Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е*) Это предположение может не выполняться. Ранее (с. 299) уже был упомянут пример течения, в котором кривизна поверхности разрыва в точках линии ее пересечения с плоской границей обращается в бесконечность. Ниже будет приведен еще один пример такого поведения.
зпс паявсвчанив склчков кплотнвння зог заны предельные случаи пересечения скачка с тангенциальным разрывом: отражение скачка от свободной границы (случай г) и от твердой стенки (случай д). Рассмотрим задачу о продолжении описанных течений вправо от точки пересечения разрывов. Эта задача аналогична рассмотренной в 3 12 гл. П задаче о распаде произвольного разрыва. Действительно, проведем через точку О прямую так, чтобы подходящие к ней разрывы были слева от нее и чтобы эта прямая была аналогом пространственно-подобной линии (например, можно взять эту прямую Рис.
3. !5.1 перпендикулярно направлению набегающего потока †вдо оси у, как это сделано на рис. 3.!5.1). Тогда для определения течения справа от прямой будем иметь задачу Коши с кусочно-постоянными и различными по обе стороны от точки О значениями параметров, которые в общем случае не связаны законами сохранения (случаи а, б, в на рис. 3.15.!), или, если параметры газа заданы лишь на полупрямой с одной стороны особой точки, они не удовлетворяют в этой точке требуемому граничному условию (случаи г, д на рис. 3.15.1). Итак, требуется найти решение в полуплоскости х ) 0 по заданным распределениям параметров газа на прямой х=О, имеющим разрыв в точке О, Автомодельные решения этой задачи, если они существуют, должны строиться, как уже говорилось, из областей однородного потока, отделенных скачками уплотнения, тангенциальными разрывами или областями центрированных течений Прандтля— Майера.
Из тех же соображений, что и в задаче о распаде разрыва в 3 12 гл, П, следует, что в каждую сторону от тангенциального разрыва (в частности, от твердой стенки или от свободной границы), может отходить либо один скачок уплотнения, либо одна центрированная волна Прандтля — Майера. Наличие в течениях, изображенных на рис. 3.!5.1, в набегающем потоке отличной от нуля составляющей скорости ш вдоль особой линии †о г, перпендикулярной плоскости хОу (в случае 15.1, в гл. пь установившиеся движения зов ш может быть разной с обеих сторон контактного разрыва), не нарушает, очевидно, автомодельности отыскиваемых решений и не осложняет их нахождение.
Действительно, при сделанных предположениях проекция уравнения Эйлера на ось г дБ/, ЙО и — +о — =О дх ду показывает, что в областях непрерывности движения ш сохраняет свое значение в частицах. Остальные уравнения, определяющие двумерное движение, и при шФО не содержат ш, и их решения, следовательно, не зависят от этой величины. При прохождении потоком Рнс. 3.! 5.2 скачка уплотнения составляющая скорости ш, касательная к скачку, не изменяется, а на продолжении тангенциального разрыва начальный скачок ш сохраняется. Таким образом, во всем возникающем течении ш сохраняет те же значения, что и в набегающем потоке; то, что ш~=О, не влияет на распределение всех остальных параметров газа.
Начнем с задач об отражении скачка уплотнения от свободной границы и от твердой стенки. Пусть однородный сверхзвуковой поток газа (рис. 3.!5.2, а) имеет свободную границу АО, и пусть идущий из бесконечности к свободной границе скачок уплотнения постоянной интенсивности ВО встречает границу в точке О. Давление в потоке за скачком выше давления в области перед ним, равного давлению р, на свободной границе.
Скорость за скачком направлена в сторону свободной границы. Так как давление на участке границы за точкой О должно быть тем же, что и перед этой точкой, и так как от точки О внутрь области движения может отходить либо скачок уплотнения, в котором давление еще более возрастет, либо центрированная волна разрежения Прандтля — Майера, в которой давление падает, то следует остановиться на последней. Поворот потока в волне Прандтля †Майе происходит в том же направлении, что и в падающем скачке, а интенсивность волны должна быть такой, чтобы давление газа в однородном потоке за волной равнялось давлению во внешнем пространстве. Прн заданном сверхзвуковом потоке эта задача имеет автомодельное решение, если интенсивность падающего скачка такова, что скорость газа за ним сверхзвуковая или точно равна скорости звука.
415. пенгсечение скачков уплОтнения 309 Действительно, рассмотрим решение задачи в плоскости О, р (рис. 3.15.2, б). Построим сердцевидную кривую для данных условий в набегающем потоке. Если точка О сердцевидной кривой, соответствующая состоянию газа за скачком, лежит ниже точки 5, в которой скорость газа за скачком равна скорости звука или совпадает с ней, то через эту точку можно провести в плоскости О, р линию О)т', описывающую расширение газа в волне Прандтля— Майера. Эта линия (соответствующая эпициклоиде в плоскости и, о) при уменьшении 0 доходит до линии р = 0 (соответствующей окружности максимальных скоростей в плоскости и, о) и, следовательно, Рис.
3.15.3 обязательно пересекает прямую р=р„чем и доказывается существование решения. Если поток за скачком дозвуковой, то по нему от точки О не может отходить ни скачок, ни волна разрежения, т. е. в предположении автомодельности решения поток за скачком должен был бы сохраняться однородным вплоть до свободной границы, что невозможно, так как при этом не будет удовлетворено требуемое граничное условие р =- р,.
Таким образом, при дозвуковом течении за скачком задача об отражении скачка от свободной поверхности при отсутствии линейного масштаба не имеет решения (по необходимости автомодельного). Если допустить наличие в постановке задачи линейного масштаба (в реальных условиях такой масштаб всегда есть), то решение по физическому смыслу должно существовать, но оно до настоящего времени не получено *). Можно лишь утверждать, что в этом случае падающий скачок и свободная граница искривлены, при этом нх кривизна может неограниченно возрастать при приближении к особой точке; то же верно для градиентов газодинамических величин при приближении к особой точке из возмущенной области. ') Близкие задачи об отражении достаточно слабого скачка от границы струи ионечной ширины с нерекодом через скорость звука в области движения рассмат.
рнвались ранее (см. 1141). З1О ГЛ. 11!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Перейдем теперь к задаче об отражении скачка от жесткой стенки, И в этом случае поток за падающим скачком ВО (рис. 3,15.3, а) направлен к стенке, поэтому для удовлетворения граничного условия на стенке необходимо, чтобы отраженная от стенки волна была скачком уплотнения. В этой волне ОС поток должен повернуться на тот же угол, что и в падающей волне, но в обратном направлении. Рассмотрим сначала решение в плоскости и, о (рис. 3,15.3, б). Возьмем ударную поляру, соответствующую значению (г1 скорости потока перед падающим скачком (точка О, на оси и).
Точкой О обозначим на ней конец вектора скорости у за первым скачком. Для отраженного скачка этот вектор соответствует состоянию газа перед ним. Построим ударную поля- ,90' ру, принимая это состояние за исходное. При этом возможны два случая. В первом случае, когда интенсивность падающего ео' гг скачка невелика, вторая ударная поляра пересекает ось и в двух точках О., и О;. Каждая из г этих точек определяет величину г 1', скорости за вторым скачком, направленной вдоль продолжения стенки.
Графическим постд- роением найдем направление и дд отраженного скачка, для чего проведем из начала координат Рис. Зла.4 нормаль к прямой, проходящей через точку О и точку О, или О;. Давление и плотность в области за отраженным скачком могут быть определены из соотношений на скачке или графически — по сердцевидным кривым и кривым Гюгонию. Вновь, как и при обтекании излома стенки, постановка задачи не содержит критерия для выбора одного решения из полученных двух. При увеличении интенсивности падающего скачка точка О ударной поляры приближается к точке, в которой скорость за первым скачком становится равной скорости звука.
При этом «петля» второй ударной поляры уменьшается, так что, начиная с некоторой интенсивности падающего скачка, при котором две точки пересечения поляры с осью и, сливаются в одну, пересечения второй поляры с осью и вообще не происходит. Это означает отсутствие автомодельного решения поставленной задачи в том случае, когда угол поворота потока в падающем скачке больше по величине предельного угла отклонения потока в скачке для течения за ним. Определение области значений параметров набегающего потока и интенсивности падающего скачка, в которой существует автомодельное решение об отражении скачка, хотя и не представляет 3 15. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СКА'1КОВ УПЛОТНЕНИЯ 3П принципиальных затруднений, но требует громоздких выкладок.
Поэтому мы ограничимся лишь изложением некоторых результатов е). На рис. 3.15.4 приведена область существования автомодельного решения в переменных р11р, с( для совершенного газа с у=1,4. Здесь р17р — отношение давления перед падающим скачком к давлению за ним, а — угол падения скачка. Параметры эти меняются в диапазонах О« — '1, 0<ак —. р Кривая 1 на рис.
3.15.4 ограничивает сверху область а% аз1, где отражение может происходить в соответствии с полученным автомодельным решением (правильное или регулярное отражение), от области а > ам, где такое отражение не может осуществляться. В области, где существует автомодельное решение, таких решений два: одно с более сильной и другое — с более слабой отраженной волной. В точках кривой 1 эти два решения сливаются в одно.
При р1/р 0 (что соответствует М, — оо) угол а, при Н=-1,4 равен 39,9T, при рта 1 при всех у он стремится к п72. Угол отражения а„(рис. 3.15.3, а) не совпадает в общем случае с углом падения а. Проследим за его изменением. Зафиксируем число Маха М, перед падающим скачком и будем менять интенсивность скачка, изменяя угол сс. Этому соответствует на рис. 3.15.4 движение вдоль линий М, = сопз(, проведенных согласно формуле (2.9) Р = 1 + — т (М', ейп' а — 1). Рт У+! Будем сначала увеличивать угол падения а от се=!А (!А — угол Маха) до а=ам, считая при этом отраженный скачок принадлежащим слабому семейству, затем будем уменьшать угол а от а=сам до се= р, считая отраженный скачок принадлежащим сильному семейству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
