Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

Стационарное решение задачи обтекания в этих случаях существует, но оно не реализуется; при расчете методом установления и в опытах развиваются достаточно интенсивные периодические изменения положения и формы головной волны и колебания всего потока за ней. Высказывались утверждения, что рассмотрение решения задачи о стационарном обтекании тела как предела нестацнонарных решений в классе кусочно.

непрерывных функций обеспечивает получение требуемого единственного решения задачи обтекания (если оно существует и устойчиво), Это утверждение до настоящего времени не доказано. Следует также иметь в виду, что и при изучении нестационарных решений требуются дополнительные предположения о схеме обтекания, о которых говорилось выше. Высказывается и предположение о том, что единственность обобщенного решения задачи о стационарном обтекании тела обеспечивается, если это решение рассматривать как предел непрерывного решения той же задачи в рамках модели вязкого газа при стремлении коэффициента вязкости к нулю (теория «исчезающей вязкости»). При этом в общем случае стационарные решения нужно рассматривать как предел нестационарных решений.

Известно, что в задачах обтекания тел вязким газом при малых значениях коэффициента вязкости (т. е. при больших значениях числа Рейнольдса) вязкость проявляется лишь в тонких слоях вблизи Поверхности тела (вязкие пограничные слои) и внутри области течения (вязкие слои смешения и вязкие ударные волны).

Толщина этих слоев при неограниченном росте числа Рейнольдса стремится к нулю, а поперечные градиенты параметров потока в них неограниченно растут, В пределе вязкие слои смешения и вязкие ударные волны переходят в поверхности разрыва: тангенциальный разрыв и скачок уплотнения соответственно, а пограничный слой у поверхности тела обращается в разрыв касательных скоростей газа у поверхности тела.

Предельная форма течений идеального газа может быть (в определенных пределах) независимой от конкретного вида дополнительных членов в уравнениях газовой динамики, связанных с действием вязкости. Это обстоятельство используется в некоторых численных методах решения задач газовой динамики (в методе «искусственной вязкости» члены с влиянием вязкости вводятся в исходные дифференциальные уравнения явно; подобные же члены фактически возникают прн конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений — это так называемая «схемная» вязкость).

гл. нь установившиеся движения Предположение о возможности получения обобщенных решений уравнений динамики идеального газа как предела решений для вязкого газа в общем случае не является доказанным. Наибольшее продвижение в этом вопросе имеется в настоящее время лишь для одного модельного уравнения вида ди др (и) д~и — + — =8— дг дх дх~ ' В общем случае теория наталкивается на ряд серьезных трудностей, одна из которых имеет фундаментальный характер и состоит в том, что сами решения уравнений неодномерных нестационарных движений вязкого газа при увеличении числа Рейнольдса во многих случаях приобретают весьма сложную пространственно-временную структуру (наступает «хаос> в распределении параметров газа в пространстве и времени) и не стремятся к определенным предельным решениям.

Отметим в заключение частные результаты, когда в задаче обтекания тело представляет собой бесконечный цилиндр, установленный перпендикулярно направлению набегающего потока, так что возникающее при обтекании течение является плоским. Если число Маха набегающего потока настолько мало, что течение во всей области является дозвуковым, то поле скоростей обязательно потенциально. Вследствие того, что движение плоское, циркуляция скорости по контуру, охватывающему цилиндр, не изменяется по его длине, так что поверхность, образованная сходящими с тела линиями тока, не является поверхностью тангенциального разрыва (вихревой пеленой): давления с обеих сторон поверхности тангенциального разрыва одинаковы, а, следовательно, при одинаковом значении константы в интеграле Бернулли одинаковы и модули скорости с обеих сторон; в плоском движении это означает и непрерывность вектора скорости.

Непрерывное решение задачи обтекания в этом случае всегда существует (при условии М (1) и определяется единственным образом заданием циркуляции скорости по контуру, охватывающему цилиндр. Если контур сечения цилиндра в кормовой части имеет выпуклую угловую точку, то циркуляцию можно определить на основе гипотезы Чаплыгина †Жуковско о сходе линии тока в угловой точке. Доказательство сформулированных утверждений требует глубокого математического анализа. Как и при обтекании тела конечных размеров, возможны и режимы обтекания цилиндра со сходом с его поверхности двух тангенциальных разрывов с областью покоящегося газа между ними, простирающейся в бесконечность за телом, и с присоединенными к цилиндру локальными зонами с покоящимся или находящимся в вихревом движении газом. Подобные схемы могут при соответствующих условиях ближе соответствовать реальной картине обтекания, чем схема с непрерывным обтеканием.

з нс метод малых возмкшвнин й 18. Метод малых возмущений Вследствие того, что получение точных решений уравнений движения газа во многих важных для приложений случаях невозможно, в газовой динамике широкое распространение имеют методы упрощения уравнений, позволяющие получать приближенные решения задач. Как правило, упрощение уравнений при описании того или иного класса движений газа связано с глубоким проникновением в качественные физические особенности этого класса движений, с пониманием того, влияние каких членов в уравнениях и в дополнительных условиях к ним является определяющим для рассматриваемых явлений.

Упрощенные уравнения должны сохранять те свойства решений точных уравнений, которые являются существенными в изучаемых задачах. Приближенные модели газовой динамики важны не только потому, что они дают возможность получить решения конкретных задач. Их значение состоит и в том (и это является иногда главным результатом использования приближенных моделей), что во многих случаях в рамках приближенных моделей обнаруживается подобие всех течений рассматриваемого класса или его определенных подклассов, что дает возможность переносить результаты расчета или экспериментального исследования одного течения на все течения этого класса (или на некоторую их часть) путем простого изменения масштабов определяющих течение величин.

Одним из наиболее широко употребляемых методов упрощения полных уравнений газовой динамики является метод малого параметра или метод возмущений. Возможность использования этого метода и его суть состоят в следующем. Пусть физический анализ задачи показывает, что в ее формулировке имеется параметр а такой, что интересующие нас свойства течений сохраняются при сколь угодно малых его значениях. Тогда на основе физических соображений можно ввести зависящие от е масштабы у,(е) для различных входящих в уравнения и дополнительные условия величин и преобразовать все соотношения к новым переменным, полученным от деления исходных величин на их масштабы. В результате определяющие соотношения будут содержать члены различного порядка малости при е О.

Сохраняя в них лишь члены до определенного порядка величины (например, только главные члены, остающиеся при е=О), получают приближенные уравнения для описания рассматриваемого класса задач. Лишь в редких случаях удается доказать, что точное решение задачи стремится при е О к решению приближенных уравнений (хотя бы асимптотически).

Однако многие широко используемые в газовой динамике приближенные модели, основанные на методе малого параметра, хорошо согласуются в определенных пределах значений е с точными частными решениями и с результатами экспериментовв. ззв гл. пь ьстлиовившиеся движения Очевидным решением уравнений газовой динамики (1.7.12) является такое, в котором вектор скорости и параметры состояния одинаковы у всех частиц и не зависят от времени, т. е. $~ = 3~, = сопз(, р = р, = сопз1, р =- р, = сопз1.

(1871) Соответствующие такому решению течения газа называются однородными потоками (иногда — постоянными потоками). Можно рассматривать задачи о течениях, близких к однородному потоку, считая эти течения возмущением однородного потока (!8.1). Пусть отклонение рассматриваемого течения от однородного потока (18.1) характеризуется значением параметра е (таких параметров может быть и несколько), причем значению е= О соответствует невозмущенный поток. Причины возмущения основного потока могут быть различными. В дальнейшем метод малых возмущений будет использован в основном для изучения установившегося обтекания тел неограниченным однородным потоком газа во всем диапазоне чисел Маха от О до бесконечности.

Решение (18,1) точно описывает обтекание любой поверхности, которую можно образовать из участков поверхностей тока соответствующего решению (18.!) однородного течения,— например, обте-. кание расположенной вдоль потока плоской пластины нулевой толщины при произвольной ее форме в плане, или обтекание двух таких пластин, пересекающихся вдоль линии тока основного течения„и т. п. Поэтому возмущением однородного потока (18,!) можно считать течение около тела, все точки поверхности которого находятся на малом расстоянии от такой исходной обтекаемой поверхности. В задаче об обтекании такого тела возмущение основного однородного потока вызвано отличием положения и формы обтекаемой поверхности от первоначальных, т. е.

изменением граничных условий. Наряду с изменением тела можно считать, например, что в бесконечности перед телом значения скорости и плотности на разных линиях тока не равны заданным постоянным к, и р„а известным образом мало отличаются от них. Такое изменение условий в бесконечности тоже служит причиной возмущения основного потока. При изучении нестационарных движений течение (18.1) может возмущаться и вследствие того, что обтекаемая начальная поверхность или образованное из нее тонкое тело совершают малые движения как целое или, в более общем случае, испытывают зависящие от времени деформации. Можно рассматривать как возмущение основного потока и нестационарное течение, возникающее в том случае, если начальные значения параметров газа в пространстве мало отличаются от их постоянных значений (18.1).

Характеристики

Список файлов книги