Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Так, в рассмотренном выше примере распространяются волны в виде областей повышенного давления, в которых все частицы газа имеют скорости в направлении распространения волны. Рассмотрим еще задачу об отражении бегущей волны конечной ширины х, от стенки х=О (рис. 2.18.2). Пусть передний фронт волны встречает стенку при 1=0. В подходящей волне Р Р'== и = р,а, = ) (х — а,(), так что функция ) известна в интервале значений аргумента — х„О. При х=О из условия и=О получаем Р34 Гл. н. ОднОмеРные неустхнОВившиеся дВижения При отражении от стенки форма волны и ее амплитуда остаются прежними, знак возмущения давления сохраняется, а знак скорости меняется на обратный.

Вне интервала О, х, функция д равна нулю. В области наложения падающей и отраженной волн и=-О, ((х — а,1)+ ~( — (х+ а,К)1. При х=-О р — р,=2)( — а,(), т. е, на стенке возмущение давления удваивается по сравнению с его величиной в падающей волне. Если волна отражается от свободной поверхности или от открытого конца трубы х=- О, то из условия равенства давления в этом сечении начальному давлению (так как движение происходит с малой дозвуковой скоростью, это условие на открытом конце трубы выполняется, см.

Э 13) получаем Следовательно, после отражения от свободной поверхности форма волны и ее амплитуда остаются прежними, знак возмущения давления меняется на противоположный, знак скорости сохраняется; скорость газа у открытого конца трубы в области наложения падающей н отраженной волн удваивается сравнительно со скоростью в падающей волне.

Перейдем к рассмотрению сферических волн (У=3). В этом случае уравнение (18.6) можно преобразовать следующим образом: 1 да да —, — (хтр) — (х~р) =- О, а', дка дха так что общее решение для потенциала возмущений ~р будет иметь вид ~р = — '(г" (х — а,() + б (х+ а,г)1. (18. 11) Отсюда для давления и скорости получаем выражения Р— Р ! ( — ВРО л (х+а,д) Вгак Х Х к-аи «аад $к аа Так же, как и в случае у = 1, общее решение для возмущения давления представляет собой сумму двух волн, бегущих в направлениях от центра симметрии и к центру. Однако, в отличие от плоских волн, интенсивность сферических волн давления при распространении изменяется пропорционально 1/х.

То же поведение имеет м связанная с давлением часть возмущений плотности. 4 ЕО. АКУСТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Рассмотрим волну давления, бегущую от центра симметрии. Запишем потенциал возмущений че (18.11) для такой волны в виде 1 ( х) (18.12) Для скорости и возмущения давления в волне получим формулы е (~ —,*) е (г- —.*) ~ 4п а,х хе (18.13) 1,/ хе р — р,=р,а,— Я (! — — ). 4пх е, а)' Вычислим поток газа о(х, 1) через поверхность сферы х=сопз! наружу д = 4пхаи = — Я' (! — ) + 1'> (! — — ) и найдем предельное значение этого выражения при х — О Иш е! (х, г) = Я (!).

к 0 Отсюда следует, что возмущения, описываемые потенциалом (18.12), можно рассматривать как результат действия в центре симметрии х=О источника (стока) с объемным расходом Я(!). Согласно выражению (18.12) возмущения от действия такого источника приходят в точку с координатой х с опозданием относительно момента их возникновения в центре симметрии на время х/аи которое требуется возмущению для его распространения от центра симметрии до данной точки со скоростью звука а,. В связи с этим потенциал возмущений вида (18.12) называется запиздывающим потенциалом. Этот потенциал является обобщением потенциала источника в несжимаемой жидкости 4пх к( ) 1 и переходит в него в предельном случае бесконечной скорости распространения возмущений а, = ао. Согласно формулам (18.13) изменение давления в волне при некотором значении х повторяет с соответствующей задержкой и уменьшением интенсивности изменение по времени производной от мощности источника.

Закон изменения скорости в данной точке при прохождении волны существенно меняется с увеличением расстояния х. При малых х изменение скорости с соответствующим сдвигом по времени и уменьшением интенсивности повторяет изменение по времени мощности источника, при больших же х изменение скорости становится все более близким к изменению производной от мощности источника. Пусть волна имеет конечную ширину, так что функция Я(!) в выражении (18.12) для потенциала возмущений отлична от нуля Рзв Гл. н. ОднОмеРные неустлновившиеся движения только при 0 <1 < т (рис. 2.18.3, а). При условии, что после прохождения волны газ вновь приходит в первоначальное невозмущениое состояние, должно быть Я(0)=Я'(0)=0, Я(т)=Я'(т)=0.

Поскольку ()( ) = ~ О (Г) (1 = О, о то знак производной Я'(Г) обязан меняться в интервале 0 < 1 < т; согласно второй формуле (18.13) это означает, что в волне обязательно меняется знак возмущения давления (рис. 2.18.3, б) и связанной с ним части возмущения плотности. Таким образом, в отличие от плоских волн, в сферических волнах конечной ширины обязательно присутствуют зоны и повышенного, и пониженного давления. (Известно, что при действии взрывной волны оконные стекла часто вылетают наружу — это результат наличия области пониженного давления в волне.) Если в бегущэй волне конечной ширины возмущение давления сохраняет знак (или — в более общем случае — если ~ Я'(1)Ж = а =Я(т) ФО, то газ после прохождения волны не придет в состояние покоя, а будет двигаться стационарно с распределением скорости 4) (т! Я=— 4пла ' соответствующем источнику в несжимаемой жидкости.

Прп этом в бегущей волне давления происходит нестационарный переход от области покоящегося газа к расширяющейся со скоростью а, области установившегося течения от источника. То, что в этой области в принятом приближении давление и плотность имеют невозмущенные значения, легко объяснить. В самом деле, в стационарном потоке скорость связана с давлением интегралом Бернулли (1.3.21) л Р л~ согласно которому при малой величине возмущения давления оно имеет порядок квадрата скорести и, следовательно, не учитывается рассматриваемой линейной тевркей. 5 ИЬ АКУСТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ гзг В случае цилиндрических волн (у=2) общее решение уравнения (18.6) имеет несколько более сложный вид, чем для плоских (У=1) или сферических (У=3) волн.

Поскольку в линейном приближении взаимодействие волн отсутствует, то для нахождения решения с цилиндрической симметрией можно воспользоваться супер- позицией полученных выше сферически-симметричных решений. Пусть в цилиндрической системе координат г — расстояние вдоль оси симметрии, а х — расстояние от оси. Поместим в точке г=ь оси симметрии центр сферически-симметричной волны. Согласно формуле (18.11) потенциал, описывающий возмущения в такой волне, имеет вид ~р= — '1г (г — а,1)+ О (г+а,!)), ! где г= р х'+(г — ь)' — расстояние точки с координатами х, г от центра волны.

Очевидно, что этот потенциал симметричен относи- тельно оси г. Распределим теперь вдоль всей оси г центры одинаковых волн; по- тенциал возмущений от таких волн с центрами, расположенными на отрезке аЬ оси г, определяется выражением Йр = — 1г'(г — а,1) + ! г + 6 (г+ а,!))аь. Суммируя эти выражения, найдем потенциал воз- мущений от волн с центрами на всей оси г в виде интеграла гр=- ) — '1г (г — а!)+ б (г+а11)1 аЬ. (18. 14) Очевидно, что полученное выражение для ~р обладает осевой сим- метрией и не меняется при сдвиге начала отсчета координаты вдоль оси симметрии, т. е. не зависит от г.

Потенциал (18.14) удовлет- воряет уравнению (18.6) при у = 2 и ему соответствуют течения с цилиндрическими волнами. Поэтому в выражении для г в фор- муле (18.14) можно положить г = О и рассматривать течение в одной только этой плоскости. ф~ Изучим волны, идущие от оси симметрии, т.

е. положим в выра- жении (18.!4) функцию О равной нулю. Функцию г возьмем в виде 4 ~( )' т. е. будем считать, что расходящиеся волны вызываются действием источников, расположенных на оси г, с расходом Я(!) на единицу длины (см. (18.12)). Остановимся на определении пределов интегрирования в форму- ле (18.14). Для этого обратимся к рис. 2.18.4. Из-за симметрии течения относительно плоскости а=О можно в формуле (18.14) рас- сматривать только верхнюю полуось г, удвоив затем результат. Если источники начинают деествовать в момент времени ! = О, то очевидно, что <р= О в области х ) а,1: возмущения от источников еще не дошли до этой области. При больших значениях времени, когда х( а,1, 238 Гл. н.

ОднОмеРные неустАновившиеся дВижения в точке с координатой х проявляется действие только тех источников, которые удалены от этой точки на расстояние, меньшее а11, т, е, источников, расположенных на отрезке (О, ~') оси е, где ь'= ='г оа11а — х'. Таким образом, при х(а,1 и' аан-х' д (г )/ а 1,"а) 1 г аа (18.15) о Если источники действуют только конечное время т (см. рис. 2.18.3, а), то в формуле (18.15) нужно заменить нижний предел интеграла О величиной ь = Уаа,((--т)а — х', так как в точках с меньшими значениями ь действие источников уже завершилось: Я=О. 0 Рис. 2.18.4 Рис.

2.!8.8 Подчеркнем, что в этом случае,'в отличие от плоских и сферических волн, потенциал не обращается в нуль при х ( а,(1 — т), а затухает лишь асимптотически по времени. Действительно, при любом сколь угодно большом 1 на точку с фиксированной координатой х продолжают оказывать действие источники, расположенные на все более далеком от этой точки отрезке (~", ь') оси г. На рис. 2.18.5 приведены графики распределения давления в распространяющейся вправо волне на некотором расстоянии от источника при т = 1, 2, 3 для одной и той же функции 1Э(1), изображенной на рис.

Характеристики

Список файлов книги