Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 76
Текст из файла (страница 76)
При М ) 1 потенциал (18.27) от распределенных на оси цилиндрических днполей отличен от нуля лишь в точках внутри области влияния этих диполей, т. е. в точках, расположенных при х > О внутри угла между плоскостями у= х(ц р. В точках вне этого угла потенциал возмущений равен нулю (точка Р' на рис. 3.18.4; область ее зависимости не содержит диполей). Для точки Р (рис. 3.18.4) внутри области влияния диполей интегрирование в выражении (18.27) 8 18. метод мАлых ВОзмущений нужно производить по отрезку оси г, попадающему в область зависимости этой точки (т.е. по ь от ь до ь+ на рис.
3.18.4). Положим 1 г в этом выражении т8=М' — 1 и г — ь= — ! х' — т'у8З!па; э!па измем няется на отрезке К, ь+) от 1 до — !. При такой замене интеграл легко вычисляется, и после подстановки в найденное выражение вместо х и у величин х — $ и у — т) получаем д (х — 1) 2ям [(х — й)8 — м8 (у — ч)81 ' (18.28а) Зто — потенциал диполя в плоском сверхзвуковом потоке.
Сравнение выражений (18.28) и (18.28а) показывает, что и при М < 1, и при М > 1 для потенциала диполя справедлива единая формула (18.28) с т'=1 — М' (постоянный множитель перед скобками в формулах (18.28) и (18.28а) несуществен, однако можно считать, что в формуле (18.28) в нем т=у ! — М* при М < 1 н т=у' М' — 1 при М > 1). Процедура, аналогичная проделанной для получения потенциала диполя в плоском потоке, с непрерывным распределением на осн г осесимметричных источников (18.26) и последующим интегрированием по ~ с целью получения потенциала источника в плоском потоке приводит в случае М < 1 к расходящемуся интегралу.
Поэтому воспользуемся косвенным путем получения этого потенциала. Будем считать потенциал диполя (18.28) производной нового потенциала по параметру $ или по параметру 8). Интегрируя правую часть выражения (!8.28) по $, получим потенциал источника в плоском потоке 1р= — [п у (х — $)8+ т'(у — т!)'. 2ям (18.29) (18.30) вне этого угла 1р=О).
При интегрировании правой части (!8.28) по т) следует различать случаи М < 1 и М > 1. При дозвуковой скорости получаем 1р = — агс( Р т(у — ч) 2п ~ х — $ (18.31) Здзсь т = У' 1 — М', новое обозначение постоянного множителя Г/(2п) взято в связи с тем, что потенциал (18.31) соответствует плоскому течению от вихря в точке $, т[ плоскости х, у с циркуляцией скорости Г (течение происходит по круговым траекториям с переменной при М > О скоростью по углу).
С учетом замечания, сделанного после формулы (18.28а), это выражение справедливо в дозвуковом и в сверхзвуковом потоке (при М > ! потенциал (18.29) имеет смысл в плоскости х, у лишь внутри угла, образованного идущими вниз по потоку из точки е, 8) харак- теристиками ГЛ. 1И. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ При сверхзвуковой скорости после интегрирования найдем д )г(х — $)' — т' (у — т!)' зят1 х — 5 Здесь т'= М* — 1.
Движение происходит по отрезкам круговых траекторий, заключенных между характеристиками (18.30). 9 19. Линейная теория плоских течений. Обтекание профиля. Закон подобия В качестве простого примера использования метода малых возмущений рассмотрим двумерное дозвуковое или сверхзвуковое течение и около стенки с волнистой поверхностью (рис. 3.19.1)„форма которой определена уравнением у = У (х) = е з1п ах.
(19. 1) Рлс. 3.)9. ! Здесь е — амплитуда, 1= 2л!а— длина волны возмущения формы стенки. При Е=О стенка представляет собой плоскость у=О, а течение около нее — однородный поток со скоростью () вдоль оси х. Уравнение (18.10) для потенциала возмущений 1р этого однородного основного потока, возникающих при е~О, имеет вид (! — М') — + — = О. д'1р д'1р дх1 ду1 (19.2) Решение уравнения (19.2) должно удовлетворять условию обтекания стенки ( !8.18): о = — = () — = (1еа соз ах при у = О.
д~р ду ду дх (19.3) Поскольку волнистая стенка простирается вдоль оси х беспредельно в обе стороны, то в качестве условия в бесконечности примем ограниченность возмущений составляющих скорости и= — и и=— д1р д1р дх ду при у — оо. Изучим сначала случай дозвуковой скорости основного потока, когда 1 — М' > О. будем искать решение уравнения (!9.2) методом разделения переменных, полагая 1Р=г (х) 6(у).
Подставив это выражение для потенциала ф в уравнение (19.2) и действуя обычным способом, получим х" — б" — = — )1. г' (! — В)1) 0 Знак у постоянной Х' () считаем действительной положительной $19. ЛИНЕАНАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ 349 величиной) выбран так, чтобы Р выражалось через тригонометрическне функции н можно было удовлетворить краевому условию (!9.3). Решение уравнений (19А) дается формулами Р = А з ! и ).х -Р В соз ).х, Д = А е-У ~ -м' хе 1.
В ег ~ -м' хе 1 1 иеа е уа»1-м* з1пах у ! — м' Уеае е У' ««'созах, ри» 1 игр = — е-е" ' ' -"* з! и ах. у'! — м (1 9.6) Р Р»= Найденное решение показывает, что возмущения основного потока имеют наибольшую амплитуду у стенки н экспоненцнально затухают прн удалении от нее. Скорость затухания возмущений зависит от числа Маха основного потока: чем ближе это число к единице, тем медленнее затухают возмущения. Значения и, о н Ьр на стенке с принятой точностью получим, полагая в выражениях (19.6) у = О. Так, давление на стенке определится формулой ру»еа ега ах бр=— Согласно этой формуле давление на стенке меняется по тому же закону, что н орднната контура стенки (19.1) (возмущення давления н возмущения формы стенки находятся «в фазе»).
Вследствие этого сопротивление стенки (т.е. сила, действующая в направлении двнження основного потока на один период волны стенки) равно нулю. На рнс. 3.19.2,а изображены изобары и линии тока возмущенного течения. Числа у нзобар соответствуют величине бр, отнесенной к ее наибольшему значению прн у=О, т.е. к рУ»еа/У1 — М-'. Если изменить направление основного потока на обратное, то нзображенне на рнс. 3.19.2, а не изменится. Коэффициент давления ср — — Лр/('/»рУ») на стенке меняется прн изменении числа Маха основного потока пропорционально 1/У1 — М', Из условия ограниченности решения прн у — оо следует, что В, = О, а нз краевого условия (19.3) — что А =О, 1=а н — А,ВУ! — М'=Уз.
Таким образом, потенциал возмущений скорости прн дозвуковом обтекании волнистой стенки имеет внд ,(19.5) у 1 — ме Отсюда для возмущений скорости и = —, с= — н давления (см. (18.11)) д(р де дх' ду получаем выражения 350 Гл, !11. устлновившиеся дВижения то же относится и к величине относительного возмущения продольной скорости и1(7. При выводе уравнений малых возмущений предполагалось, что и)У, В)(7(< 1.
Из полученного решения (19.6) следует, что эти условия удовлетворяются при выполнении неравенства В еличина еа есть наибольший угол, образуемый стенкой с направлением основного потока. Эта величина должна быть малой; при приближении числа Маха у а 0 М к единице допустимые 1 -1 г1 значения есе становятся все 1 меньшими.
а 1 И<1 Второе условие, при кото- 1 ром уравнение (18.6) для возмущений скорости можно б — заменить линейным уравнением (18.7), имело вид (см. (! 8.8)) (Г+1)М +),",~ <<~1 — М'!. Для выполнения этого усло- вия в рассматриваемом слу- чае должно быть (Гт )) Мзеа () — Мз)з а Рис. 3.)9.2 *) Конечно, задачу об обтекании волнистой стенки и в случае сверхзвуковой скорости можно решать методом разделения переменных, но используемый далее метод более удобен для выяснения поведения возмущений. Напомним, что левая часть этого соотношения обращается в единицу, если максимальное значение скорости на стенке становится в рассматриваемом приближении равным скорости звука, так что решением линейного уравнения можно пользоваться лишь при таких значениях определяющих параметров, при которых скорость газа нигде не приближается к скорости звука.
При приближении числа Маха М к единице второе из написанных условий налагает на величину Ва более сильное ограничение, чем первое. Пусть теперь скорость основного потока сверхзвуковая, т.е. М ) 1. Уравнение (19,2) для потенциала возмущений имеет в этом случае общее решение в виде суммы двух произвольных функций одного аргументае) тр = Г (х †)' М' — ! у) + 6 (х (- УМ' — 1 у). (! 9.7) $19, ЛИИЕИНАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕИИП Прямые линии х — УМ' — 1 у = сопз! х+ УМ' — 1 у = соне! являются акустическими характеристиками уравнения (19.2) н не зависят от вида конкретного решения этого уравнения.
Вдоль характернстнк первого семейства, распространяющихся от стенки вниз по потоку, сохраняются значения функции г', а вдоль характеристик второго семейства, которые идут нз бесконечности вниз по потоку к стенке, сохраняются значения функции О. Так как по условию поток над стенкой беспределен в направлении роста у н нз бесконечностн к стенке не идут никакие возмущения, то в решении (19.7) следует положить б =О. Граничное условие на стенке о= — = — Ум' — 1 г'(х) =У вЂ” =(1'еасозах д~Р—, ее =да= = Ь= позволяет определить функцию г: г(х) = — з!Пах. 1е19! ум — ! Таким образом, потенциал возмущений имеет внд 1р= — з!и [а (х — УМ' — 1у)1. Ум' — ! Отсюда и = — " соз [а (х — УМ' — ! у)91, Уме — ! и = Уеа соз [а (х — УМ' — ! у)91, Лр = ~ соз [а (х — УМ' — 1 у)1.
В отличие от дозвукового течения, прн сверхзвуковой скорости потока согласно полученному решению возмущения не затухают прн удалении от стенки, а сохраняют постоянные значения вдоль характернстнк х — УМ* — ! у =сопз1. На рнс. 3.19.2, б показаны нзобары н лннни тока полученного течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
