Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Условие обтекания (18.19) после отбрасывания величины и примет вид при г — !с(х) гп„— — — — Ис —. иы и (18.22) 2л !!х Здесь о„— радиальная составляющая скорости. При необходимости краевое условие (18.22) можно упростить далее, снеся его на ось симметрии тела. Для этого представим произведение го, при г=)с (х) в виде разложения ,=(-,),=.+ — ","' ~ к( )+ и ограничимся вновь главным его членом. В результате получим (18.23) Это условие задает распределение объемных источников газа на отрезке оси х, соответствующем протяженности тела. Взаимодействие этих источников с набегающим потоком формирует поверхность тока, приближенно представляющую поверхность обтекаемого тела вращения. То„что при г 0 о, -оо, противоречит, конечно, допущениям теории малых возмущений.
Однако нужно помнить, что зти значения скорости возникают внутри объема, занятого телом, т. е. вне области действительного течения. В самой же этой области и на ее границе предположения теории выполняются. Рассмотрим теперь условие в бесконечности. При обтекании тел неограниченным однородным потоком в бесконечности перед телом возмущения скорости должны затухать, т. е. при х — со ч!=Егад р 0 или, поскольку потенциал определен с точностью до постоянной, то можно принять, что при х- — со <р О. (18.24) Рассмотрим некоторые простые решения уравнения (! 8.! О), которые будут использованы в дальнейшем.
$18. МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 343 Предварительно обратимся к следующей задаче. Однородный поток газа движется с постоянной скоростью 11 в направлении оси х. В этом потоке в момент времени ! = 0 начинает действовать движущийся вместе с газом сферический источник (см. $ 18 гл.
П). Опишем качественно возникающее течение. От источника по движущемуся газу распространяется с постоянной скоростью звука а возмущение в виде сферической волны. В неподвижной системе отсчета возмущенная сферическая область сносится газом в направлении его движения со скоростью У. При скорости потока (У, меньшей скорости Рис. 3383 звука а в газе, (1 < а, возмущенная область через некоторое время после начала действия источника займет положение, изображенное на рис.
3.!8.1, а толстой линией. Точка 0 — место начала действия источника остается внутри расширяющейся в пространстве во всех направлениях возмущенной области. При сверхзвуковой скорости потока, У) а, картина движения будет такой, как на рис. 3.!8.1, б. Начало координат — точка О остается вне возмущенной области и область эта, расширяясь, сносится вниз по потоку все дальше от точки О, Если в точке 0 происходит неоднократное периодическое включение источника в движущемся газе, то фронты возмущений от этих последовательно включаемых источников будут располагаться так, как изображено на рис.
3.!8.1, а и б тонкими линиями (последовательные возмущения распространяются независимо, не взаимодействуя между собой, так как описывающее их уравнение (18.11) линейно). С течением времени возмущение в первом случае (У -" а) распространится сколь угодно далеко вверх по потоку; во втором же случае ((У' > а) возмущение остается сосредоточенным внутри обращенной вниз по потоку конической области с полууглом при вершине р, определяемым формулой я 81п р = —. =и' Очевидно, что р есть введенный нами в 31 угол Маха.
Конус с полу- углом при вершине, равным р, и с осью, параллельной скорости газа набегающего потока, назовем конусом Маха. ГЛ. П!, УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Рис. 3.18.1 объясняет так называемый зффекпг Доплера. Если наблюдатель неподвижен относительно источника звука (звук — периодические возмущения давления достаточно высокой частоты), то частота воспринимаемых им возмущений та же, что и частота возмущений, испускаемых источником. При приближении источника звука к наблюдателю с дозвуковой скоростью (/ частота воспринимаемых наблюи ! Р дателем возмущений возрастает в отно- шении 1:(! — (//а). Если скорость при!у ближения источника к наблюдателю сверх- ,а „! „.,и>,, прихода источника в точку наблюдения г,с возмущения не доходят до наблюдателя— Рис.
8.18.2 источник «не предупреждает» о своем приближении. Прп удалении источника звука от наблюдателя воспринимаемая частота уменьшается в отношении 1:(1+ 1//а). Обратимся к случаю, когда скорость потока (/ сверхзвуковая. Возьмем в системе координат х, у, г (рис.
3.18.2) некоторую точку Р. Проведем из этой точки конус Маха, обращенный вперед †навстре потоку, и конус Маха, обращенный назад. Очевидно, что параметры течения в точке Р не зависят от возмущений, идущих из точек, расположенных вне обращенного вперед конуса Маха. Таким образом, если источники возмущений однородного потока распределены иа некотором многообразии (в отдельных точках, на линии, поверхности или в объеме), то областью зависимости точки Р на этом многообразии будет та его часть, которая лежит внутри обращенного вперед конуса Маха в точке Р. Напротив, возмущения, идущие из точки Р, распространяются только внутри обращенного назад конуса Маха, так что этот конус Маха является областью влияния точки Р.
Вернемся вновь к уравнению (!8.10). При М (1 после введения переменных у=уУ! — М', г=г У1 — М', это уравнение переходит в уравнение Лапласа да!у да!а д!у —,+ =+==О. дха дуа дга Это уравнение описывает потенциальные течения несжимаемой жидкости и имеет фундаментальное решение ар = 4В )' ха+уа+ га соответствующее точечному источнику с объемной мощностью (расходом) а/. После перехода к исходным переменным получаем решение уравнения (18.!О) в виде (! 8.25) 4п )! ха+1! — Ма) 1уа-!-га) в !в.
метод малых возмущении Это решение удовлетворяет уравнению (18.10) не только при дозвуковой скорости потока, но и прн сверхзвуковой, когда М > 1 и уравнение (18.!0) не сводится к уравнению Лапласа, а имеет гиперболический тип. При М > 1 решение (18.25) существует, очевидно, только внутри конуса Маха х' — (М' — 1) (у' + зв) = 0 В соответствии с физическим смыслом этого решения как возмуще- ния однородного потока, распространяющегося из точки О, областью существования решения при М) 1 является конус Маха, обращен- ный вниз по потоку.
Е Рис. 3.!В.з (18.26) Течение от источника в несжимаемой жидкости (при М =0) обладает сферической симметрией (оно зависит от г=)г х'+ув+гв, где г — расстояние от источника), решение (18.25) приМ > 0 обладает осевой симметрией (оно зависит от х и от г, где г=Уув+гв — расстояние от оси симметрии). На рис. 3.18.3 в плоскости х, г представлены линии тока относительного движения газа (в системе координат, перемещающейся вместе с основным потоком), соответствующего потенциалу возмущений (18 25) при М = 0 (рис. 3.
18 3, а), при 0 < М < ! (рис. 3.18 3, б) и при М > 1 (рис. 3.18.3,в). (Уравнение линий тока легко получить в виде г=Сх' м*.) Решение при 0 <М < 1 можно, подобно решению при М=О, назвать источником (стоком — при а < 0) в начале координат; решение при М ) 1 и д > 0 соответствует течению газа внутри конуса Маха от его поверхности к стоку, расположенному на осн х при х=со.
Условно будем называть источником и это решение с особенностью в начале координат и на всей поверхности конуса Маха. Фундаментальное решение (!8.25) позволяет получать более сложные решения для потенциала возмущений и решения с особенностями других типов. Возьмем решение (18.25) в более общем виде, поместив источник в точку с координатами 3, Ч, ь: !р— 4яу (х — й)в-~-(! — Мв) !(у — шв+(г — ~р1 346 ГЛ. !11. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Считая $, ть Ь параметрами, можно получать новые решения для потенциала зу дифференцированием (18.26) по этим параметрам; считая величину д функцией параметров $, т), Ь, можно получать различные решения для зу интегрированием выражения (18.26) по некоторой области изменения этих параметров — по линии, поверхности, объему.
Если скорость (7 сверхзвуковая, то интегрироваппе нужно производить лишь по той части источников, которая попадает в область зависимости точки Р, т. е, внутрь обращенного от точки Р вперед конуса Маха. Дифференцируя правую часть (18.26) по $, получим для потенциала возмущений новое решение у (л — й) 4л((х — 1)з+() — Мз) !(у Ч)з+(г — Ь)з!)11з Зто решение имеет в точке $, з), Ь особенность типа цилиндрическисимметричпого днполя с осью, параллельной оси х, Расположим такие диполи непрерывно вдоль прямой, параллельной оси г (с=-сопз(, з)=сопз1), считая их интенсивность на единицу длины д постоянной величиной, и проинтегрируем по ь. Считая без ограничения общности $ =з) = О, получим потенциал возмущений в виде а р †( (18.27) с ,) 4л(хз+(! — Мз) (уз+(г — ~)з!)11з ' у' "з л Рассмотрим отдельно случаи М 1 и г,с М) 1. При М(1 интегрирование по Ь нужно производить вдоль всей прямой, т.е.
от — оо до -)- сзз. Положим 1 — М'= и' н подставим под интегралом вместо ь переменную а по формуле г — Г = = — ) хз+лззузс(дсз; сз изменяется при этом от О до л. После такой подстановки интеграл легко вычисляется. Заменив в найденном выражении вновь к и у на х — $ и у — т), получим д (к — $) (18.28) 2ллз 1(л — $) з+ лзз (у — ч) з! Это решение представляет собой потенциал диполя в плоском дозвуковом потоке; ось диполя в плоскости течения х, у параллельна оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
