Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 59
Текст из файла (страница 59)
3.! приведены данные расчета величины й7Н при у 1,4 для разных значений т,. Табл лца 3.1 йто ТЛ. !!!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ности. В сййзп О вттйм широкое распространение получил прибли~ женный метод решения линейных уравнений в переменных годографа. Идея этого метода была высказана самим Чаплыгиным и впоследствии была развита в основном в работах советских ученых. Вернемся к исходному соотношению (3.8) и следующим из него уравнениям (3.10). Входящие в коэффициенты этих уравнений величины У и р связаны между собой и с давлением р двумя зависимостями (3.1) и (3.2).
Примем, что р,=1, т. е. будем измерять плотность р в долях р„ и введем дополнительно к (3.!) и (3.2) связь между р, р, У и новой переменной а посредством формулы г(а= д уР !(У, где д — некоторая функция от У или о, вид которой пока не определен. Четыре величины р, р, У и а связаны тремя соотношениями и, следовательно, любые три из них могут быть выражены через четвертую.
Видом функции д можно впоследствии распорядиться. Система (3.10) и уравнение (3.11) для функции тока !р при замене У новой переменной а примут вид а — = — К вЂ” — =а— д<р д!р дЧ! д!р да дв ' дО до (6.2) и (6.3) К д'!р д'!р а'(а) д!р — — + — + — — =0 я! ОО! да~ я да Здесь введено обозначение д!р дΠ— = — К— )дч дО К = — У вЂ” — = — (1 — М'). др рр р~ (6.4) Функция К называется 4!ункцией Чаплыгина. При любой связи между р и р эта функция положительна при дозвуковых скоростях и отрицательна — при сверхзвуковых.
Отсюда следует, что уравнение (6.3) имеет эллиптический тип, если соответствующая течению область плоскости годографа лежит внутри окружности У=У„„и гиперболический тип, если эта область лежит вне окружности У=У„, Если область в плоскости годографа содержит участок линии У= У„р, т. е. если в части области течения скорость дозвуковая, а в части— сверхзвуковая, то уравнение (6.3) является уравнением смешанного типа — эллиптико-гиперболическим.
Произвол в выборе функции д позволяет подчинить коэффициенты уравнений (6.2) или уравнения (6.3) какому-либо одному условию и таким образом придать этим уравнениям удобный в том или ином отношении вид. Так, при д = 1 получим дв да' (6.5» бе ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ЧАПЛЫГИНА И ЕГО ОБОБШЕНИЯ 27! и соответственно К вЂ” + — =О. дев де две дое (6.6) Переменная о определяется при этом соотношением до р У У' (6.7) Если всюду в области течения М(1, то, приняв д=УК, можно придать уравнениям (6.2) так называемую каноническую форму для дозвуковых движений *) (6. 8) Уравнение (6.3) запишется в виде дая дее 1 д д~р — + — + — — !ПК вЂ” =О, дае две 2 до,до а связь о с другими переменными выразится формулой дУ У до р уК (6.0) (6.10) При М)! обозначим К= — К,; полагая й =)гКО получим каноническую форму уравнений для сверхзвуковых движений: (6.11) дь,~ деф ! К вЂ” — — — — 1пК ~~=0.
дв' дна 2 дг " до (6.12) Связь о с другими параметрами дается формулой ~У= — ')'К' дУ У (6.13) Уравнения (6.11) легко преобразуются к характеристическому виду с характеристическими направлениями, определяемыми условиями ~Ь ЕΠ— =~! Эти соотношения можно проинтегрировать и ввести характеристические переменные $ и т) по формулам о †0=, о+0=27!. «! Это было сделано Л. С. Лейбенаоном в !935 г. 272 ГЛ. Пг. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В характеристических переменных уравнение (6.12) примет вид -~-~ + — — 1НК, ( — 'р+ т)*=0.
(6.14) Аналогичное уравнение можно получить для потенциала скорости. В уравнении (6.14) коэффициент при первых производных есть определенная функция от а= $+ т). Для несжимаемой жидкости при выборе ее плотности в качестве масштаба плотности р, получим, согласно формулам (6.4) и (6.7), К= 1 и о= 1п()7/)гг), где )'г — некоторое характерное значение ско- рости, при котором о= О.
Уравнения (6.5) обратятся при этом в урав- нения Коши — Римана дч дф до де дв до ' до да' (6.15) Общее решение этих уравнений имеет вид «р+ (тр = / (6+ 1о), где / — произвольная аналитическая функция. Если ввести комплекс- ный потенциал а=<р+ (тр и переменную ~=а "а+'о'= — е-га, то это У решение можно записать следующим образом: - р'(ь) Из выражения (3.8) в рассматриваемом случае получаем связь между комплексной переменной ~ и комплексной координатой г в плоскости течения несжимаемой жидкости: ов г(з =— Для адиабатических движений совершенного газа связь между о и скоростью )г или переменной Чаплыгина т=)га/У'„, согласно формуле (6.7), имеет вид 1 — от 1 сЬ =- (1 — г)»- г— 2 с' а функция Чаплыгина К определится в зависимости отт следующим образом: 1- — т т+1 /( т — 1 (6. 16) (1,) — '-' На рис.
3.6. 1 приведен вид зависимости К от относительной плотности р/р, для адиабатических течений совершенного газа. Основная идея излагаемых ниже методов получения приближенных решений задач об адиабатическнх движениях сжимаемого газа с помощью уравнений Чаплыгина (6.5) состоит в следующем е). ') Подробное развитие втой идеи содержится в книге 1121 (си. также сноску а) на с. 280). Э Ф. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ЧАПЛЫГИНА И ЕГО ОБОБШЕНИЯ Я73 Внд коэффнцнента К(о) в уравнениях (6.5) н внд завнснмостн о(Г') связаны с видом соотношения р=р(р). Можно поэтому пытаться, меняя в допустимых пределах в требуемом диапазоне значений р физическую зависимость р(р), т, е.
несколько меняя принятую модель газа, так изменить внд функции К(а), чтобы уравнения (6.5) стали математически возможно проще, т. е. стали более доступнымн для решения. Запишем выражение (6.4) для К в виде Отсюда, рассматривая это соотношение как уравнение для определения зависимости р(р), получим зер (6.17) Р= ск 1 р. Таким образом, прн заданной функции К(р) зависимость р(р) содер-.
жнт две произвольные константы. Соответствующим выбором этих констант можно обеспечить, например, совпадение прн некотором значении р=р. значений р н р'(р) в аднабатнческой зависимости р(р) н в той, которая соответствует прннятому выбору К(р). РассмотРим некотоРые наиболее важные пРИ- е Р~Р меры использования описанного метода апирок- йе ба симаиии адиабаты. Первый пример принадлежит самому Чаплыгнну н называется приближенным методом Чаплыгина. -др Прн малых значениях т нлн числа Маха М функция К для аднабатнческнх течений близка -Др к единице. Разлагая правую часть выражения (6.16) в ряд по степеням т, получим -;,е Рис. 3.6.! Даже прн М=0,5 отличие К от единицы прн 7=1,4 составляет менее 0,04.
Положим, как это было сделано Чаплыгиным, К=1. Тогда нз. формулы (6.17) найдем связь между р н р в виде р=-А — —, В Р (6.18) где А н  — произвольные постоянные. В плоскости 1!р, р связь (6.18) представляет собой уравнение произвольно ориентированной прямой ГЛ. !!!. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 274 линии.
Ранее в З 3 и 7 гл. П уже встречалась модель газа, в которой давление и плотность связаны этим уравнением (газ Чаплыгина). Запишем уравнение (6.18) в виде Р (6.19) Прямая в плоскости р, !7р, определяемая этим уравнением, проходит через точку р„1/р, и имеет отрицательный угловой коэффициент — р'.а'., где а, есть значение величины а=Ус(р72(р (эквивалента скорости звука для баротропной связи (6.19)) при р=р.. При аппроксимации соотношением (6,19) адиабатической зависимости р(р) для совершенното газа константы р„р„а, можно вы- 2Ри бирать по-разному.
Чаплыгин (при решении задач об истечении струй) принимал за аппроксимирующую прямую (6.19) касательную к истинной адиабате в точке, соответствуюд 'Р щей параметрам заторможенного газа (рис. 3.6.2), т. е. полагал р,=р„р.=р„а,=а,. При решении задач об обтекании газом профилей обычно принимают, что прямая (6.!9) Рис.
3.6,2 есть касательная к истинной адиабате в точ- ке, соответствующей набегающему однородному потоку, т. е. полагают в выражении (6.19) р,=р„, р,=р„, а,=а„. Конечно, можно выбирать аппроксимирующую прямую (6.19) и многими другими способами, например, проводя ее через какие- либо две точки истинной адиабаты. Модель газа Чаплыгина не обладает рядом свойств нормального газа.
В частности, для нее давление обращается в нуль при уменьшении плотности уже до некоторого конечного значения; при дальнейшем уменьшении плотности модель в применении к газам теряет физический смысл. Рассмотрим некоторые свойства газа Чаплыгина при установившихся движениях.
При использовании связи (6.19) из интеграла Бернулли получаем 2 2 а.р, У' — 'Р' = 1!'.— а', Р где У, есть значение скорости, соответствующее р=р,. Иначе можно написать У' — а' =- У2 — а',. (6.20) Эта запись интеграла Бернулли показывает, что при непрерывном течении газа Чаплыгина переход через скорость звука невозможен: знак разности в левой части определяется знаком константы в пра- о о. пгиБлиженнЬ!я метод чАплыГинА и еГО ОБОБщения 275 вой части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
