Г.Г. Чёрный - Газовая динамика (1163308), страница 47
Текст из файла (страница 47)
уравнения (1.1О)). 2!2 гл. 11. Одномепные неустднопиншиеся дВижения волны, а условия на контактном разрыве допускают произвольный скачок тангенциальных скоростей, то образующиеся волновые конфигурации в этом случае ничем не отличаются от рассмотренных ранее, а возникающие течения отличаются от прежних лишь тем, что в областях с каждой стороны контактного разрыва сохраняются первоначальные значения тангенциальной скорости, не обязательно равные нулю. Если первоначальная поверхность криволинейиа, а начальные распределения параметров не однородны и не одномерны, то полученное описание распада произвольного разрыва может применяться лишь локально в окрестности каждой точки и лишь в течение малого промежутка времени. При этом конфигурация образующихся первоначально волн может быть различной вблизи разных участков начального разрыва. Помимо приложений к разнообразным случаям движений газа с разрывами, решение задачи о распаде произвольного разрыва стало основой некоторых эффективных численных методов расчета произвольных одномерных движений газа — непрерывных и с разрывами.
Суть этих методов состоит в следующем. В момент времени (1 непрерывные распределения параметров газа заменяются ступенчатыми путем осреднения параметров на малых интервалах (хг, х,. „) оси х. Для получения распределений параметров при (1„=11+ Лг решаются локальные задачи о распаде произвольного разрыва (до начала взаимодействия волн от соседних разрывов между собой; этим определяется наибольшее допустимое значение Лг). Полученные таким путем при 1,.„ распределения параметров вновь осредняются, вновь решается задача о распаде разрывов, и т. д.
В следующих параграфах приведены примеры одномерных движений, при изучении которых возникает задача о распаде произвольного разрыва. й 13. Столкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубы Пусть две ударные волны распространяются навстречу одна другой по однородному покоящемуся газу (рис. 2.13.1), В момент встречи волн известное распределение параметров газа в пространстве будет разрывным в точке встречи и не удовлетворяющим на разрыве законам сохранения; при этом скорости газа с обеих сторон разрыва направлены одна навстречу другой. В следующий момент разрыв распадается, образуя две ударные волны, бегущие по газу в разные стороны, и контактный разрыв между ними ').
*) Можно показать, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостяии всегда образуются две ударные волны; для нормальных газов с другими термодинамическими свойствами более слабая из сталкивающихся ударных волн может превратиться в волну разрежения (см. [5, 91). $ !х столкновег!Не удлиных волн 213 Если обе сталкивающиеся ударные волны имеют одну и ту же интенсивность, то ясно, что возникающий после столкновения контактный разрыв будет неподвижен в пространстве (рис. 2. !3,2), В таком случае можно рассматривать течение лишь с одной стороны его плоскости симметрии. Заменив эту плоскость стенкой (рис.
2. (3,3), Рис. 2.13.1 Рис. 2.13.2 Рис. 2.13.3 получаем решение задачи об отражении ударной волны от стенки (от закрытого конца трубы). Рассмотрим это решение более подробно для случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Газ между стенкой и бегущей по направлению к ней со скоростью Р, ударной волной (область О на рис. 2.)3.3) первоначально покоится и имеет давление р, и плотность р,. За волной (область 1) давление и плотность газа повышаются до значений р, и р, и газ приобретает скорость и, по направлению к стенке. При столкновении движущегося газа со стенкой в момент прихода к ней ударной волны образуется отраженная волна, бегущая от стенки со скоростью Р, Между отраженной волной и стенкой (область !1) газ вновь покоится и имеет давление р, и плотность р„ более высокие, чем их начальные значения р, и р,.
Определим давление р, на стенке после отражения от нее ударной волны и скорость отраженной волны Р . Воспользуемся для этого следующим соображением. Так как параметры газа в областях О и 11 связаны законами сохранения с параметрами газа в одном и том же состоянии в области 1, то эти законы сохранения на падающей и отраженной волнах имеют следующий вид: — РР = р, (и,— Р), Р— р!= — ри,Р, О'+ т Р (и!-!З! т Р! 2 т — 1 Р т-1 214 гл.
!!. Одномерные неустхнОВизшиеся движения Здесь величины без индексов обозначают либо Р„р„р„либо Р, р„р„так что эти две совокупности параметров являются реше- нйямй одних и тех же уравнений (13.1). Введя безразмерные вели- чины Р/р„р)р„Р)и! и обозначив их для сокращения записи просто как Р, р, Р, перепишем уравнения (13.1) в виде — рР=1 — Р, Р— 1=ум рР, (Рв 1 р (1 Р)! 2 (7 — 1) М! Р,2 + (7 — 1) М!' где М' = и'/а,'. Заменим в последнем уравнении р и Р их выражениями через р из первых двух уравнений. В результате для определения двух значений р (р, и р,) получаем квадратное уравнение го 7(7+1),7 ! 7(7 — 1) Так как коэффициенты этого уравнения связаны с его корнями формулами Р~+Р~=2+ 2 М' РоРа=! 2 М то, исключив отсюда М'- и возвращаясь к исходным размерным переменным, получим (зт — г!Р,— (7 — 1)Р, Р,— Р, (зт — ВР,+(7+1)Р, Рэ= Р (7 — 1) Рь+(7+1)ро Р1 — Ро (7 — 1) Р1+(7+1) Ро или При очень слабой падающей ударной волне, когда р1 — Рс((Ро находим — =2, Р! — Ро Р! — Р~ т.
е. избыточное давление на стенке вдвое превышает увеличение давления в падающей волне. При сильной падающей волне, когда р!>) р„ Р! — Ро З7 — 1 Р1 — Ро 7 т. е. Избыточное давление за отраженной волной превышает увеличение давления в падающей волне уже не в два раза, а значительно сильнее. Так, при 7= 1,4 это превышение составляет 8, а при 7 = =1,2 — 13 раз. Этим сильным возрастанием давления при торможении в отраженной волне газа, движущегося к стенке за падающей волной, в значительной мере объясняется разрушительное действие интенсивных ударных волн. р Для отношения скоростей волн = из первых двух уравнений Р,.
4!3. СТОЛКНОВЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН 215 (13,1) находим В Р,— Р, Р.— Р. В О,. Р1 — Ро Рг Ро "~~ Отсюда, учитывая формулу (9.16), для очень слабых падающих волн а, ! р,— р,— р,— р„— ' — -О) при всех у !» == — 1, !з,. = Ги~ 2 а для сильных волн (— (О, т+1~ == — 2 —. О.„т+ 1' Для таких волн скорость отраженной волны при у ( 3 меньше ско- В 1,!Э рости падающей волны. Так, == — — прн у=1,4 == — — при в,= з = '!э,= в у = 1,2. При у > 3 скорость О превосходит скорость падающей волны.
Пусть теперь по однородному газу распространяется ударная волна постоянной интенсивности и вслед за ней по газу идет еще одна ударная волна. Ранее уже было выяснено, что вторая волна должна догнать первую. В момент встречи обеих волн в распределении параметров газа образуется разрыв, на котором вновь не удовлетворены законы сохранения, так А что в следующий момент этот разрыв ! распадается (рис. 2.13.4). В этом случае после распада разрыва по газу в ту же сторону, что и Рьс. 2.!3.4 встречающиеся волны, пойдет ударная волна большей интенсивности, чем была первая волна, т. е.
догоняющая волна усиливает первую (в этом нетрудно убедиться, учитывая параметры начального разрыва и перебирая все возможные при этом комбинации волн). Количественный анализ показывает, что в обратном направлении от контактного разрыва по газу может распространяться как ударная волна, так и волна разрежения. Для совершенного газа с у(5/3 отраженная волна есть всегда волна разрежения.
При у > 5!3 достаточно слабая вторая волна отражается как ударная волна [9]. Задача о распаде произвольного разрыва возникает и при столкновении ударной волны с поверхностью контактного разрыва (это взаимодействие называют также преломлением ударной волны на границе двух сред).
Пусть ударная волна подходит к контактному разрыву, разде- ляющему два покоящихся газа. Простыми рассуждениями вновь не- 2!6 Гл. н. ОднОмеРные неустхновивп|иеся дВижения трудно убедиться, что сквозь контактный разрыв всегда проходит ударная волна (зта волна называется проходящей или преломленной). Количественный анализ показывает 191, что отраженная от контактного разрыва волна может быть и ударной волной„и волной разрежения (рис. 2.13.5,а,б).
Поскольку в слабых ударных волнах соотношения между пара. метрами те же, что в волнах Римана, то для слабых ударных волн справедливы те же выводы об их взаимодействии с контактным разрывом, что и полученные в ~ 11 для волн Римана. Рнс. 2Л3.5 Если с обеих сторон контактного разрыва газ совершенный и имеет одно и то же значение у, то независимо от своей интенсивности ударная волна отражается от более плотного газа тоже как ударная волна. Если же ударная волна идет из более плотного газа в менее плотный, то отраженная волна есть волна разрежения [9). В предельном случае бесконечной плотности газа отражение от него происходит как от твердой стенки. В другом предельном случае нулевой плотности давление на контактном разрыве остается при отражении постоянным и задача совпадает с задачей об отражении ударной волны от свободной поверхности.
Этот предельный случай можно использовать также для решения задачи об отражении распространяющейся в трубе ударной волны от открытого конца трубы. Открытым назовем конец трубы, выходящий в пространство, где давление сохраняется равным начальному давлению газа в трубе. Итак, рассмотрим автомодельную задачу об отражении ударной волны от свободной поверхности. Так как давление в газе за отраженной волной равно начальному давлению перед падающей волной, то отраженная волна должна быть волной разрежения. При этом возможны три случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
