Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Так как в рассматриваемом приближении возмущение давления пропорционально продольной составляющей возмущения скорости, то краевые условия на вихревой пелене сводятся к непрерывности производной дф/ду н непрерывности производной дф1дх в точках вихревого следа за крылом др ) (др ду )д=оо ду )1!= — о' дф( дф дх )о=~о дх )у= о ' (21.3) (21.4) Отсутствие возмущений в бесконечности перед крылом дает условие ф О при х — — оо. (21.5) Как и при обтекании профиля, разделим общую задачу на две: задачу об обтекании симметричного относительно плоскости у=О крыла ненулевой толщины и задачу об обтекании бесконечно тонкого изогнутого крыла.
В первом случае потенциал возмущений симметричен относительно у, т. е. 1р(х, — у, г) =ор (х, у, г), а во втором — антисимметричен, т. е. ф(х, — у, г)= — 1р(х, у, г). Для потенциала возмущений ф от распределения источников по поверхности крыла х" получим формулу 1 ('(' о(О, +О, О)обад~ (21.6) 2п,),) у (х — й)о+тоуо+то(г — Ь)о Рассмотрим вначале более простой случай дозвукового обтекания симметричного крыла. Будем искать решение задачи с помощью распределения источников по площади проекции крыла на плоскости х, г.
В силу симметрии течения относительно плоскости у= О для интенсивности источников о(д на площадке ляд~ в окрестности точки $, ~ можно написать дд= 6,+О, цпйц — (й,— О, даа~=2пд,+О, д)дд~. Э З!. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА 375 Огсюда для компонент скорости находим выражения и= ' ('(' '(й +' "(й — х) "~"~ 2л,),) !(~ х)з 1 тзуз ! тз(~ г)з!з!з' т'у ('(' оЯ, -1-0, Ь) з(»з(Ь (21.7) 2л ) ) 1(г х)з ! тзуз ( тз (Г г)з!з!з ' (тз (' о($, +О, ь)(ь — г)зЦз(ь 2л ~ 1(» — х)з+тзуз+ то (ь — г)з!з)з Интегралы в этих выражениях расходятся при у=О и 5=х, ь=г по квадратичному закону. Для избежания этого поступим следующим образом. Будем считать, что контур крыла ограничен кривой г= ~з(х)„О <х(1, причем Б(х) есть однозначная функция х.
Так как нас более всего интересует продольная составляющая скорости и, позволяющая найти распределение давления по крылу, ограничимся преобразованием выражения только для этой составляющей скорости. Представим в выражении (21.7) для и интеграл по площади в виде интеграла сначала по ь от — з(х) до + Б(х), а затем по х — от 0 до 1, причем в первом интеграле проведем интегрирование по частям. В результате получим ! ( (' Б — х (Г о($, +О, з) (з — г) 2л (зз — х)з+ тзУз ~ У (» х)з ! тзуз 1 тз О г)з о о(», +О, — ) (з+г) (' о»(» +О ь)(ь — ) з(ь 1' ($ — х)'+т'уз+зл'(з+г)' о У (» — х)з+тзуз+(ь — г)' ~ Особенность, возникающая здесь при у=О и 3=х, можно устранить, беря главное значение интеграла.
При у=О получим ! и(х, О, г)= — ( (1 (~' +О' )( ) + 2зз,) ~ ) (» — х)з+злз (з — г)з о ь з (») о(», +О, — з) (з+г) ( о» (зз, +О, зз) (зз — г) !(зз у"(ц — х)'+тз(з+г)' ). )! (» — х)з-(-тз(Ь вЂ” г)з Функция о(5, + О, ь) определена для симметричного относительно у=О крыла краевым условием (21.2) д, +о, р=и',д, о, р. (21.9) Условия (2!.3) и (21.4) удовлетворены автоматически в силу симметрии течения относительно плоскости у=О; вихревой пелены при этом вообще иет. Условие в бесконечности (2! .5) удовлетворено, как это следует из исходного выражения (21,6) для потенциала возмущений зр. 376 ГЛ.
НЬ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Выражение (21.8) вместе с условием (21.9) позволяет при заданной форме крыла определить распределение давления по его поверхности. В предельном случае цилиндрического крыла бесконечного размаха (т. е. профиля) уравнение поверхности крыла не содержит г, и внутрен- ний интеграл в выражении для и исчезает, РГ +игр таК КаК О~=О.
Фактическое применение формулы (21.8) Рис. 3.2!.2 в большинстве случаев требует довольно громоздких вычислений. В случае крыла, несимметричного относительно плоскости у=О (называемого несущим крылом, так как в общем случае такое крыло обладает подъемной силой), будем считать„ что его толщина равна нулю, т. е. рассмотрим крыло в виде участка искривленной поверхности. Так как значения возмущения давления, пропорциональные дф)дх, различны с двух сторон поверхности крыла, то и значения потенциала ф в точках поверхности крыла с обеих его сторон в общем случае различны.
В частности, они различны и при подходе к точкам задней кромки крыла сверху и снизу. В силу условия (21.4) эти разные значения потенциала сохраняются далее на вихревой пелене с двух ее сторон. Рассмотрим (рис. 8.21.2) циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, начинающемуся в точке Р(х, + О, г) плоскости у=О и приходящему вновь в ту же точку Р(х, — О, г) с другой стороны плоскости у = О: Г=ф(~ Л) — с(! — ф(х, — О, г) — ар(х„+О, г). Р дСВ Здесь Ф=(7х+ ф. Так как потенциал ф в рассматриваемом случае антисимметричен, т.
е. ф(х, — у, г)= — ф(х, у, г), (2! .10) то, следовательно, Г=- — 2ф(х, +О, г). (2!. !!) Согласно выражению (18,2) для изменения циркуляции по контуру, перемещающемуся вместе с частицами газа, д ( Р Раа сИ Щ,) 2 2 ( ()г баа) — аа Р",. Так как на вихревой пелене давление не терпит разрыва, то и модули скорости с обеих ее сторон одинаковы, так что дг дф(х, +О, г) — = — 2 ' ' = — 2(фх(х, '.О, г)((7+и)+фгса)= О, поэтому в рамках линейного приближения и при наличии скачка потенциала на вихревой пелене ф„'(х, + О, г)=-О. Это условие сле- %2!.
ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА 377 дует, конечно, нз условия непрерывности давления (21.7) н свойства (21.10) потенциала ьр, В области у=О вне крыла н вихревого следа потенциал непрерывен, так что в этой области можно считать ф(х, О, г) =О. В дальнейшем будет показано, что прн наличии у крыла подъемной силы (направленной вверх — в сторону роста у) вертикальная скорость о в точках вихревой пелены не равна нулю н направлена вниз, т. е.
вихревая пелена по мере удаления от крыла отклоняется вниз (напомннм, что ь краевое условие на ней снесено на плоскость у=О). (й Для решения задачи об обтекании несущего крыла распределим циркуляцию по кон- А г-(4 турам, охватывающим крыло, нлн, как это следует нз выражения (21.! 1), зададимся т распределением потенциала в точках полу- Рис. 3.2!.3 полосы в плоскости у = О, состоящей нз проекции крыла т" н проекции вихревого следа %' (рнс. 3.21.3).
В выражении (21.7) функция о(х, у, г) удовлетворяет, очевидно, уравнению (21.1) н представлена интегралом от ее значений по некоторой области плоскости у=О. Поэтому для искомого потенциала можно написать У ф(Б +О ь)аг'ь (2! 12) 2и,),) !(~ х)й ! тйуй ! тй(~ г)й)йlй" Этот потенциал удовлетворяет условию в бесконечности. Для определення функции ф($, +О, Ь) необходимо использовать краевые условия (21.2) н (21.3). Пусть крыло симметрично относительно плоскости г=О н уравнення его передней н задней кромок суть соответственно (рнс. 3.21.3).
х=Х (г), х=Х (г). Размах крыла, т. е. его протяженность вдоль осн г, обозначим через 2Ь. Интеграл в выражении (21.12) вычислим, интегрируя сначала по е от $ =- Х до с = со н затем по ь от — Ь до Ь; прн этом первый интеграл возьмем по частям н учтем, что ф„'(х, +О, г) = 0 в точках вихревой пелены н ср(Х, +О, г) =О, ф(оо, +О, г) =йр(Х„, +О, г). В результате получим Ь й!,, „, !=+ (~,',,~й!х,!ь!. -Ьо, с!- -ь — с(~. (21.13), х !$) рх(Б — х) й -)- тйуй+ тй (( — г)' ГЛ. ИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 378 Входящую в это выражение величину гр(Х„+О, ~) удобно представить в виде интеграла от гр,'=и по $ от Х до Х,. Тогда выражение (21.13) можно записать в виде 2п 1,) уз+(Ь вЂ” а)' [ 1 (~ (Е, Р (5 х)з+шаузт щз(~ а)з 1 (21.14) где интеграл распространен лишь на плогцадь проекции крыла.
Формула (2! .14) дает решение обратной задачи, когда задано распределение давления по поверхности крыла, т. е. задана функция и(х, +О, ~). В случае прямой задачи, когда задана форма поверхности крыла, т. е, задана функция гр,',(х, +О, г), выражение (21.14) позволяет получить интегральное уравнение для определения функции .и(х, +О, г). Для этого нужно выполнить дифференцирование выражения (2!.14) по у и перейти в нем к пределу при у — О. Выполнение этих операций требует осторожности из-за расходимости получаемых промежуточных выражений. Не останавливаясь на выкладках, приведем окончательный вид получаемого интегрального уравнения о(х О, г) = — ) ') Чзхг (е, +О, 9) [1 Левая часть этого уравнения известна из краевого условия (21.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
