г" В ВИДЕ (3.5) р+ Ф"=,.+рЛ, не зависящем от распределения параметров в объеме трубки между этими сечениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
