Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Ргошко, см. ссылку ка с. 333, рек околозврковыв течения. овшив свойства Зэа ~'-~-Хт)=к~)М» — 1)у(при этом (Х(- оо с соблюдением условия ((1 !. У! Ме-1! У ' Таким образом, закон подобия, выраженный, например, формулой (22.6), содержит закон подобия Прандтля — Глауэрта и закон подобия Аккерета. Так, при обтекании профиля сверхзвуковым потоком согласно закону подобия Аккерета ей сх = соп51. У!Мз — 1! ' Отсюда следует асимптотический вид функции п(Х) в формуле (22.6) при больших Х: соо51 й' (х) у" х ' В частности, для клина соп51=2.
На рис. 3.22.9, а эта асимптоти« ческая зависимость приведена в виде штриховой кривой. В случае, когда скорость набегающего потока точно равна скорости звука, т. е. М=1, соотношение (22.6) запишется в виде — д (О) — соп51 откуда следует, что при М.= 1 сопротивление профиля из данного семейства аффинноподобных профилей пропорционально его относительной толщине в степени 613. Ранее мы видели„ что для сверхзвукового потока в линейной теории сопротивление профиля пропорционально второй степени его относительной толщины; в дальнейшем (9 23) будет показано, что при очень больших сверхзвуковых скоростях сопротивление профиля пропорционально третьей степени его относительной толщины.
Перейдем к изучению некоторых свойств течений с переходом через скорость звука. Докажем сначала, что если в плоском потенциальном потоке двигаться вдоль изотахи — линии постоянного модуля скорости )т=)те( ()т,р (и постоянных значений М=М'<1), не совпадающей с линией тока, то вектор скорости будет поворачиваться монотонно*).
Действительно, запишем тождественное соотношение Согласно выражению (3.12) левая часть этого соотношения при М(1 не отрицательна и, следовательно, знаки ( — ) и ( — ) оди(,д»)р )~ду,)» иаковы. Поэтому (рис. 3.22.10), если двигаться вдоль линии )т=У»= ") Этот результат известен как теорема А. А. Никольского и Г. И. Тагаиова (1946). 13 г.
Г. черний гл. и!. истлновившився движения 394 = сонэ( так, чтобы область У( У' оставалась, например, слева, то вектор скорости будет поворачиваться по часовой стрелке. Этот вывод справедлив, в частности, для звуковой линии, на которой У=- У,р. Если течение с обеих сторон звуковой линии дозвуковое или сверхзвуковое, то на такой линии 8=сонэ(. Так как на ней и У=сонэ(, то, следовательно, !йр=О и такая линия является эквипотенциалью. Рассмотрим теперь местную сверхзвуковую зону, примыкающую к обтекаемому контуру, с непрерывным течением в ней (рис.
3.22.! 1). Покажем, что это непрерывное течение может разрушиться при сколь Рис. 3.22.!О Рис. 3.22. ! ! угодно малом изменении обтекаемой границы в сверхзвуковой области течения, например, при замене малой части границы отрезком прямой. Произведем такую замену границы на участке АВ. Возьмем на этом участке точку О. Пусть в точке О У=У„О=О,. Выходящие из этой точки характеристики 5 и 6+ пересекают звуковуюлинию в точках Р и Р, Вдоль характеристик справедливы соответственно соотношения (9.1): О+ ~(У)=Оо+ ~(Уе) Π— ~(У) =Ое — ~(Уо) (22 7) так что Ор +~(Уео)=0,+~(У,), 8р — ~(У, )=8,— ~(У,), (22,8) Отсюда Ор + Ор = 20о.
При изменении положения точки О на прямолинейном отрезке АВ точки Р и Р, на звуковой линии смещаются, причем с(Ор + + 4(Ор = О. Так как вследствие теоремы о монотонности изменения угла О вдоль звуковой линии знаки с(Ор и Юр совпадают, то Ор и Ор остаются при изменении положения точек Р и Р постоянными. Согласно уравнениям (22.0) при этом должна быть постоянной и скорость У, во всех точках прямолинейного участка границы, Но тогда из соотношений (22.?) следует, что в характеристическом треугольнике АВС течение однородно, так что к нему примыкают волны Прандтля †Майе. Рассмотрим для определенности волну, примыкающую к характеристике АС.
Эта волна должна примыкать к звуковой линии вдоль прямой характеристики Р,Р„на которой М=1. Но в волне Прандтля — Майера характеристика, на которой 5 22. ОКОЛОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 395 (22. 1! ) На звуковой линии ЛР=О, так что ее уравнение есть уравнение параболы х =-: — — су*. Г+1 (22.!2) 2З М=-- 1, является двойной, т. е. никакая характеристика ОР другого семейства не может ее пересекать на участке Р,Р,.
Полученное про- тиворечие доказывает невозможность непрерывного течения в местной сверхзвуковой зоне около границы с пргмолинейным участком. Отметим, что если участок границы Ав вогнут в сторону потока (йО, > 0 при движении вниз по потоку),,о (а, +(0,.=2(0„ что противоречит теореме о монотонносги (Ийр (О и г(Ор (0). Следовательно, непрерывное течение в местной сверхзвуковой зоне около контура с вогнутыми участками Вообще невозможно. Изучим теперь течение в окрестности центра околозвукового те- чения, предполагая составляющие скорости трижды непрерывно дифференцируемыми функциями координат. Центр течения поместим в начало координат, а ось х направим по скорости в этой точке.
Ограничимся случаем течения, симметричного относительно оси х, н примем, что ускорение газа в центре конечно и не равно нулю. Уравнение (22,1) для потенциала возмущений относительно скорости в центре примет вид (У = а = У„,): (22.9) Нетрудно проверить, что это уравнение имеет точное решение ф=$'„2 [с — +(Г+!)с' у +(Г+1)'с' — 1. (22.!0) Здесь величина с пропорциональна ускорению газа в центре и равна Можно показать [51, что это решение является главной частью степенного разложения решения точного уравнения для потенциала возмущений скорости по координатам вблизи центра (в том числе и для течений, несимметричных относительно средней линии, напри- мер, для части изображенного на рис. 3.14.11, б течения вблизи точки касания звуковой линии и характеристик).
Из выражения (22.10) получаем и= !'„, [сх+ (Г+ 1) с'Я, о — )'„2 [(Г+1)с ху+(Г+ 1) с' — ~, у21 р — Р„=ЛР= — р,21~2, ~ сх+(Г+1) с' — . ГЛ. !11. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Уравнение линии, на которой скорость направлена вдоль оси х, т. е. линии, где В=О, есть х — — су'. г+! (22.13) Найдем, наконец, уравнения характеристик в+ и и" , проходящих через центр. Из уравнения (22.9) и выражения (22.11) для и следует, что характеристики определяются уравнениями — ~~~ ~~-н~+ ~~*"-"' 2 ' Решениями этих уравнений, удовлетворяющими условию х(0)= — О, также являются параболы х = — су' Г+! 2 (22.14) г+! х = — — су'. 4 (22.15) При этом характеристика и"+ представляет собой участок параболы (22.14) при у> 0 и участок параболы (22.15) при у< О. Соответственно, характеристика 6 состоит из участка параболы(22.15) ви' Рис. 3.22. !2 Рис.
3.22.!3 при у>0 и участка параболы (22.14) при у<0. Таким образом, характеристики имеют в центре точки перегиба (с разрывом кривизны). Линии, определенные формулами (22.12) — (22.15), изображены на рис. 3.22.12. Любую пару симметричных относительно оси х линий тока рассмотренного течения можно принять за стенки сопла (рис. 3.22.13) и получить таким образом семейство течений в соплах Лаваля с переходом через скорость звука. Течение между любыми двумя линиями тока с одной стороны оси х можно рассматривать как течение в искривленном канале с переходом через скорость звука. Можно убедиться, что все зти течения удовлетворяют околозвуко- $22. ОКОЛОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА 397 вому закону подобия, аналогичному полученному выше для обтекания тонких профилей. Как показывает сравнение зависимостей (22.12) для звуковой линии и (22.13) — для линии 0=0, звуковая линия отклоняется вверх по течению от места наибольшего сужения канала (где на стенках 0=0). Из расположения характеристик следует, что область влияния сверхзвукового течения на дозвуковую часть потока ограничена отрезками характеристик В' и Ж, составляющими параболу (22.14).
Возмущения сверхзвукового потока справа от этой линии н, в частности, изменение формы стенок сопла правее точек А и А, не влияет на смешанное течение левее линии (22.!4), если, конечно, при этом в потоке не образуются скачки уплотнения, которые могут проникнуть за эту линию. Таким образом, одно и то же смешанное течение левее линии (22.!4) может быть продолжено различными способами в сверхзвуковую область. При этом можно пользоваться описанным ранее методом характеристик.
Обратим внимание на то, как область течения вблизи околозвукового центра отображается на плоскость годографа. Рассмотрим в плоскости течения параболу г+! х — — Л вЂ” су', 2 где — оо ( Л (ОО. Согласно формулам (22.11) этой параболе в плос- кости годографа и, О соответствует линия О = (Тзр(1 + 3Л) — У', (Г+ !)з = и„, (1 + Л) — с'у'.
г+1,, Исключив параметр у, получим пз= — (Г+ 1)У вЂ” * из. 2 (!+зл) 9 зр (! ! Л)з (!+зл) ! Рафик функции !А=~ ! !.Л)з изображен на рис. 3.22.!4. Из него ( следует, что область, где Л( — 1, т. е. область дозвукового течения левее звуковой линии в плоскости х, у однозначно отображается на область внутри звуковой окружности (в принятом приближении— левее линии и=0) в плоскости годографа (рис. 3.22.! 5; соответствующие области обозначены на рис.
3.22.12 и рис. 3.22.!5 одинаковыми цифрами). При — !(Л( — 1/2 отображение также однозначно. Значение Л= — 1!2 соответствует в плоскости течения отрезкам характеристик Ж' и гр'- на параболе (22.15), при этом !2=2. Это же значение !А получается при Л=1, что соответствует отрезкам характеристик '6' и Ж- на параболе (2234). При 1з(2 каждому р отвечают три значения Л: одно ( — 1/2<Л( — ! !3), соответствующее гл нс устлновившнвся лвнжвння 398 области между параболами (22.12) и (22.13), второе ( — 1~3 < )ь (1), соответствующее области между параболами (22.13) и характеристиками (22,14) и третье (А) 1), соответствующее области правее характеристик (22.14).
Таким образом, годограф сверхзвукового течения вниз по потоку от характеристик в" и Ж (22.15) является трехлистным: области 3, 4, б плоскости течения отображаются на одну и ту же область Рис. 3.22.15 Рис. 3.22. !4 плоскости годографа. При полном обходе центра в плоскости течения область между характеристиками й~ и й в плоскости годографа проходится трижды (см. рис. 3.22.15). Выше было изучено течение в окрестности центра околозвукового течения для случая, когда ускорение газа в центре конечно и отлично от нуля. Интересными и важными для некоторых приложений являются околозвуковые течения, для которых зто условие не выполнено; однако мы не имеем здесь возможности изложить соответствующие результаты (см., например, [51).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
