Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Если течение с другой стороны контактного разрыва, к которому подходит скачок, дозвуковое или если скорость за падающим скачком дозвуковая, то автомодельного решения задачи нет, неавтомодельные же ее решения изучены мало. Из изложенного выше в этом параграфе следует, что в стационарном двумерном потоке задача, аналогичная задаче о распаде произвольного начального разрыва при одномерных неустановившихся течениях, далеко не всегда имеет автомодельное решение.
В заключение параграфа рассмотрим задачу об истечении однородной сверхзвуковой плоской струи конечной ширины в пространство с более низким или более высоким давлением, Начнем с первого случая. На рис. 3.15.11, а изображена верхняя часть симметричного относительно оси х течения, на рис. 3.15.11, б — соответствующая ей область в плоскости годографа. Гл, пп устлновившиеся движения 3!6 В этом случае в точке А начала свободной границы струи образуется центрированная волна разрежения АВР (в плоскости годографа ей соответствует дуга эпициклоиды ВР).
В области ВСР эта волна взаимодействует с линией симметрии течения (как с жесткой стенкой), образуя отраженную волну разрежения Прандтля — Майера ЕВСЕЕ (в плоскости годографа области взаимодействия соответствует треугольник ВСР, а отраженной волне разрежения — дуга эпнциклоиды РС).
Отраженная волна взаимодействует со свободной поверхностью в области ЕЕЕ, (в плоскости годографа участку свободной поверхности ЕНЕ, соответствует дуга окружности ЕНЕ„двум и л г с, в, Рис. 3.!5.11 граничным характеристикам ЕЕ и Е,Š— отрезки эпициклоид ЕЕ и Е,Е). В силу симметрии области взаимодействия ЕЕЕ, и условий на ее границах в плоскости годографа относительно оси и, область взаимодействия ЕЕЕ, в плоскости течения, а вместе с ней и все течение между точками А и А, симметричны относительно средней линии НЕ, где составляющая скорости о=О.
Таким образом, при истечении однородной сверхзвуковой струи в пространство с более низким давлением (при этом говорят об истечении «недорасширенной» струи) струя имеет периодическую структуру из повторяющихся «бочек», одна из которых (ее верхняя половина) показана на рис.
3.15.11. Газ в пределах одного периода струи ускоряется до наибольшей скорости в области однородного потока СЕС„а затем вновь тормозится до начальной скорости. При уменьшении внешнего давления интенсивность центрированной волны разрежения при выходе струи из канала растет, начальный угол свободной границы (ему соответствует угол наклона к оси и луча 00 в плоскости годографа) увеличивается, скорость в области СЕС, растет; соответствующая этой области точка С плоскости годографа сдвигается вдоль оси и к окружности максимальной скорости )г,„ и при понижении давления до некоторой величины достигает ее. Точки С и Е плоскости течения уходят при этом в бесконечность.
При дальнейшем понижении давления частью границы области течения в плоскости годографа становится все больший участок окружности У=)г,„, и во все большей угловой области плоскости течения поток на боль $16. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ з!т шом удалении от выхода струи из канала становится аналогичным радиальному течению от сверхзвукового источника, рассмотренному в $ 4. Обратимся теперь к истечению струи в пространство с более высоким давлением (при этом говорят об истечении «перерасширепной» струи). В этом случае в точке начала свободной границы образуется скачок уплотнения (рис. 3.
15.12). Если повышение давления в окружающем пространстве сравнительно невелико, то интенсивность образующегося скачка тоже невелика и при взаимодействии скачка с линией симметрии (как с жесткой стенкой) происходит его Рлс. ЗЫ 532 правильное отражение (рис. 3.15.12, а). Отраженный скачок встречает свободную границу в точке А.
В сечении струи, где находится точка А, давление выше давления в окружающем пространстве, н, таким образом, начиная с этого сечения, структура струи повторяет предыдущий случай истечения недорасширенной струи. При повышении давления в окружающем пространстве регулярное отражение скачка от линии симметрии сменяется неправильным — маховым (рис. 3.15.!2, б, см, также рис.
3.15.7, 6). Вызванная взаимодействием отраженного скачка со свободной границей волна разрежения приводит к ускорению дозвукового потока за центральным маховым скачком; это ускорение может разогнать поток в центральной части струи до сверхзвуковой скорости. При дальнейшем повышении давления махов скачок перекрывает все сечение канала. Повышение давления в окружающем пространстве до значения, большего давления за прямым скачком, делает невозможным истечение струи без ее перестройки внутри канала. При истечении реальных струй в затопленное пространство (т.
е. пространство, занятое газом) большую роль играет размывание внешней границы струн (и границы внутренней струи на рис, 3. 15. 12, б), так что наблюдается лишь несколько первых «бочек», структура последующих становится все более нечеткой, пока струя не превратится в турбулентную с нестационарной структурой. $16.
Осесимметричные простые волны. Сверхзвуковое обтекание кругового конуса Подобно простым волнам в плоском установившемся потоке (течениям Прандтля — Майера), существуют также осесимметричные течения, в которых компоненты скорости и и о (нли значения )г и ГЛ. 1!1. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ з!в до ди — — — =О, дх ду считая и и о функциями одного только угла 1р, получим др ~вгр+ др (16.
1) или — „„1К р+1= 0. до (16.2) Отсюда следует, что направление луча 1р=сопз1 в плоскости течения, на котором компоненты скорости равны и, о, совпадает с направлением нормали к кривой о=о(и) в плоскости годографа в соответствующей точке (рис. 3.!6.1). Для получения второго уравнения, связывающего и, о, воспользуемся уравнением неразрывности (1.20). Считая в нем и и о функциями гр и используя уже полученное уравнение (!6.1), найдем 11! — = а'о, др = (16.3) где (16.
4) лг = а~ — (о соз 1р — и В1п гр)~, Л'=а' — о„' и о„=осоз1р — из!п1р есть составляющая скорости к лучу 1р=сопз1. ЗаМЕНИВ В ЭТОМ УРаВНЕНИИ гР И 1йР С ПОМОЩЬЮ одно уравнение второго порядка, определяющее о, нормальная (16.2), получим связь о=о(и) в 6) связаны определенным соотношением. Как и течения Прандтля— Майера, эти осесимметричные простые волны являются баротропными (в частности, изоэнтропическими) потенциальными течениями. Однако, в отличие от течений Прандтля — Майера, осесимметричные простые волны могут быть лишь автомодельными, т. е, параметры газа в них постоянны при у!х= сопз1 (в цилиндрической системе координат с расстоянием вдоль оси симметрии х и расстоянием от оси симметрии у). Осесимметричные простые волны называются течениями Буземана; очевидно, что они являются частным случаем конических течений.
При изу- Ю чении течений Буземана удобно наряду с плос- костью течения х, у использовать плоскость Рес. 3.!6. ! годографа и, о, в которой простым волнам со- ответствуют отрезки кривых о = о(и). Найдем уравнения, которыми описываются осесимметричные простые волны. Введем в полуплоскости течения у ) 0 полярные координаты г, р (О < гр ( »), отсчитывая угол 1р от направления оси х.
Из уравнения отсутствия вихрей $!6. ОсесимметРичные пРостыг волны 319 течениях Буземана: (16.5) Здесь штрих обозначает производную по и. Каждому решению уравнения (!6.5) соответствует автомодельная осесимметричная простая волна в плоскости течения, так как при известном решении о=о(и) из уравнения (16.2) находятся зависимости и и и от ср.
При этом для однозначности решения в плоскости течения кривизна интегральной кривой и=о(и) не должна менять знак на рассматриваемом ее участке. Изучим наиболее интересные течения с осесимметричными простыми волнами. Рассмотрим течение, непрерывно примыкающее к однородному поступательному потоку вдоль конуса ф=ф!. При !р=!р, и=У! > О, о=О.
Из уравнения (16.3) следует, что при и=О должно быть !У=О (иначе 6(и!аф=-О при ф=ф, и течение продолжается за конус ф=ф, как однородный поступательный поток и=У„и=О), т, е, а',— 1", з!и' !р, = О. Это равенство показывает, что непрерывное примыкание простой волны к поступательному потоку возможно лишь при сверхзвуковой скорости (У! > а,) и линии !р= ф„ как и следовало ожидать, суть акустические характеристики. Действительно, угол наклона этих линий определяется равенством з! п ф! = -р- — = ~ з! п р, а! (16.
6) (р,— угол Маха набегающего потока) и характеристические соотношения (1.25) вдоль них выполнены, так как и=У!=сонэ( и и=О. Таким образом, простая волна может непрерывно примыкать к сверхзвуковому поступательному потоку вдоль обращенной назад (по потоку) или вперед (против потока) характеристики. Изучим эти два случая течения. Точки и=-У, (У, > а,), о=О являются особыми для уравнения (16.5). Вдоль каждого из двух направлений, определяемых формулами (16.2) и (16.6) ( — „) =~с(ар„ из каждой такой точки выходит однопараметрическое семейство интегральных кривых, имеющих, как показано ниже, одинаковую кривизну (рис. 3.16.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
