Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В первом случае точка ударной поляры (У„ 0) является двойной, во втором †изолированн. Рис. 3.13.1 Рис. 3.13.2 В совершенном газе с постоянными теплоемкостями возможны лишь скачки уплотнения, в которых полная скорость газа уменьшается. Поэтому, если считать фиксированным состояние газа перед скачком, то должно быть У,) У (У вЂ” скорость газа за скачком) и физический смысл имеет лишь замкнутая часть поляры при У, ) У„р. Если же считать фиксированным состояние газа после скачка, то У) У, и физический смысл при У, ) Уир имеет лишь часть поляры, на которой У ) У„т.
е. ее асимптотические ветви, а при У, ( У„р— вся поляра (в обоих случаях — в пределах круга с радиусом У,„). В дальнейшем при пользовании ударной полярой мы будем считать фиксированным состояние газа перед скачком, т. е. рассматривать только замкнутую часть поляры; при этом всегда У, ) У„р. Как уже говорилось в 3 7 гл. 1, полная скорость газа за скачком может быть и дозвуковой, и сверхзвуковой, нормальная же составляющая скорости всегда дозвуковая. На рис. 3.13.3 приведено семейство ударных поляр (13.4) при 7=1,4 для различных значений У„'Уир) 1 или числа Маха М, = =У,/а (приведены лишь замкнутые участки поляр). При 1',=У„, (М,=1) ударная поляра вырождается в точку, при 1',= У,„она становится окружностью о'+ (и — и')' = о*', %13. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ 293 где 'так .
1 1 1 акак. При каждом значении УГУ„Р существует максимальный угол поворота потока в скачке, соответствующий лучу, проведенному из точки О касательно к поляре. Этот угол увеличивается при возрастании УР1У„р. Наибольшее его значение при У,=-У,„, очевидно, определяется равенством 1 гйп 9 акак и* 7 При у= 1,4 9,„=45,58', при у=.!,2 9,„=56,14'.
Можно показать, что окружность У = Укр пересекает ударную поляру правее точки максимального угла поворота потока, так что ГГаррмкаааи нал с арааа1а Рис. ЗАЗА Рис. 3.13.3 в этой точке скорость газа за скачком меньше скорости звука и сравнивается с ней лишь при 1',=Ук и У1=У,„.
Отличие угла отклонения 9„, при котором скорость за скачком становится равной кра скорости звука, от максимального угла отклонения 9 ,„ невелико и при у = 1,4 не превышает 30' во всем диапазоне значений У,. Простым геометрическим построением можно определить ту точку ударной поляры, которая соответствует данному углу срз наклона скачка к направлению потока перед ним, т. е. определить для данного <рз скорость за скачком. Действительно, проведем в плоскости и, о (рис. 3.13.4) луч из начала координат под углом Грз к оси и перпендикуляр к этому лучу из точки (У„О).
Очевидно, что отрезок луча ОА дает величину касательной к скачку составляющей скорости перед скачком. Так как касательная к скачку составляющая скорости газа за скачком должна иметь ту же величину, то ясно, что скорость за скачком представляется отрезком ОВ, идущим из начала координат в точку пересечения нормали с ударной полярой. Обратное построение, т. е. нахождение направления скачка по заданной скорости за скачком, тоже не представляет труда.
Огме- ГЛ. !г!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ тим, что если задано лишь направление скорости за скачком (в пределах значений угла отклонения потока, меньших максимального), то можно найти два разных значения величины скорости за скачком и два разных значения угла наклона скачка. Эти два скачка, соответствующие одному и тому же углу поворота скорости, называют скачками «слабого» семейства (при меньшем изменении скорости и меньшем росте давления) и «сильного» селгейства (при большем изменении скорости и большем росте давления).
За скачком сильного семейства скорость всегда дозвуковая, за скачком слабого семейства скорость почти всегда сверх.шуковая (исключение составляет уже упоминавшийся очень малый диапазон угла поворота скорости между 0„, и О„„„). Угол йаклона скачка изменяется в пределах от п)2 — этому углу соответствует наибольшее по величине изменение скорости газа при прохождении им скачка — до минимального значения г)гв !„, при котором нормаль к скачку из точки (Уг, О) касается ударной поляры в этой точке. Найдем это значение грв ь,.
Вблизи точки (1'„О) уоавнение ударной поляры имеет вид ! г» ()г )г г т †! г )' кр — + ! )' ! Выразив отношение $",)Рр через М,', получим о' = (М;- — 1) ()', — сс)'. Отсюда заключаем, что т. е. чгв !„=р есть угол Маха,— скачок уплотнения вырождается н характеристику. Аналогично уравнению ударной поляры, связывающей значения компонент скорости и и о с одной стороны скачка при известном состоянии газа с другой его стороны, получим связь между давлением р и углом О поворота потока в скачке. Соотношения на скачке в виде (см.
(2.8)) р — р, = рг)'! ()г! — и) (ОО=.: о (и) И где о(и) определяется уравнением ударной поляры (13,4), дают в параметрической форме (с параметром и) связь между р и О с одной стороны скачка при фиксированном состоянии газа с другой. 94С ТЕЧЕНИЕ ВНУТРИ УГЛА 297 На рис. 3.13.5 представлена эта связь для случая, когда фиксированным является состояние движения со сверхзвуковой скоростью перед скачком. Замкнутая петля соответствует в этом случае скачкам р уплотнения; нижние ветви не имеют физического смысла.
Полученные кривые являются отображением в плоскость параметров 8, р ударных поляр в плоскости и, и и повторяют их свойства. Эти кривые называют «сердцевидными» за их своеобразную Рис. 333.3 форму. Иногда используются и другие графические иллюстрации соотношений на скачках уплотнения; приведенные выше, наряду с кривой Гюгопно, используются наиболее часто.
й 14. Течение внутри угла. Свехзвуковое обтекание клина и профиля. Истечение газа в пространство с повышенным давлением Рассмотрим сверхзвуковое обтекание стенки АОВ (рис, 3.14.1,а) из двух прямолинейных участков, образующих в точке О вогнутый угол, Примем, что стенка простирается в обе стороны в бесконечность. Набегающий слева поток имеет скорость Гм давление р, и Рис. 334.! плотность о,, Соображения, аналогичные использованным в 9 8 и 12 гл. 11, показывают, что решение этой задачи должно быть автомодельным, так что распределения газодинамических величин в нем зависят лишь от отношения у!х (начало координат совмещено с точкой излома стенки). Аналогично 9 12 гл. 11 можно показать, что для уравнения плоского установившегося движения возможными автомодельными решениямп, зависящими только от у/х, являются однородные потоки и рассмотренные ранее центрированные течения Прандтля — Майера.
В автомодельных решениях области однородного течения или центрнрованного течения Прандтля — Майера могут отделяться одна от другой прямыми у7х=сопз(, представляющими собой слабые разрывы (характеристики) или сильные разрывы (скачки уплотнения, тангенциальные разрывы). 298 гл. пс устхновившиеся движения В задаче о течении внутри вогнутого угла центрированные течения Прандтля — Майера с прямыми характеристиками первого семейства (направленными в сторону движения) или второго семейства (направленными против движения), примыкающие к набегающему однородному потоку, не могут дать нужного решения, так как и в той и в другой волне (первая из них есть волна разрежения, вторая — волна сжатия) поворот вектора скорости происходит против нужного направления. Точно так же непригоден скачок уплотнения, идущий к угловой точке из бесконечности слева, так как в нем набегающий поток тоже поворачивается не в требуемом граничным условием направлении.
Кроме того, и волна разрежения, и скачок уплотнения, идущие из бесконечности в набегающем потоке к угловой точке, не соответствуют физическому содержанию задачи, так как предполагается, что источником возмущения набегающего однородного потока является излом стенки. Таким образом, единственная возможность получить решение задачи состоит в том, чтобы принять существование скачка уплотнения, отходящего от угловой точки вниз по потоку (это решение подсказывается и предыдущим рассмотрением задачи об обтекании криволинейной стенки, вогнутой в направлении области, занятой газом). Обратимся к ударной поляре.
Как было установлено ранее, если угол излома стенки и совпадающий с ним угол поворота вектора скорости потока меньше предельного для данных условий в набегающем потоке (эти условия характеризуются двумя безразмерными параметрами — числом Маха М, и величиной у), то возможны два положения скачка уплотнения, при которых угол поворота потока будет одним и тем же. Больший угол наклона скачка соответствует более сильному изменению состояния газа в скачке, меньший угол наклона — более слабому. Как уже говорилось в предыдущем параграфе, если угол отклонения потока не очень близок к предельному, то скорость газа за более слабым скачком †сверхзвуков, за более сильным она всегда дозвуковая.
Сформулированная постановка задачи не позволяет отдать предпочтение какому-либо одному из полученных двух решений; для однозначного выбора решения необходимы дополнительные соображения. Опыт показывает, что в течениях, близких к двумерным, и при отсутствии дальнейшего повышения давления в области вниз по течению от излома стенки реализуются более слабые скачки. Отметим еще, что в изложенном решении задачи об обтекании вогнутого угла неявно принималось условие о совпадении границы области движущегося газа с обтекаемой стенкой.
При несоблюдении этого условия возможны и другие — автомодельные и неавтомодельные — решения задачи. На рис. 3.14.!,б и в приведены простейшие примеры таких решений, в которых с обтекаемой стенки сходят вихревые поверхности — контактные разрывы, отделяющие от движущегося газа пристенные «застойные» области газа с постоянным давлением. $ ы. течение ВнутРи уГлА Позже (в 3 17) мы еще вернемся к вопросу о единственности решения задач обтекания. Если в течении, показанном на рис. 3.14.1,а, скорость газа за скачком сверхзвуковая, то полученное решение пригодно и тогда, когда стенка после излома не простирается в бесконечность, а ведет себя, например, так, как показано на рис.
3.14.2. Хотя вэтом случае течение в целом не автомодельно, возмущение от второго излома стенки в точке В не нарушает течения перед этим изломом, так как область идущих от него возмущений ограничена спереди прямолинейной характеристикой первого семейства ВС, замыкающей однородное течение за скачком. Вдоль характеристики ВС к однородному Рис. 3.14.3 Рис. 3.14.2 потоку примыкает центрированное течение Прандтля — Майера (тоже автомодельное в соответствующей системе координат). Это течение и следующий за ним вдоль продолжения стенки однородный поток остаются невозмущенными вплоть до первой характеристики С)) второго семейства, идущей из точки С скачка. Если скорость газа за скачком меньше скорости звука, то полученным автомодельным решением нельзя описать течение за скачком в случаях, когда стенка на конечном расстоянии от точки излома перестает быть прямолинейной, так как возмущения от измененной формы стенки распространяются по всей области течения вплоть до скачка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
