Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для нахождения этих соотношений в форме, удобной для даль- нейшего, направим ось х вдоль вектора У„а ось у — по нормали к ней в плоскости векторов К, н и, н спроектируем уравнение импульсов (!.7.21) на осн х н у. Это дает н рхУт(У,— и) р — р, (2.8) р,)', Ейп фз и = (р — р,) соэ фз.
В соотношениях (1.1.5) для р(рт н р,/р заменим величину 1", вели- чиной ош= У,'5!и'фз, т. е. заменим М', величиной М,'5!и'фз, где фз — угол между направлением скачка и направлением скорости )г,. В результате получим — = 1 + — (Мзз 5!Пз фз — 1), т+1 рх т 1 2 + Р 7+! (у+1)Мтз(пзфл Фз. ууавивния члплыгинх и константа в правой части интеграла Бернулли (1.8) одна и та же во всей области движения, этот интеграл, как уже указывалось в $ 1, дает (при (7=0) связь между давлением р илн плотностью р и моду- лем скорости Р: (3.2) хе Будем рассматривать далее плоские и осесимметричные течения.
Прн сделанных предположениях уравнение (1.22) для таких течений превращается в условие отсутствия вихрей дх ди — — — =О. дх ду Это условие эквивалентно тому, что выражение йр = и йх + и ду есть полный дифференциал функции Ч~ — потенциала скорости. Уравнение неразрывности для плоских или осесимметричных движений эквивалентно условию (1.!6), в котором для рассматриваемых течений р есть известная функция от и'+ о' р,й~==. риу' 'г(у — рву 'г(х, (3.4) (Здесь введен масштаб плотности р, для того, чтобы придать функции тока ф ту же кинематическую размерность, что и у потенциала скорости <р.) Из дифференциальных соозношений (3.3) и (3.4), принимая х и у за независимые переменные, получаем и= —, дч дф дх ' ду риу =-р,—, рпу = — р,—.
дФ ~-1 дФ ду ' дх ' Отсюда находим систему двух уравнений для определения функций ~р(х, у) и ф (х, у): р х ~Ар д$ р «,д~р д~у у, у ро дх ду ' ро ду дх ' (3.5) (3.6) Аналогично можно получить уравнение для потенциала скорости «р: (3.7'г Исключив из этой системы производные от ~у, получаем одно уравнение для функции тока ГЛ. 1!1. УСТИНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ (г=ф(йр+ — ", (ф). (3.8) Считая якобиан 'О(в, у) ! 0 (к, у) отличным от нуля, т. е.,функции 8(х, у) и У(х, у) независимыми, в силу произвольности 1!0 и 1(У найдем *) йдх езв !' д1Р ° Ре д~Р '! — = — ~ — 0 1' — — ). ав= У (,ав р ав,) (3.9) Исключим из этих уравнений с помощью дифференцирования первого из них по О, а второго по У производные от г.
После дифференцирования члены со вторыми производными в правых частях обоих уравнений будут одинаковы и при приравнивании правых ') Особые решения, в которых В и У связаны между собой определенным соотношением, будут рассмотрены отдельно в 4 1В. Отношение р/ра с помощью соотношений (3.1) и (3.2) выражается через !рва+ рй или через ф'„+ф'„. Поэтому система (3.5) и уравнения (3.6) и (3.7) нелинейны. Обратим теперь внимание на то, что в случае плоских течений (у= 1) коэффициенты при дифференциалах в выражениях (3.3) и (3.4) зависят только от компонент скорости и и о или от модуля скорости У и угла 0 вектора скорости с осью х. Поэтому, если в этих дифференциальных выражениях считать независимыми переменными У и О (или какие-либо их функции), а за искомые величины принять х, у, 1р и тр, то для определения этих искомых величин в случае плоских течений получим линейные дифференциальные уравнения в частных производных.
Плоскость изменения переменных и, о или переменных У, О, рассматриваемых как полярные координаты в этой плоскости, называется плоскостью годографа, а сами переменные У, 0 — переменными годографа. Не останавливаясь на случае осесимметричных течений, для которых переход к переменным годографа не приводит к каким-либо упрощениям системы уравнений, получим уравнения для 1р и тр в переменных годографа для плоских течений.
Для сокращения выкладок, а также с целью использования в дальнейшем аналогии с течениями несжимаемой жидкости, разрешим соотношения (3.3) и (3.4) относительно дифференциалов 1(х и е(у (это можно сделать при рУачьО) и скомбинируем их, введя обозначение с(г=с(х+ 11(у, т. е. считая плоскость течения плоскостью комплексного переменного г=-х+ ту. В результате получим уэ. унлннения члпльпинл частей сократятся, в результате чего получим !еев / дча ° ро дФ ~ еэ / ! д~р ° д ра <Ч ~ — ( — +! — — )=е ~ — — — +! — — ' — ).
(,дУ ' р дУ) 1 Уа дО ОУ рУ дО)' После сокращения на е'в, отделив мнимую и действительную части этого равенства, найдем др д ра дФ др раУ дв дУ дУ рУ дО ' дО р дУ' (3.10) Исключив нз этих двух уравнений производные от ер, получаем одно уравнение для функции тока — — — у! — У вЂ” — — '=О. д ('рэ)' Отжат д ра д'~> дУ (, р дУ ) ор рр два (3.11) Аналогично получается уравнение для потенциала скорости тр э). Все эти уравнения линейны, причем в них коэффициенты при производных суть функции только одной независимой переменной У. После определения !р и тр в зависимости от О и У функции х(9, У), р (О, У) находятся квадратурой из соотношения (3.8). Последним шагом решения является обращение этих функций.
Течение в физической плоскости х, у будет определено однозначно, если в области плоскости годографа, соответствующей течению, отличен от нуля якобиан ! 0 (х у) 0 (к, У) Р Ор, э) ! ! 0(О У) 0(т, 'т) 0(О У) Р у Ра где, согласно уравнениям (3.!О), (3.12) Ясно, что при дозвуковой скорости якобиан е' может обратиться в нуль только при равенстве нулю всех производных дф'дО, ..., д!р(дУ, при этом дг!дО и дг(дУ также обращаются в нуль. Это может произойти лишь в изолированных точках.
При сверхзвуковой скорости в плоскости годографа могут существовать линии, в точках которых l (9, У)=0. Эти линии называются критическими. Соответствующие им линии в плоскости течения называются предельными и являются в этой плоскости линиями ветвления решений. Более подробно об этом будет сказано ниже при рассмотрении конкретных течений.
При решении многих важных задач о течениях газа, например, задачи об обтекании тел или о движениях газа в каналах, когда форма тела или стенок канала задана, краевые условия для уравнений (3.5), определяющих потенциал скорости и функцию тока, естественным образом формулируются в плоскости течения х, у. Для решения же уравнений (3.!О) нужно формулировать краевые задачи в плоскости годографа.
В общем случае это нельзя сделать, исходя ") Впервые это уравнение получил П. Моленброн (1890). з е. точные пвшення в пепвменных годогплоа 257 Полученные уравнения были впервые выведены С. А. Чаплыгиным н называются уравнениями Чаплыгина *), $4. Некоторые точные решения в переменных годографа 1. Найдем течение газа, соответствующ.е частному решению уравнений (3.10): <р= — АО (А ) О), ф — ( Р Б'. (4.1) а Реу тех Для этого используем соотношение (3.8).
Подставив в него ейр н с(ф нз (4.1), получим « = — л ~вбΠ— — 'е! Ю. У х — х =1 — в .в е у в 1 (4.2) где ге †некотор точка плоскости г. Введем в плоскости г полярные координаты г, О с центром в точке г=г„т. е. положим а — ге=ге'з. Тогда поле скоростей нзучаемого движения определится формулами У =- —, О=Π— —. А л г' 2' Линии тока этого движения являются концентрическими окружностямн с общим центром в точке а=ге. Частицы газа движутся по ннм с постоянной скоростью, прн выбранном знаке постоянной А— по часовой стрелке.
Скорость на линиях тока убывает обратно пропорцнонально нх радиусу; прн этом константа А связана с циркуляцней скорости Г вдоль замкнутой линии тока очевидным равенст- вом А= — „. Г 2л ' ') С. А. Чаплыгин. О газовых струях.— М., !902; также Избр. труды по механике н математике. — Мл Гостехиздат, )954. Так как введенная С. А Чаплыгиным переменная т равна йе(А= У/У,„е„— приведенная скорость, см. 4 3 гл. !), то А можно назвать числом Чаплыгина; зто справедливее, чем встречающееся для нее в зарубежноа литературе название числа Крокко.
9 Г. г. черные Пользуясь тем, что выражение в правой части есть полный днфференцнал н, следовательно, путь интегрирования в плоскости годографа может быть любым, проинтегрируем это выражение от некоторой фиксированной точки О„У, до точкн О, У сначала прн У=У,=сопз1 от О, до О, а затем прн О=сопз( от У, до Р. В результате получим ГЛ. !!!.
УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 288 Описанное течение представляет собой обобщение на случай сжимаемого газа потенциального течения от сосредоточенного вихря в несжимаемой жидкости. Для адиабатического течения совершенного газа такое течение существует лишь вне круга с радиусом и;„ (рис. 3.4.1,а), определяемым условием г и !„= 2ВУ«аа« ' На окружности г =- г,„скорость газа равна максимальной скорости адиабатического установившегося течения У „, а давление и плотность равны нулю. При неограниченном росте г скорость газа Гаа ! =у р ь ! У«р У У«а о,в и, е у рв асей ч,-! Рис.
3.4.1 убывает до нуля (рис. 3.4.1,6), а давление и плотность стремятся к их значениям в состоянии торможения. На окружности г=г„= т+! ы — г,„(при у=1,4 г«р=-2,45г !„) скорость газа равна критической (при у = 1,4 )Р„р = 0,4! У,„), так что при значениях г ) г« течение газа дозвуковое, в кольцевой области и !„( и < и„,— сверхзвуковое. На рис. 3.4.1,а в этой кольцевой области показаны акустические характеристики двух семейств.
2. Рассмотрим другое частное решение уравнений (3.10): Р=А9 (А>0), Р=А ~ У вЂ” „',+Л (4.3) к «р и найдем соответствующее течение газа. Из соотношения (3.8) следует е(г = Ае!Вп' Ра 1 аА Ра е!В а(9. РУ РУ Поступая при интегрировании аналогично предыдущему, отсюда получаем е — г = ге а А Р' ее (4.4) 259 4 о, точные Решения а пеРеменных ГодогРАФА г=А— Ро У Р (4.5) Второе соотношение (4.5) показявает, что линии тока направлены вдоль лучей, исходящих из точки г = г, (рис. 3,4.2, а). Величина скорости на линиях тока одинакова на каждой окружности с центром в этой точке и меняется с радиусом г окружности согласно первому соотношению (4.5), которое выражает собой закон сохранения массы.
Константа А связана с расходом газа Я через окружность соотношением Описанное течение представляет собой источник (при А < 0— сток) в сжимаемом газе, о котором уже говорилось раньше (см. $ 5 гл. 1). Напомним, что для адиабатических течений совершенного газа Рооо Р =Рор оооо 0,Е Н,4 йг Р г г 4 рРЬЫ Р" а Рис. 3.4,2 эо зависимость )Р (г) имеет две ветви (рис. 3.4.2, б); при этом для г < р;„, где р,„ соответствует критической скорости газа, действительных значений )Р не существует. На одной ветви решения скорость меняется от критической при гр-г ы до нулевой при г= оо (дозвуковой источник или сток, рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
