Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Числа у нзобар соответствуют значениям Лр, отнесенным к рУееа)УМ' — 1. Прн изменении направления основного потока на обратное изображенная картина изменится: возмущения в этом случае будут распространяться от стенки вдоль характеристик х+ УМ' — 1 у=соне!. гл. пь »становившиеся движения Ыееа сое ах Возмущение давления на стенке Лр=р находится «в про- р м« вЂ” ! тивофаэе» с возмущением формы стенки. Поэтому при сверхзвуковой скорости сопротивление стенки отлично от нуля. На один период волны стенки действует в направлении основного потока сила сопротивления Х = ~ Лр — дх = Р ~ (еа соз ах)' Их.
Сила сопротивления квадратичным образом зависит от среднего по периоду волны угла наклона поверхности стенки к направлению основного потока и меняется (как и Ьр/(р(х'е), и и/У) при изменении числа Маха основного потока как 11'УМ* — 1 Оценки применимости полученного решения при М > 1 остаются теми же, что и при М (1, Рассмотренный пример обнаруживает характер поведения возмущений потока в приближении линейной теории и устанавливает существенные различия свойств дозвуковых и сверхзвуковых течений. Обнаруженные свойства сохраняются и при обтекании стенок другой' формы, поскольку в рамках «У,.
(х1 линейной теории решения таких задач можно получить путем суперпозиции решений а е" (х1 е "" задачи об обтекании волнистой стенки при разложении функции, описывающей форму стенки, в ряд Фурье. Отметим еще одно важное свойство изу- ченных решений, также присущее в рамках Рнс. ЗЛ9.3 линейной теории и течениям более общего вида.
В точной нелинейной постановке решение задачи об обтекании волнистой стенки, например, прн дозвуковой скорости, когда в потоке не возникают скачки уплотнения, после перехода к безразмерным величинам имело бы вид ер= УеФ(М, у; ае; ах, ау), В линейном приближении (см. формулу (19.5)): ер= ' Ф,(ах, ауУ! — М') . Сравнение двух выражений для потенциала «Р показывает, что вместо пяти существенных аргументов у функции Ф в точном решении, функция Ф, имеет лишь два (переменных) аргумента. Это свидетельствует о том, что все дозвуковые течения около волнистой стенки с различным набором определяющих параметров в линейном приближении подобны, т.
е. распределения параметров одного течения $19. линейнАя теОРия плоских течения звз могут быть получены простым пересчетом (изменением масштабов величин) из распределений параметров в другом течении. При этом параметр Г (у — для совершенного газа) вообще оказывается не влияющим на распределения скоростей и давлений. Рассмотрим теперь в рамках линейной теории малых возмущений задачу об обтекании одиночного профиля, помещенного в однородный набегающий поток (рис.
3.19.3). Пусть в системе координат, в которой однородный поток со скоростью У направлен вдоль оси х, контур профиля задан уравнениями у=еУ~(х) при 0(х<1,, (! 9.8Ъ где ЕУ (х) и еУ (к) суть соответственно верхняя и нижняя стороны контура. Введем потенциал возмущений гр, по-прежнему удовлетворяющий уравнению (19.2). Требование обтекания контура приводит к граничному условию — =(йУ~(х) при у= ~0, 0(х().. (!9.9) ае В бесконечности перед телом производные от потенциала возмущений должны стремиться к нулю, так что должно выполняться условие гр- 0 при х — — со.
(19.10) Таким образом, задача о нахождении поля возмущений скорости и давления при обтекании профиля сведена к математической задаче нахождения из уравнения (!9,2) функции ~р, удовлетворяющей условию (19.10) и такой, что при подходе к разрезу (О, Е) на оси х с двух его сторон нормальная производная функции ф принимает заданные согласно (19.9) значения. При выводе уравнений теории малых возмущений предполагалось„ что при малых значениях е величина возмущений скорости тоже мала сравнительно со скоростью невозмущенного потока.
Однако, если профиль с любым сколь угодно малым значением е обтекается дозвуковым потоком, то на профиле в общем случае имеются две критические точки, в которых скорость обращается в нуль. Возмущение скорости вблизи этих точек сохраняется конечным при е- О, так что дозвуковое течение около профиля стремится при е — О к однородному потоку неравномерно: в окрестности передней и задней критических точек профиля возмущения скорости не малы. То же справедливо и при сверхзвуковом обтекании затупленного впереди профиля, когда в дозвуковом потоке за отсоединенным скачком уплотнения имеется критическая точка на поверхности профиля. Поэтому в таких случаях при использовании метода малых возмущений следует ожидать появления в некоторых точках особенностей распределения параметров течения.
При сверхзвуковом обтекании заостренных впереди профилей критической точки на профиле нет и стремление к предельному однородному течению при е -- 0 будег равномерным. ГЛ. !!!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ и функцию — У вЂ” м В новых переменных уравнение (!9.2) и краевые условия (19 9) и (19.10) примут вид д»!» д'~р — +=.=О, дк» ду» ==)к~(х) 'д!» ду !р- 0 при у=О, (19.1! ) при х — — оо. В этой задаче нет н и каких параметров! Таким образом, поля возмущений скорости и давления при обте- кании любого профиля из семейства (19.8) потоком газа с любым значением показателя адиабаты у и с любым значением числа М < 1 подобны между собой. Именно: и=е «р„(х, у)'! — М'), у ! — м* =В(УЧ„-(х, у«' 1 — М'), Ар е р~' !!!„(Х, у рк1 М«), где !р„и р — „— функции двух аргументов х и у, одинаковые для всех профилей семейства (19.8) и не зависящие от у и М. В формулировке задачи об определении потенциала «В параметр е входит лишь в условие (19.9).
Так как два других соотношения, определяющие !р, — уравнение (19.2) и условие (!9.!0) — однородны относительно !р, то ясно, что потенциал возмущений !р, а вместе с ним и возмущения скорости и давления пропорциональны е. Линии тока при обтекании всех аффинноподобных профилей (19.8) с одним и тем же числом М образуют аффинноподобные семейства. Такой закон подобия вытекает из линеаризации по параметру е всех соотношений при постановке задачи.
Как уже отмечалось, при приближенной формулировке задачи из числа параметров, от которых зависят поля возмущений скорости и давления, выпала и величина Ги так что в принятом приближении эти поля для всех газов одинаковы. Покажем, что, как и в случае обтекания волнистой стенки, приближенная постановка задачи позволяет сформулировать закон подобия течения с разными значениями числа М около аффинноподобных профилей. Рассмотрим сначала случай дозвуковой скорости набегающего потока М < 1. Введем «деформированную» координату у у= ур'! — м $19, ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИИ Зоо Избыточное давление на профиле с принятой точностью выразится формулой Ар= — е 1 гр„(х, 0).
(19. 13) Отсюда следует, что коэффициент давления с, при обтекании профиля с относительной толщиной е, потоком с числом Маха М, и коэффициент давления с, при обтекании профиля с относительной толщиной е, потоком с числом Маха М, связаны соотношением г е, )г !-м, с„=с,— „. "Р 1 — Ме Выражаемое этим соотношением подобие распределения давлений на профилях разной относительной толщины, обтекаемых дозвуковым потоком с разными числами М, называется законом подобая Прандтлл — Глауэрта. Согласно этому закону, зная распределение давления на одном тонком профиле при одном значении числа М = М, < 1, можно простым и известным изменением масштаба получить распределение давления на любом другом тонком профиле, аффинноподобном первому, при любом другом значении числа М=М, < 1 (причем это распределение не зависит от термодинамических свойств газа, т.
е. от величины Г,). Число М, может, в частности, быть равным нулю, что соответствует течению несжимаемой жидкости. В этом случае для одного и того же профиля (е, = е,) в несжимаемой жидкости, т. е. при М = О, и в газе при числе Маха М > 0 получаем связь между давлениями арн йре = —, нлн между коэффициентами давления Срн гнг =)р — ° Это — формула Прандтля — Глауэрта, уже полученная нами ранее (см. 6.25)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
